2018年數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二部分專題六概率與統(tǒng)計(jì)第2講概率課時(shí)規(guī)范練理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE9學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2講概率、隨機(jī)變量及其分布列一、選擇題1．(2016·全國(guó)卷Ⅰ）為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是（）A.eq\f(1，3)B。eq\f（1，2）C。eq\f(2,3)D.eq\f（5，6)解析：將4種顏色的花任選2種種在花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，有6種種法，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有4種，故概率為eq\f（2，3).答案：C2．（2017·全國(guó)卷Ⅲ）(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為()A．－80B．－40C．解析:(x＋y)（2x－y)5＝x(2x－y）5＋y(2x－y)5。因?yàn)閤(2x－y）5中x3y3的系數(shù)為－Ceq\o\al（3,5)·22＝－40，y（2x－y）5中x3y3的系數(shù)為Ceq\o\al（2,5）·23＝80，因此x3y3的系數(shù)為80－40＝40。答案：C3．(2017·貴陽(yáng)質(zhì)檢)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，若使得至少有一次正面向上的概率大于或等于eq\f(15，16)，則n的最小值為()A．4B．5C．6D．7解析:由題意，1－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2))）eq\s\up12（n）≥eq\f(15，16），所以n≥4,所以n的最小值為4.答案:A4．有一底面半徑為1，高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為（)A.eq\f(1,3）B。eq\f(2，3)C.eq\f(3，4)D。eq\f(1，4)解析:設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于等于1的概率為P1，由幾何概型,則P1＝eq\f(V半球,V圓柱）＝eq\f（\f（2π，3)×13,π×12×2）＝eq\f（1,3）。故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率P＝1－eq\f（1,3）＝eq\f(2，3）.答案：B5．（2017·浙江卷）已知隨機(jī)變量ξi，滿足P（ξi＝1)＝pi，P（ξi＝0）＝1－pi，i＝1,2.若0＜p1＜p2＜eq\f（1，2），則(）A．E（ξ1）＜E(ξ2）,D(ξ1）＜D（ξ2）B．E(ξ1)＜E(ξ2），D（ξ1）＞D(ξ2)C．E(ξ1)＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2)D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D（ξ1)＞D(ξ2）解析：由題設(shè)可知E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2,從而E（ξ1）＜E(ξ2)，又D（ξ1）＝p1(1－p1）,D(ξ2）＝p2(1－p2），所以D(ξ1）－D(ξ2）＝(p1－p2)（1－p1－p2)＜0。故D（ξ1）＜D（ξ2)．答案:A二、填空題6．（2016·全國(guó)卷Ⅰ改編)某公司的班車在7：30,8：00，8：30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是________．解析:如圖所示，畫出時(shí)間軸：小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)地落在圖中線段AB上，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過(guò)10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P＝eq\f（10＋10,40）＝eq\f(1，2）.答案：eq\f(1,2）7．(2017·長(zhǎng)郡中學(xué)二模改編）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(4，σ2），若P(X＞m)＝0。3，則P(X＞8－m)＝________．解析：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(4,σ2），所以正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是x＝4,因?yàn)镻（X＞m）＝0。3，且m與8－m關(guān)于x＝4對(duì)稱，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性，所以P(X＞m)＝P（X＜8－m)＝0.3，故P(X＞8－m）＝1－0。3＝0.7.答案：0。78．（2016·四川卷）同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是________．解析：由題可知，在一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)成功（即至少有一枚硬幣正面向上)的概率為P＝1－eq\f（1，2）×eq\f（1,2）＝eq\f(3，4),依題意X～Beq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2，\f(3,4)）),則E（X)＝2×eq\f(3，4）＝eq\f（3，2）.答案：eq\f(3,2)三、解答題9．(2017·山東卷）在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示．