初中數(shù)學(xué)人教版七年級上冊幾何圖形初步角余角和補角

余角和補角（第1課時）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)的主要內(nèi)容是理解余角和補角的定義及性質(zhì).2.內(nèi)容解析本節(jié)課是人教版教材《七年級（上冊）》第四章《幾何圖形初步》的第三節(jié).余角和補角是角的相關(guān)內(nèi)容，尤其是直角、平角及兩個角的和與差的后續(xù)，其概念和性質(zhì)是后繼學(xué)習(xí)幾何與三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識.同一對象的多樣化表示及圖形語言、文字語言、符號語言三種語言之間的相互轉(zhuǎn)化技能是是進一步學(xué)習(xí)幾何的基本技能.認識余角和補角的基本思路（產(chǎn)生并定義余角和補角→生成余角和補角的性質(zhì)→用余角和補角的定義與性質(zhì)解答有代表性的問題）具有普適性.余角和補角概念的形成過程中蘊含的數(shù)形結(jié)合思想、利用余角和補角的概念和性質(zhì)解決代表性問題的過程中蘊含的方程思想、研究幾何問題的一般過程對發(fā)展學(xué)生的智力與能力有積極的影響.（1）初中幾何的研究核心是用線段長度與角度大小刻畫幾何圖形形狀、大小和位置關(guān)系.其中余角和補角起到了角度度量中核心的位置.從知識體系而言，在歐幾里得《幾何原本》中，“凡是直角都相等”作為第四條幾何公理宣稱了直角的不變性或空間的齊性，并為第五公理鋪路.而第五公理“兩直線被第三條直線所截，如果同側(cè)兩內(nèi)角和小于兩個直角，則兩直線作延長時在此側(cè)會相交”中直接使用互為補角的兩個角來進行刻畫.在教材的體系中，余角和補角是初中幾何中第一次研究兩個角之間的特殊關(guān)系，互余和互補的性質(zhì)又是初中幾何的第一條性質(zhì).章建躍博士指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要重視向?qū)W生傳遞“基本套路”的研究意識，而余角和補角的學(xué)習(xí)過程將為后續(xù)知識的學(xué)習(xí)提供基本套路和方法.因此，學(xué)好余角和補角的概念及其性質(zhì)，并體會幾何知識學(xué)習(xí)的基本套路是學(xué)生完善認知的必要支柱，也是本節(jié)課的教學(xué)重點.（2）幾何語言包括文字語言、符號語言與圖形語言三種形式.A·斯托里亞爾曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)”.在初中幾何教學(xué)中，幾何語言的教學(xué)是重點和難點.初中生對幾何的學(xué)習(xí)模式是提取自己頭腦中已有的認知結(jié)構(gòu)（小學(xué)實驗幾何）相關(guān)的知識去對平面幾何圖形進行定性的認識，去理解幾何的概念、定理的本質(zhì)特征.而原有的認知結(jié)構(gòu)與幾何認知結(jié)構(gòu)的相互聯(lián)系就是通過幾何語言來實現(xiàn)的.在幾何中每一個概念、命題一般是以文字語言描述、圖形語言直觀表示、符號語言表明其邏輯關(guān)系.此外推理論證幾何問題是研究幾何的基本方法.推理論證幾何必須按照邏輯思維規(guī)律，綜合運用幾何語言來進行推導(dǎo).所以幾何語言是學(xué)習(xí)推理論證的基礎(chǔ).由于學(xué)生從實驗幾何到推理論證幾何的跨度太大，本節(jié)中教材并未使用抽象的數(shù)學(xué)符號，而采用文字語言和符號語言相結(jié)合的形式進行推理論證.因此，余角與補角性質(zhì)的合情推理和文字語言與符號語言相結(jié)合的表達是本節(jié)課教學(xué)中所要重點突出的數(shù)學(xué)技能.（3）數(shù)形結(jié)合思想和方程思想是數(shù)學(xué)的重要思想方法.本節(jié)課在余角和補角概念的形成過程及利用概念和性質(zhì)解決代表性問題的過程中能較好的體現(xiàn)上述內(nèi)容.數(shù)形結(jié)合是代數(shù)和幾何中最精彩的一面，利用它可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化.但學(xué)生的認知水平有限，還不能完全理解數(shù)形結(jié)合的思想，故而只能在探究過程中滲透.因此滲透數(shù)形結(jié)合思想是本節(jié)的教學(xué)目標(biāo).