2023年四邊形知識(shí)點(diǎn)經(jīng)典總結(jié)

四邊形知識(shí)點(diǎn):關(guān)系結(jié)構(gòu)圖：二、知識(shí)點(diǎn)講解:1．平行四邊形的性質(zhì)（重點(diǎn)）:ABCＤ是平行四邊形2.平行四邊形的鑒定(難點(diǎn)）:.3．矩形的性質(zhì):由于ABＣD是矩形(4）是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有兩條對(duì)稱(chēng)軸.４矩形的鑒定：矩形的鑒定方法:(1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形;?(２)有三個(gè)角是直角的四邊形;?(3)對(duì)角線相等的平行四邊形;

(4)對(duì)角線相等且互相平分的四邊形.四邊形ＡBCD是矩形.5.菱形的性質(zhì)：由于AＢＣD是菱形6.菱形的鑒定:四邊形四邊形AＢCD是菱形．7.正方形的性質(zhì):ABCD是正方形?8.正方形的鑒定:四邊形ＡBＣD是正方形.名稱(chēng)定義性質(zhì)鑒定面積平?行?四?邊

形兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。對(duì)邊平行；②對(duì)邊相等;?③對(duì)角相等;?④鄰角互補(bǔ)；?⑤對(duì)角線互相平分；⑥是中心對(duì)稱(chēng)圖形①定義;?②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形；③一組對(duì)邊平行且相等的四邊形;

④兩組對(duì)角分別相等的四邊形;

⑤對(duì)角線互相平分的四邊形。S=ah（a為一邊長(zhǎng),h為這條邊上的高)矩?形有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形除具有平行四邊形的性質(zhì)外，尚有：①四個(gè)角都是直角；②對(duì)角線相等；③既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形。①有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形;③定義。S=aｂ(a為一邊長(zhǎng)，b為另一邊長(zhǎng))菱

形有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。除具有平行四邊形的性質(zhì)外,尚有①四邊形相等；②對(duì)角線互相垂直，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形。①四條邊相等的四邊形是菱形;②對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形；③定義。①S=ａh(ａ為一邊長(zhǎng),h為這條邊上的高);

②(b、c為兩條對(duì)角線的長(zhǎng))正

方?形有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì):①四個(gè)角是直角,四條邊相等；②對(duì)角線相等，互相垂直平分,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;③既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形。①有一組鄰邊相等的矩形是正方形;②有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；③定義。①（a為邊長(zhǎng));

②(b為對(duì)角線長(zhǎng))三．精典例題解答:?1.已知:如圖，E、F是平行四邊形ＡBCD的對(duì)角線ＡC上的兩點(diǎn),AＥ=CＦ。

求證:(1）△ＡＤF≌△CBE;(2)EB∥ＤF。?

證明：（１）∵AE＝ＣF∴AＥ+ＥF=CＦ+ＦE即AＦ=CＥ

又ＡＢCD是平行四邊形,∴AD=CB，ＡD∥BC∴∠DAF＝∠ＢCE

在△ＡDF與△CBＥ中?∴△ＡDＦ≌△ＣBＥ（ＳAS)

（2）∵△ADF≌△CBE∴∠DFA=∠ＢEC∴DF∥ＥB?

例1圖例2圖２．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是直線ＡC上的兩點(diǎn)，并且AＥ=CF，求證：四邊形BFDE是平行四邊形。?證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形?∴OＡ=OC,ＯB=ＯD?又∵AE=ＣＦ?∴ＯA+AE=OＣ＋ＣF即ＯE=OF

∴四邊形BFＤE是平行四邊形3.如圖，在梯形紙片ＡBCD中，AD∥BC，AＤ＞CD,將紙片沿過(guò)點(diǎn)Ｄ的直線折疊，使點(diǎn)C落在AD上的點(diǎn)Ｃ’處,折痕DE交ＢC于點(diǎn)E,連結(jié)。

求證:四邊形是菱形。?證明：根據(jù)題意可知?則,，

∵AD∥ＢC∴∴∠CDＥ＝∠ＣEＤ?∴CD＝CE∴∴四邊形為菱形

例3圖4.把正方形ABＣD繞著點(diǎn)Ａ，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到正方形AEFG，邊FG與ＢＣ交于點(diǎn)H(如圖）。試問(wèn)線段HＧ與線段HB相等嗎?請(qǐng)先觀測(cè)猜想，然后再證明你的猜想。?

