2018年數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二部分專題六概率與統(tǒng)計第2講概率課時規(guī)范練理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE9學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2講概率、隨機變量及其分布列一、選擇題1．(2016·全國卷Ⅰ）為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（）A.eq\f(1，3)B。eq\f（1，2）C。eq\f(2,3)D.eq\f（5，6)解析：將4種顏色的花任選2種種在花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，有6種種法，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有4種，故概率為eq\f（2，3).答案：C2．（2017·全國卷Ⅲ）(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A．－80B．－40C．解析:(x＋y)（2x－y)5＝x(2x－y）5＋y(2x－y)5。因為x(2x－y）5中x3y3的系數(shù)為－Ceq\o\al（3,5)·22＝－40，y（2x－y）5中x3y3的系數(shù)為Ceq\o\al（2,5）·23＝80，因此x3y3的系數(shù)為80－40＝40。答案：C3．(2017·貴陽質(zhì)檢)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于eq\f(15，16)，則n的最小值為()A．4B．5C．6D．7解析:由題意，1－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2))）eq\s\up12（n）≥eq\f(15，16），所以n≥4,所以n的最小值為4.答案:A4．有一底面半徑為1，高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為（)A.eq\f(1,3）B。eq\f(2，3)C.eq\f(3，4)D。eq\f(1，4)解析:設(shè)點P到點O的距離小于等于1的概率為P1，由幾何概型,則P1＝eq\f(V半球,V圓柱）＝eq\f（\f（2π，3)×13,π×12×2）＝eq\f（1,3）。故點P到點O的距離大于1的概率P＝1－eq\f（1,3）＝eq\f(2，3）.答案：B5．（2017·浙江卷）已知隨機變量ξi，滿足P（ξi＝1)＝pi，P（ξi＝0）＝1－pi，i＝1,2.若0＜p1＜p2＜eq\f（1，2），則(）A．E（ξ1）＜E(ξ2）,D(ξ1）＜D（ξ2）B．E(ξ1)＜E(ξ2），D（ξ1）＞D(ξ2)C．E(ξ1)＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2)D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D（ξ1)＞D(ξ2）解析：由題設(shè)可知E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2,從而E（ξ1）＜E(ξ2)，又D（ξ1）＝p1(1－p1）,D(ξ2）＝p2(1－p2），所以D(ξ1）－D(ξ2）＝(p1－p2)（1－p1－p2)＜0。故D（ξ1）＜D（ξ2)．答案:A二、填空題6．（2016·全國卷Ⅰ改編)某公司的班車在7：30,8：00，8：30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是________．解析:如圖所示，畫出時間軸：小明到達的時間會隨機地落在圖中線段AB上，而當他的到達時間落在線段AC或DB時，才能保證他等車的時間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P＝eq\f（10＋10,40）＝eq\f(1，2）.答案：eq\f(1,2）7．(2017·長郡中學(xué)二模改編）設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(4，σ2），若P(X＞m)＝0。3，則P(X＞8－m)＝________．解析：因為隨機變量X服從正態(tài)分布N(4,σ2），所以正態(tài)曲線的對稱軸是x＝4,因為P（X＞m）＝0。3，且m與8－m關(guān)于x＝4對稱，由正態(tài)曲線的對稱性，所以P(X＞m)＝P（X＜8－m)＝0.3，故P(X＞8－m）＝1－0。3＝0.7.答案：0。78．（2016·四川卷）同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是________．解析：由題可知，在一次試驗中，試驗成功（即至少有一枚硬幣正面向上)的概率為P＝1－eq\f（1，2）×eq\f（1,2）＝eq\f(3，4),依題意X～Beq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2，\f(3,4)）),則E（X)＝2×eq\f(3，4）＝eq\f（3，2）.答案：eq\f(3,2)三、解答題9．(2017·山東卷）在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示．(導(dǎo)學(xué)號54850136）（1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X）．