2022年高考數(shù)學(xué)保分題及答案

2022年高考數(shù)學(xué)考前保分題

1.如圖，四棱柱ABC。-AiBiCiDi的所有棱長都相等，ACHBD=O,A\C\QB\D\=O\,

四邊形4CC14和四邊形均為矩形.ZCBA=90°,設(shè)E,尸分別是棱BC,CD

的中點，求平面ABE與平面尸的夾角的余弦值.

【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定

系數(shù)法求出平面AB1E與平面AD1尸的法向量，由向量的夾角公式求解即可.

【解答】解：以點A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)此棱柱的棱長為1,

則4(0,0,0),當(dāng)(1,0,1),E(L0),D1(0,1,1),F(1,1,0),

所以融=(1,0),AB1=(1,0,1),6=弓，1，0),=(0,1,1),

設(shè)平面AB1E的法向量為蔡=(x,y,z),

則n-AB^O%+z=0

即

x+5y=o

n-AE=0

令y=2,則x=-l,z=l,

故九=(-1,2,1),

設(shè)平面AO1F的法向量為蔡=(a,b,c),

(TTy+z=0

m-AD=0

則r

TT聶+y=。'

\m-AF=0{

令尤=2,貝Uy=-1,z=l,

所以蔡=(2，—L1),

則Icosv亡"=犒=福=4

1

故平面AB\E與平面ADiF的夾角的余弦值為鼻.

【點評】本題考查了空間向量在立體幾何的綜合應(yīng)用，二面角的求解問題，在求解有關(guān)

空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量

問題進(jìn)行研究，屬于中檔題.

2.如圖，在四棱錐P-4BC。中，底面A8CC是平行四邊形，乙48c=120°,AB=1,BC

=4,PA=V15,M,N分別為BC,PC的中點，PD±DC,PMLMD.

(I)證明：ABLPM；

(II)求直線AN與平面PQM所成角的正弦值.

【分析】(I)由已知求解三角形可得C￡>_LOM,結(jié)合POJ_Z)C,可得CO_L平面POM,

進(jìn)一步得到AB1PM；

(II)由(I)證明平面A8CQ,由已知求解三角形可得AM,PM,取AO中點E,

連接ME,以M為坐標(biāo)原點，分別以MZXME、MP為x、)，、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

求出眾的坐標(biāo)及平面PDM的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得直線AN與

平面POM所成角的正弦值.

【解答】(I)證明：在平行四邊形ABC。中，由已知可得，CD=A8=1,

1

CM=*=2,NQCM=60°,

，由余弦定理可得，DM1=CD1+CM2-2C￡>XCA/Xcos60°

1

=1+4—2xlx2X[=3,

則CD^+DM2=1+3=4=CM2,即CD±DM,

又PDLDC,PDHDM=D,.,.C。，平面POM,

而PMu平面POM,：.CDLPM,

'：CD//AB,.'.ABA.PM；

(II)解：由(I)知，C￡>_L平面PCM,

又CQu平面A8C￡),平面ABC。，平面POM,

且平面ABCPn平面PDM=DM,

'：PM1MD,且PMu平面POM,平面ABC￡>,

連接AM,則PM_LMA,

在△ASM中，A2=l,BM=2,ZABM=120°,

1

可得4M2=1+4-2xlx2x(—5)=7,

又PA=V15,在Rt/\PMA中，求得PM=y/PA2-MA2=2V2,

取AO中點E,連接ME,則ME〃C￡),可得ME、MD、MP兩兩互相垂直，

以M為坐標(biāo)原點，分別以M。、ME、MP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(-V3,2,0),P(0,0,2V2),C(V3,-1,0),

又N為PC的中點，；.N(今0),眾=(孥，一|,V2),

平面PDM的一個法向量為蔡=(0,1,0),

設(shè)直線AN與平面PDM所成角為6,

TT5,--

則sin0=|cos<AN,n>\==——=

HNHn|居+學(xué)+2x1。

J15

故直線AN與平面PDM所成角的正弦值為一.

6

【點評】本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練

了利用空間向量求直線與平面所成的角，是中檔題.

3.如圖，在平行四邊形ABC。中，ZD=60°,E為CO的中點，且4E=CE,現(xiàn)將平行四

邊形沿AE折疊成四棱錐P-ABCE.

(1)已知M為4B的中點，求證：AELPM；

(2)若平面/MEL平面ACBE,求二面角B-PE-C的余弦值.

【分析】(1)取AE的中點N,連接PN,MN,BE,易知PN_LAE,由勾股定理可證AE

LBE,從而知再由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，得證；

(2)由面面垂直的性質(zhì)定理知，PNL平面ACBE,故以N為原點建立空間直角坐標(biāo)系，

—>—>

求得平面PBE'和PCE的法向量其與亡再由cosV茄，蔡〉=得解.

|ni|-|n|

【解答】(1)證明：取AE的中點N,連接PMMN,BE,

?：AE=CE=DE,ZD=60°,二ZVIOE為等邊三角形，即△曲￡為等邊三角形，

PN1AE,

設(shè)AE=CE=DE=a,貝ijBE=?，AB=2a,

：.AB2=AE2+BE2,即AEVBE,

,：M,N分別為AB,AE的中點，：.MN//BE,：.AE±MN,

又PNCMN=N,PN、MNu平面PMN,

???AE_L平面PMN,

?.,PMu平面PMM：.AE±PM.

（2）解：由（1）知，PN工AE,

??,平面平面AC3E,平面BAEA平面ACBEnAE,.?.PN_L平面AC3E,

以N為原點，NE,NM,N尸所在直線分別為Ky,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

…1l、/V31、V3

則B(一。，遮a,0),P(0,0,-a)x,E(一小0,0),C(a,—a,0),

2222

T175T1f-J5TV3J3

:?PE-1-a,0,--^-a),PB=(-?,y/3aPC=(m—a,一亍"),

222f222

，］x/3

一(_與CLX5-CLZ=0

設(shè)平面P5E的法向量為m=(x,y,z),則料?皆=°A,即^2

PB=02a%+V3ay—勺QZ=0

令則y=0,z=l,.*.m=(V3,0,1),

同理可得，平面PCE的法向量為￡