解:ＨG＝HB。

證法1:連結(jié)AH,

∵四邊形ABCD,AEFG都是正方形?∴∠B=∠G=90°?由題意知AG=AＢ，又AH＝AH?∴Rt△AGＨ≌Rt△ABH(HL)

∴HG＝ＨB?證法２：連結(jié)GB

∵四邊形AＢCD,ＡEFＧ都是正方形?∴∠ＡＢC＝∠AGF＝90°

由題意知AＢ=AG

∴∠AGB＝∠AＢG

∴∠ABC-∠ABG=∠AGF－∠AGＢ即∠HBG=∠ＨGＢ?∴HG=HB?

5.如圖,正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°后得到正方形ＡEＦG,邊EF與CD交于點(diǎn)O。

（1)以圖中已標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)連結(jié)兩條線段(正方形的對(duì)角線除外),規(guī)定所連結(jié)的兩條線段相?交且互相垂直，交說(shuō)明這兩條線段互相垂直的理由;

(2）若正方形的邊長(zhǎng)為2cｍ，重疊部分(四邊形AEOD）的面積為，求旋轉(zhuǎn)的角度n。?解：（1）我連結(jié)的兩條相交且互相垂直的線段是_＿＿_(dá)AO____和____ＤE___＿。?理由如下:?∵在Ｒt△ADO與Rt△ＡＥO中,AD=AＥ,ＡＯ=AO,

∴Rt△ＡＤO≌Rt△AＥO?∴∠ＤＡＯ=∠ＯAE(即AO平分∠DＡE）?∴ＡＯ⊥DＥ（等腰三角形的三線合一)?注:其它的結(jié)論也成立如GＤ⊥BE。?(2）∵四邊形AEOD的面積為

∴三角形ADO的面積=?∵AD=2?∴

∴∠DＡO=３0°?∴∠EAB=30°即旋轉(zhuǎn)的角度是30°

?例5圖例6圖6.四邊形ABCD、DEFＧ都是正方形，連接AE、CＧ。

（1)求證:ＡE＝CG;?(2)觀測(cè)圖形，猜想AE與CG之間的位置關(guān)系,并證明你的猜想。證明:（１）如圖,?∵AＤ=CＤ，DＥ＝DG，∠ＡDC=∠ＧDE=90°?又∠ＣDG＝90°＋∠ADG=∠AＤE?∴△ＡDE≌△CDG

∴ＡE＝CＧ

(2）猜想：AＥ⊥CG。

證明:如圖,設(shè)AE與CＧ交點(diǎn)為M,AD與CG交點(diǎn)為N

∵△ADE≌△CDG?∴∠DAE＝∠DＣG?又∵∠ＡNM=∠CNＤ

∴△ＡMＮ∽△CDN?∴∠AＭＮ=∠ＡDC=90°

∴ＡE⊥ＣＧ7．已知：如圖,在△ＡＢＣ中，AＢ=AＣ，AD⊥ＢC，垂足為點(diǎn)Ｄ，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN,垂足為點(diǎn)E,?(1）求證：四邊形AＤCＥ為矩形；

(２）當(dāng)△ＡＢC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADＣE是一個(gè)正方形?并給出證明。

證明：(1）在△AＢC中，ＡＢ=AC,ＡD⊥ＢＣ

∴∠BＡD=∠DAC

∵AＮ是△AＢＣ外角∠CAＭ的平分線

∴∠MAE=∠CAＥ?∴?又∵ＡD⊥ＢC,CE⊥ＡN

∴∠ADC＝∠CＥA=90°

∴四邊形ADCＥ為矩形

(2)當(dāng)時(shí)（答案不唯一),四邊形ＡDCE是正方形。?證明:∵AB＝ＡC，AＤ⊥BC于Ｄ

∴?又?∴DC＝AD

由（１)四邊形ADCＥ為矩形

∴矩形ADCＥ是正方形

?例8圖8.將平行四邊形紙片ABＣD按如圖方式折疊，使點(diǎn)Ｃ與A重合，點(diǎn)D落到處,折痕為ＥＦ。

(1）求證：△ＡBＥ≌△AＤ′F;?（２)連接CＦ，判斷四邊形AECＦ是什么特殊四邊形?證明你的結(jié)論。??證明:（1）由折疊可知:，,?∵四邊形ABＣD是平行四邊形?∴∠Ｂ=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD

∴∠B=∠D′，AB=AD′?∠D′AE=∠BAD,即∠１+∠2＝∠２＋∠3

∴∠１＝∠3

∴△ABE≌△ＡD′Ｆ?(2)四邊形AEＣF是菱形。

由折疊可知：AE=EC,∠4=∠5

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥ＢC

∴∠５＝∠6?∴∠4=∠6?∴AＦ=AE?∵ＡE=EＣ

∴AF=EC

又∵AF∥EC

∴四邊形AEＣF是平行四邊形

∵AF=AE∴四邊形ＡEＣF是菱形。?9．如下圖，已知P正方形ＡBCＤ的對(duì)角線ＡC上一點(diǎn)(不與A、Ｃ重合),ＰE⊥BＣ于點(diǎn)Ｅ,PF⊥CD于點(diǎn)F.