用符號語言和文字語言結(jié)合進行圖形語言的描述并標(biāo)明其邏輯關(guān)系也是學(xué)生剛剛接觸的新技能，結(jié)合方程思想解決比較復(fù)雜的問題在能力上的跨度較大.同時對方程思想的體現(xiàn)也不如在一元一次方程的學(xué)習(xí)過程中明顯.因此方程思想不應(yīng)作為本節(jié)課的重點，僅在習(xí)題中有所體現(xiàn).二、目標(biāo)和目標(biāo)解析教學(xué)目標(biāo)（1）認識一個角的余角和補角，會求一個角的余角和補角；掌握余角和補角的性質(zhì)，并能用它解決相關(guān)問題.（2）通過余角和補角性質(zhì)的推導(dǎo)和應(yīng)用，初步理解圖形語言和符號語言的相互轉(zhuǎn)化；初步接觸和體會演繹推理的方法和表述.（3）體驗數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，滲透數(shù)形結(jié)合思想，感受數(shù)學(xué)的嚴謹美.教學(xué)重點余角和補角的概念及其性質(zhì).教學(xué)難點余角和補角性質(zhì)的應(yīng)用.從知識順序來看，在學(xué)習(xí)過兩角和與差之后，定義兩角的和為一個直角或為一個平角沒有任何知識障礙，從邏輯順序來看，有了任意兩角和與差的學(xué)習(xí)過程，再到兩角的和為一個直角或平角，是從一般到特殊的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生也不難理解和掌握.但學(xué)生在剛接觸幾何時對于從復(fù)雜圖形中析出基本圖形的能力有所欠缺，對于合情說理的必要性認識不足，不能主動的使用余角和補角的性質(zhì)解決問題.三、教學(xué)問題診斷分析（1）學(xué)生對于相互關(guān)系認識不夠.互為余角和互為補角是指兩個角的特殊數(shù)量關(guān)系，僅有一個角不能稱為補角或余角.（2）學(xué)生容易混淆位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.互為余角、互為補角反應(yīng)的是角的數(shù)量關(guān)系，而不一定有公共頂點或公共邊.（3）學(xué)生對于文字語言和符號語言的相互轉(zhuǎn)化不熟悉，難以理解說理的必要性和嚴謹性，在推理論證過程中表達不清.（4）學(xué)生識圖沒有經(jīng)驗，難于在復(fù)雜圖形中發(fā)現(xiàn)基本圖形原型.因此，在本節(jié)課的教學(xué)過程設(shè)計中，時刻注意引導(dǎo)學(xué)生思維聚焦的方向，通過合理設(shè)置有梯度的活動，激發(fā)學(xué)生的思考，讓學(xué)生在先行知識的基礎(chǔ)上通過自我探究、發(fā)現(xiàn)問題，在老師指導(dǎo)下進行推理論證，從而積累數(shù)學(xué)研究的經(jīng)驗.通過比較學(xué)習(xí)，加深學(xué)生對于余角的認識，同時有利于學(xué)生掌握補角的概念和性質(zhì).四、教學(xué)過程設(shè)計αβ先行組織者：上一節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了角的比較和運算.通過角的和與差我們可以研究兩個角的數(shù)量關(guān)系，今天我們就將研究兩種角的特殊的數(shù)量關(guān)系αβ一、復(fù)習(xí)舊識問題1如圖擺放兩個三角板，則銳角α和和等于多少？為什么？師生活動：學(xué)生回答問題，教師點評.設(shè)計意圖：確認最近發(fā)展區(qū)，喚醒相關(guān)的知識和經(jīng)驗，利于知識的提取和遷移.問題2請分別從藍色和綠色的橢圓中各選取一個角度，使它們的和為90°.師生活動：學(xué)生回答問題并相互糾正設(shè)計意圖：強調(diào)和為90°的兩角之間“數(shù)“的聯(lián)系.與問題1分別從數(shù)和形兩方面突出兩角互余的特征.從學(xué)生的已有知識和經(jīng)驗為起點，逐步引出兩角互余的概念，引導(dǎo)學(xué)生知識遷移，遵循概念發(fā)生的一般規(guī)律.二、生成概念問題3一般地，如果兩個角的和等于90°，就說這兩個角互為余角.下列哪些角互為余角？怎么找一個角的余角？是不是每個角都有余角？追問1標(biāo)有度數(shù)的角怎么找到它的余角？追問2沒標(biāo)有度數(shù)的角怎么辦？還有別的辦法么？追問3是不是每個角都有余角？0°或90°角有余角嗎？