解：（1）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M)＝eq\f（Ceq\o\al（4,8)，Ceq\o\al（5，10））＝eq\f（5,18)。（2)由題意知X可取的值為0，1，2，3，4,則P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(5,6），Ceq\o\al（5，10））＝eq\f（1,42）,P（X＝1）＝eq\f（Ceq\o\al（4,6)Ceq\o\al(1，4)，Ceq\o\al(5，10）)＝eq\f（5，21），P（X＝2）＝eq\f（Ceq\o\al（3,6)Ceq\o\al(2,4），Ceq\o\al（5,10))＝eq\f（10,21），P（X＝3)＝eq\f（Ceq\o\al（2,6）Ceq\o\al(3,4），Ceq\o\al（5,10））＝eq\f(5，21)，P（X＝4)＝eq\f（Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al（4，4）,Ceq\o\al(5，10))＝eq\f（1,42）。因此X的分布列為X01234Peq\f(1，42)eq\f(5，21)eq\f（10，21）eq\f(5，21）eq\f（1,42）X的數(shù)學(xué)期望E（X)＝0×eq\f(1,42)＋1×eq\f（5，21）＋2×eq\f（10,21)＋3×eq\f（5,21)＋4×eq\f（1,42)＝2。10．(2017·北京海淀區(qū)檢測)某校高一（1）、(2)兩個班聯(lián)合開展“詩詞大會進校園，國學(xué)經(jīng)典潤心田”古詩詞競賽主題班會活動．主持人從這兩個班分別隨機選出20名同學(xué)進行當場測試，他們的成績按[40,50)，[50,60）,[60,70）,[70，80），［80，90），［90,100]分組，分別用頻率分布直方圖莖葉圖統(tǒng)計如下(單位:分):（1）班20名同學(xué)成績頻率分布直方圖(2）班20名同學(xué)成績莖葉圖（1）分別計算兩個班這20名同學(xué)的測試成績在［80，90)的頻率，并補全頻率分布直方圖；（2)分別從兩個班隨機選取1人，設(shè)這兩人中成績在[80，90)的人數(shù)為X，求X的分布列．（頻率當作概率使用)解:(1)高一（1)班這20名同學(xué)的測試成績在［80，90）的頻率為1－（0。005＋0.015＋0。005＋0。02＋0。015)×10＝0。4。高二(2）班這20名同學(xué)的測試成績在[80，90)的頻率為eq\f（4，20)＝0.2。補全頻率分布直方圖如下：（2)由題意可知，從高一（1）、(2）兩個班各隨機選取1人，成績在［80，90）的概率分別為eq\f(2,5)，eq\f(1，5）。從兩個班隨機選取1人，這兩人中成績在[80，90）的人數(shù)X可能為0，1，2.P（X＝0)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f(2,5)））eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f(1,5）)）＝eq\f（12，25）；P（X＝1)＝eq\f（2，5)×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f（1，5))）＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f（2，5))）×eq\f(1，5)＝eq\f(11，25)；P（X＝2)＝eq\f（2，5）×eq\f（1，5)＝eq\f（2，25），則X的分布列如下表所示：X012P（X)eq\f（12,25）eq\f（11，25)eq\f(2,25)11。(2017·新鄉(xiāng)三模)為推行“新課堂”教學(xué)法，某化學(xué)老師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“新課堂”兩種不同的教學(xué)方式,在甲、乙兩個平行班級進行教學(xué)實驗,為了比較教學(xué)效果．期中考試后,分別從兩個班級中各隨機抽取20名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計,結(jié)果如下表:記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”．分數(shù)[50，59)[60,69）[70，79）［80，89）[90,100］甲班頻數(shù)56441乙班頻數(shù)13655(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為“成績優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”？甲班乙班總計成績優(yōu)良成績不優(yōu)良總計附:K2＝eq\f(n（ad－bc)2，（a＋b）（c＋d)（a＋c）(b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d。臨界值表：P(K2≥k0）0.100。050.0250.010k02。7063。8415.0246.635(2)現(xiàn)從上述40人中,學(xué)校按成績是否優(yōu)良采用分層抽樣的方法抽取8人進行考核．