?（１)求證:BP=ＤP;

（2)若四邊形ＰECＦ繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否總有BP＝DP?若是，請(qǐng)給予證明；若不

是,請(qǐng)用反例加以說(shuō)明；?(3)試選取正方形ＡBCＤ的兩個(gè)頂點(diǎn),分別與四邊形ＰＥCF的兩個(gè)頂點(diǎn)連結(jié)，使得到的兩條線段在四邊

形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的過(guò)程中長(zhǎng)度始終相等，并證明你的結(jié)論．?思緒分析：（1)解法一：在△AＢP與△ADＰ中,運(yùn)用全等可得BP=DＰ.?解法二:運(yùn)用正方形的軸對(duì)稱(chēng)性，可得BP=DP.?(2）不是總成立．當(dāng)四邊形PECF繞點(diǎn)Ｃ按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),點(diǎn)Ｐ旋轉(zhuǎn)到BC邊上時(shí)，

DP>ＤC>BP，此時(shí)BP=DP不成立．

說(shuō)明:未用舉反例的方法說(shuō)理的不得分.?(3）連接BE、DＦ，則BE與DF始終相等．?在圖中，可證四邊形ＰＥＣF為正方形,?在△ＢEC與△DFC中,可證△BEC≌△DＦC．?從而有BE=ＤF

10．為創(chuàng)建綠色校園,學(xué)校決定對(duì)一塊正方形的空地進(jìn)行種植花草，現(xiàn)向?qū)W生征集設(shè)計(jì)圖案．圖案規(guī)定只能用圓弧在正方形內(nèi)加以設(shè)計(jì)，使正方形和所畫(huà)的圖弧構(gòu)成的圖案，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形.種植花草部分用陰影表達(dá).請(qǐng)你在圖③、圖④、圖⑤中畫(huà)出三種不同的的設(shè)計(jì)圖案.

提醒：在兩個(gè)圖案中,只有半徑變化而圓心不變的圖案屬于同一種,例如:圖①、圖②只能算一種.

?解:以下為不同情形下的部分對(duì)的畫(huà)法,答案不唯一.

?１1.如圖，等腰梯形ＡＢＣD中,AB=1５,ＡD=２0,∠C＝３０°。點(diǎn)M、Ｎ同時(shí)以相同速度分別從點(diǎn)A、點(diǎn)D開(kāi)始在ＡB、AD（涉及端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)。?（1）設(shè)ND的長(zhǎng)為x，用x表達(dá)出點(diǎn)N到AB的距離,并寫(xiě)出x的取值范圍。

(２）設(shè)，用t表達(dá)△AMN的面積。?(3)求△ＡMN的面積的最大值,并判斷取最大值時(shí)△ＡMＮ的形狀。

?解:（１)過(guò)點(diǎn)N作BＡ的垂線NP，交BＡ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P。

由已知：，。

∵四邊形ＡBCD是等腰梯形,AB∥CD，∠D=∠C=30°,?∴∠PＡN=∠D＝3０°。?在Rt△APN中，,?即點(diǎn)N到AB的距離為。?∵點(diǎn)N在AD上，，點(diǎn)Ｍ在ＡＢ上，，?∴x的取值范圍是。?（2）根據(jù)(1)，。

(３)∵,∴當(dāng)t＝０時(shí),即ｘ=10時(shí),有最大值2５。?當(dāng)ｘ=1０時(shí),即ND＝AＭ=１0，AＮ=ＡD-ＮD=10，即AM＝AＮ。?此時(shí),△AMN為等腰三角形。

?12．（０８通州22改編）如圖，在ＡBＣD中，AB＝８ｃm,AD=6cm,∠ＤAＢ＝6０°,點(diǎn)Ｍ是邊AD上一點(diǎn)，且DM＝2cm,點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC上的點(diǎn)，EM、CD的延長(zhǎng)線交于Ｇ，GF交AＤ于O,設(shè)AE＝CＦ=x，?(１）試用含x的代數(shù)式表達(dá)△CＧＦ的面積；?(2)當(dāng)ＧF⊥AD時(shí)，求AＥ的值。

解：(1)∵在平行四邊形ＡＢＣＤ中CD=AB=8，BＣ＝AD=6?∵ＤM=2,