師生活動：學(xué)生先在小組內(nèi)討論交流，然后派代表在全班交流，教師引導(dǎo)并用電腦演示疊合法的判斷過程.設(shè)計意圖：度量法和疊合法是角度大小比較的兩種重要方法，而這兩種方法分別從數(shù)和形的角度揭示了互為余角的兩個角之間的數(shù)量關(guān)系，加深學(xué)生對于概念屬性的理解.三、應(yīng)用新知問題4你能填寫下表并說說怎么計算一個角的余角的度數(shù)嗎？計算的理由是什么？師生活動：學(xué)生代表回答問題，教師點評并引導(dǎo)學(xué)生歸納“因為∠α和所以∠β=90°設(shè)計意圖：再次加強互余是兩角的數(shù)量而非位置關(guān)系.加深概念的理解，將符號與概念相聯(lián)系，形成代數(shù)表達，突破文字語言與符號語言的互譯，并滲透說理格式.四、歸納性質(zhì)問題5剛才在尋找余角時出現(xiàn)相等的角，它們都是同一個角的余角，你能由此總結(jié)出一般規(guī)律嗎？能說明理由嗎？師生活動：學(xué)生代表回答，教師引導(dǎo)并演示.設(shè)計意圖：借助觀察圖中角的關(guān)系，從形感知探究性質(zhì)，進而從數(shù)學(xué)式子的變形逐步提高學(xué)生從感性到理性的抽象思維能力，初步感受簡單說理，并讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律并進行簡單合情說理．五、類比學(xué)習(xí)問題6如果能拼成一個平角的兩個角稱為互為補角，你能仿照余角的學(xué)習(xí)過程說出補角的定義嗎？問題7你能填寫下表并說說怎么計算一個角的補角的度數(shù)嗎？計算的理由是什么？問題8你能利用下面的圖形，類比余角的性質(zhì)，概括補角的性質(zhì)嗎？能證明嗎？師生活動：學(xué)生相互討論，學(xué)生代表回答問題，學(xué)生互相糾正，教師點評并演示.教師注意引導(dǎo)學(xué)生進行類比，規(guī)范學(xué)生的語言，并引導(dǎo)學(xué)生進行猜想和歸納.設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過類比理解并自主建構(gòu)互為補角的定義，避免概念學(xué)習(xí)的單一性，既重視概念教學(xué)的啟發(fā)性和藝術(shù)性，又激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維．并且通過糾正學(xué)生發(fā)言，規(guī)范數(shù)學(xué)語言，培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力.六、技能提高例如圖，A，O，B在同一直線上，射線OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC，圖中哪些角互為余角？師生活動：學(xué)生獨立完成，教師巡視點評，學(xué)生代表回答問題，教師更正并演示.設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)雜圖形中發(fā)現(xiàn)基本圖形原型，并根據(jù)已有知識結(jié)構(gòu)解決問題．同時加深學(xué)生對于簡單說理的認識.借助觀察圖中角的關(guān)系，從形感知探究性質(zhì)，進而從數(shù)學(xué)式子的變形逐步提高學(xué)生從感性到理性的抽象思維能力.七、課堂小結(jié)問題9這節(jié)課我們主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容是什么？師生活動：學(xué)生回答問題，教師演示.設(shè)計意圖：通過表格的形式再次呈現(xiàn)本節(jié)課的主要知識，概括是課堂教學(xué)的核心，適時的總結(jié)利于學(xué)生對知識學(xué)習(xí)的升華．八、布置作業(yè)1.課本第140頁7題，第141頁11題，12題，13題.2.∠α的余角是它的3倍，∠α是多少度？3.（選做題）一個角的余角比這個角的補角的13還小10°，求這個角的余角及這個角的補角的度數(shù).五、目標(biāo)檢測設(shè)計1.已知，如圖，∠AOD＝∠EOC＝∠BOD＝90°．圖中互為余角有_________________，互為補角有_________________．設(shè)計意圖：考察學(xué)生對于余角和補角概念的掌握，能否從復(fù)雜圖形中發(fā)現(xiàn)基本圖形