(導(dǎo)學(xué)號(hào)54850136）（1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X）．解：（1）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M,則P(M)＝eq\f（Ceq\o\al（4,8)，Ceq\o\al（5，10））＝eq\f（5,18)。（2)由題意知X可取的值為0，1，2，3，4,則P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(5,6），Ceq\o\al（5，10））＝eq\f（1,42）,P（X＝1）＝eq\f（Ceq\o\al（4,6)Ceq\o\al(1，4)，Ceq\o\al(5，10）)＝eq\f（5，21），P（X＝2）＝eq\f（Ceq\o\al（3,6)Ceq\o\al(2,4），Ceq\o\al（5,10))＝eq\f（10,21），P（X＝3)＝eq\f（Ceq\o\al（2,6）Ceq\o\al(3,4），Ceq\o\al（5,10））＝eq\f(5，21)，P（X＝4)＝eq\f（Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al（4，4）,Ceq\o\al(5，10))＝eq\f（1,42）。因此X的分布列為X01234Peq\f(1，42)eq\f(5，21)eq\f（10，21）eq\f(5，21）eq\f（1,42）X的數(shù)學(xué)期望E（X)＝0×eq\f(1,42)＋1×eq\f（5，21）＋2×eq\f（10,21)＋3×eq\f（5,21)＋4×eq\f（1,42)＝2。10．(2017·北京海淀區(qū)檢測(cè))某校高一（1）、(2)兩個(gè)班聯(lián)合開展“詩(shī)詞大會(huì)進(jìn)校園，國(guó)學(xué)經(jīng)典潤(rùn)心田”古詩(shī)詞競(jìng)賽主題班會(huì)活動(dòng)．主持人從這兩個(gè)班分別隨機(jī)選出20名同學(xué)進(jìn)行當(dāng)場(chǎng)測(cè)試，他們的成績(jī)按[40,50)，[50,60）,[60,70）,[70，80），［80，90），［90,100]分組，分別用頻率分布直方圖莖葉圖統(tǒng)計(jì)如下(單位:分):（1）班20名同學(xué)成績(jī)頻率分布直方圖(2）班20名同學(xué)成績(jī)莖葉圖（1）分別計(jì)算兩個(gè)班這20名同學(xué)的測(cè)試成績(jī)?cè)冢?0，90)的頻率，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2)分別從兩個(gè)班隨機(jī)選取1人，設(shè)這兩人中成績(jī)?cè)赱80，90)的人數(shù)為X，求X的分布列．（頻率當(dāng)作概率使用)解:(1)高一（1)班這20名同學(xué)的測(cè)試成績(jī)?cè)冢?0，90）的頻率為1－（0。005＋0.015＋0。005＋0。02＋0。015)×10＝0。4。高二(2）班這20名同學(xué)的測(cè)試成績(jī)?cè)赱80，90)的頻率為eq\f（4，20)＝0.2。補(bǔ)全頻率分布直方圖如下：（2)由題意可知，從高一（1）、(2）兩個(gè)班各隨機(jī)選取1人，成績(jī)?cè)冢?0，90）的概率分別為eq\f(2,5)，eq\f(1，5）。從兩個(gè)班隨機(jī)選取1人，這兩人中成績(jī)?cè)赱80，90）的人數(shù)X可能為0，1，2.P（X＝0)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f(2,5)））eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f(1,5）)）＝eq\f（12，25）；P（X＝1)＝eq\f（2，5)×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f（1，5))）＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f（2，5))）×eq\f(1，5)＝eq\f(11，25)；P（X＝2)＝eq\f（2，5）×eq\f（1，5)＝eq\f（2，25），則X的分布列如下表所示：X012P（X)eq\f（12,25）eq\f（11，25)eq\f(2,25)11。(2017·新鄉(xiāng)三模)為推行“新課堂”教學(xué)法，某化學(xué)老師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“新課堂”兩種不同的教學(xué)方式,在甲、乙兩個(gè)平行班級(jí)進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn),為了比較教學(xué)效果．期中考試后,分別從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:記成績(jī)不低于70分者為“成績(jī)優(yōu)良”．分?jǐn)?shù)[50，59)[60,69）[70，79）［80，89）[90,100］甲班頻數(shù)56441乙班頻數(shù)13655(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”？甲班乙班總計(jì)成績(jī)優(yōu)良成績(jī)不優(yōu)良總計(jì)附:K2＝eq\f(n（ad－bc)2，（a＋b）（c＋d)（a＋c）(b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d。臨界值表：P(K2≥k0）0.100。050.0250.010k02。7063。8415.0246.635(2)現(xiàn)從上述40人中,學(xué)校按成績(jī)是否優(yōu)良采用分層抽樣的方法抽取8人進(jìn)行考核．在這8人中，記成績(jī)不優(yōu)良的乙班人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解:(1）由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得2×2列聯(lián)表：甲班乙班總計(jì)成績(jī)優(yōu)良91625成績(jī)不優(yōu)良11415總計(jì)202040根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),得K2的觀測(cè)值為k＝eq\f（40（9×4－16×11）2，25×15×20×20)≈5。