在這8人中，記成績不優(yōu)良的乙班人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解:(1）由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得2×2列聯(lián)表：甲班乙班總計成績優(yōu)良91625成績不優(yōu)良11415總計202040根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),得K2的觀測值為k＝eq\f（40（9×4－16×11）2，25×15×20×20)≈5。227〉5。024，所以能在犯錯概率不超過0。025的前提下認為“成績優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”．(2)由表可知在8人中成績不優(yōu)良的人數(shù)為eq\f(15,40）×8＝3，則X的可能取值為0，1，2,3.P（X＝0)＝eq\f（Ceq\o\al（3，11),Ceq\o\al（3，15)）＝eq\f（33，91)；P（X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(2，11）Ceq\o\al(1,4）,Ceq\o\al（3，15))＝eq\f(44,91）;P（X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al（1，11)Ceq\o\al（2,4），Ceq\o\al（3,15)）＝eq\f（66，455）；P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al（3,4)，Ceq\o\al（3，15)）＝eq\f（4,455)。所以X的分布列為:X0123Peq\f(33,91)eq\f（44,91)eq\f(66,455)eq\f（4,455)所以E（X）＝0×eq\f(33，91)＋1×eq\f（44，91)＋2×eq\f(66，455）＋3×eq\f(4，455）＝eq\f（364,455）。［典例］（本小題滿分12分）(2016·全國卷Ⅰ)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰．機器有一易損零件，在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間,如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．（導(dǎo)學(xué)號54850064)（1)求X的分布列；（2）若要求P（X≤n)≥0.5，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應(yīng)選用哪個？規(guī)范解答：（1)由柱狀圖及以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0。2，0.4，0。2,0。2.(1分)從而P（X＝16）＝0。2×0.2＝0。04；P（X＝17)＝2×0.2×0.4＝0。16；P（X＝18)＝2×0。2×0.2＋0.4×0。4＝0.24；P（X＝19)＝2×0。2×0。2＋2×0.4×0.2＝0。24;P(X＝20）＝2×0.2×0。4＋0.2×0。2＝0.2；P（X＝21）＝2×0.2×0。2＝0.08；P（X＝22)＝0。2×0。2＝0.04.（4分）所以X的分布列為：X16171819202122P0。040。160.240。240.20。080.04(5分)（2）由(1）知P(X≤18)＝0。44,P（X≤19）＝0。68，故n的最小值為19。（7分)（3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位：元)．當n＝19時，E(Y)＝19×200×0.68＋（19×200＋500)×0.2＋（19×200＋2×500）×0.08＋（19×200＋3×500)×0.04＝4040；(9分)當n＝20時,E(Y)＝20×200×0。88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.（11分）可知當n＝19時所需費用的期望值小于當n＝20時所需費用的期望值，故應(yīng)選n＝19。（12分）1．正確閱讀理解，弄清題意:與概率統(tǒng)計有關(guān)的應(yīng)用問題經(jīng)常以實際生活為背景,且?？汲Ｐ拢鉀Q問題的關(guān)鍵是理解題意，弄清本質(zhì),將問題轉(zhuǎn)化為離散型隨機變量分布列求解問題，如本題第（1)問就是求解離散型隨機變量的分布列,其關(guān)鍵是準確寫出隨機變量X的取值及正確求其概率．2．注意利用第（1)問的結(jié)果：在題設(shè)條件下,如果第(1）問的結(jié)果第(2）問能用得上,可以直接用,有些題目不用第（1）問的結(jié)果甚至無法解決,如本題即是在第（1）問的基礎(chǔ)上利用分布列求概率之和來求解．3．注意將概率求對：與離散型隨機變量有關(guān)的問題，準確求出隨機變量取值的概率是關(guān)鍵．本題第(1）問，要做到:一是隨機變量取值要準，二是要明確隨機變量取每個值的意義，同時也要注意事件的獨立性．在第(1)，（3）問中概率、期望值要寫出求解過程，不能直接寫出數(shù)值．[解題程序］第一步：設(shè)出基本事件,明確事件間的關(guān)系及含義．第二步:求出各個事件發(fā)生的概率．第三步：列出隨機變量X的分布列．第四步:解關(guān)于n的不等式，求出n的最小值．第五步:討論n＝19與n＝20時的費用期望，做出判斷決策．第六步：檢驗反思，明確步驟規(guī)范．[跟蹤訓(xùn)練］（2017·北京卷）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥．一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖,其中“*"表示服