227〉5。024，所以能在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0。025的前提下認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)良與教學(xué)方式有關(guān)”．(2)由表可知在8人中成績(jī)不優(yōu)良的人數(shù)為eq\f(15,40）×8＝3，則X的可能取值為0，1，2,3.P（X＝0)＝eq\f（Ceq\o\al（3，11),Ceq\o\al（3，15)）＝eq\f（33，91)；P（X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(2，11）Ceq\o\al(1,4）,Ceq\o\al（3，15))＝eq\f(44,91）;P（X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al（1，11)Ceq\o\al（2,4），Ceq\o\al（3,15)）＝eq\f（66，455）；P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al（3,4)，Ceq\o\al（3，15)）＝eq\f（4,455)。所以X的分布列為:X0123Peq\f(33,91)eq\f（44,91)eq\f(66,455)eq\f（4,455)所以E（X）＝0×eq\f(33，91)＋1×eq\f（44，91)＋2×eq\f(66，455）＋3×eq\f(4，455）＝eq\f（364,455）。［典例］（本小題滿分12分）(2016·全國(guó)卷Ⅰ)某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù)．（導(dǎo)學(xué)號(hào)54850064)（1)求X的分布列；（2）若要求P（X≤n)≥0.5，確定n的最小值；(3)以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？規(guī)范解答：（1)由柱狀圖及以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0。2，0.4，0。2,0。2.(1分)從而P（X＝16）＝0。2×0.2＝0。04；P（X＝17)＝2×0.2×0.4＝0。16；P（X＝18)＝2×0。2×0.2＋0.4×0。4＝0.24；P（X＝19)＝2×0。2×0。2＋2×0.4×0.2＝0。24;P(X＝20）＝2×0.2×0。4＋0.2×0。2＝0.2；P（X＝21）＝2×0.2×0。2＝0.08；P（X＝22)＝0。2×0。2＝0.04.（4分）所以X的分布列為：X16171819202122P0。040。160.240。240.20。080.04(5分)（2）由(1）知P(X≤18)＝0。44,P（X≤19）＝0。68，故n的最小值為19。（7分)（3)記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)．當(dāng)n＝19時(shí)，E(Y)＝19×200×0.68＋（19×200＋500)×0.2＋（19×200＋2×500）×0.08＋（19×200＋3×500)×0.04＝4040；(9分)當(dāng)n＝20時(shí),E(Y)＝20×200×0。88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.（11分）可知當(dāng)n＝19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于當(dāng)n＝20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n＝19。（12分）1．正確閱讀理解，弄清題意:與概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題經(jīng)常以實(shí)際生活為背景,且?？汲Ｐ?，而解決問(wèn)題的關(guān)鍵是理解題意，弄清本質(zhì),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散型隨機(jī)變量分布列求解問(wèn)題，如本題第（1)問(wèn)就是求解離散型隨機(jī)變量的分布列,其關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出隨機(jī)變量X的取值及正確求其概率．2．注意利用第（1)問(wèn)的結(jié)果：在題設(shè)條件下,如果第(1）問(wèn)的結(jié)果第(2）問(wèn)能用得上,可以直接用,有些題目不用第（1）問(wèn)的結(jié)果甚至無(wú)法解決,如本題即是在第（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上利用分布列求概率之和來(lái)求解．3．注意將概率求對(duì)：與離散型隨機(jī)變量有關(guān)的問(wèn)題，準(zhǔn)確求出隨機(jī)變量取值的概率是關(guān)鍵．本題第(1）問(wèn)，要做到:一是隨機(jī)變量取值要準(zhǔn)，二是要明確隨機(jī)變量取每個(gè)值的意義，同時(shí)也要注意事件的獨(dú)立性．在第(1)，（3）問(wèn)中概率、期望值要寫出求解過(guò)程，不能直接寫出數(shù)值．[解題程序］第一步：設(shè)出基本事件,明確事件間的關(guān)系及含義．第二步:求出各個(gè)事件發(fā)生的概率．第三步：列出隨機(jī)變量X的分布列．第四步:解關(guān)于n的不等式，求出n的最小值．第五步:討論n＝19與n＝20時(shí)的費(fèi)用期望，做出判斷決策．第六步：檢驗(yàn)反思，明確步驟規(guī)范．[跟蹤訓(xùn)練］（2017·北京卷）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥．一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖,其中“*"表示服