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文檔簡(jiǎn)介
2022年高考數(shù)學(xué)考前訓(xùn)練題
1.如圖,在三棱臺(tái)ABC-AiBCi中,平面A4iCiC_L平面ABC,NABC=90°,AA\=A\C\
=CiC=2,AC=4,BC=2,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn).
(I)求證:OG〃平面4B814;
(II)求直線8。與平面所成角的正弦值.
【分析】(I)證明OCi〃A4i得出。。〃平面AB8i4;
(II)建立空間坐標(biāo)系,求出平面A881Al的法向量未計(jì)算二和BA的夾角得出線面角.
1
【解答】(I)證明:由題意可知:A1C1=^AC=AO,A1C1//AO,
所以四邊形A4CiO為平行四邊形,
所以O(shè)Ci〃A4i,又OCiC平面AB81A1,平面
所以0?!ㄆ矫鍭8B1A1.
(II)解:建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,
則A(0,0,0),B(W,3,0),C(0,4,0),4式0,1,V3),Q(0,3,回
.,.BCj=(-V3,0,V3),AB=(V3,3,0),R=(0,1,b),
設(shè)n=(x,y,z)是平面ABBiAi的法向量,
則屋瑟嘿濯U…'貝…3-
設(shè)BC\與平面ABB14所成角為6,
丘-BZII_2/_而
貝ijsin。=|cosVBC],n>\=
同|而|回x乃13
-A
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行的判定,考查空間向量與線面角的計(jì)算,屬于中檔題.
2.如圖,ABCD,DC1.AD,BC//AD,PD:DC:BC=\-1:&.
(1)若AO=OC,求異面直線以,8C所成的角;
(2)求PB與平面尸£>C所成角大?。?/p>
(3)求二面角。-PB-C的正切值.
【分析】(1)根據(jù)異面直線所成角的定義進(jìn)行求解,
(2)根據(jù)直線和平面所成角的定義進(jìn)行求解,
(3)根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角進(jìn)行求解.
【解答】(1)解:由已知得異面直線山,BC所成的角為直線必與AO所成的角為/公。
=45°
(2)解:由己知得BC與平面PDC垂直,所以PB與平面POC所成角為/CPB=45°
(3)解:取PC中點(diǎn)E,連接3E,貝IJOELPC
由于BC_L平面POC,所以尸BC_L平面PQC,從而。E_L平面C,做于點(diǎn)凡連
接。F,可得。F_LPB
所以尸£為二面角O-P8-C的平面角.
計(jì)算可得OE=¥,
所以二面角D-PB-C的正切值為近.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間角的計(jì)算,涉及根據(jù)異面直線,線面角以及二面角的定義分
別作出對(duì)應(yīng)的平面角是解決本題的關(guān)鍵.
3.如圖,在四棱錐P-ABCO中,底面ABC。為直角梯形,4?!?。&?=夕。=1且8=遍,
E為AO的中點(diǎn),F(xiàn)是棱抬的中點(diǎn),PA=2,PE,底面ABC。,ADLCD.
(I)證明:BF〃平面PCD;
(II)求二面角P-BD-F的正弦值;
(III)在線段PC(不含端點(diǎn))上是否存在一點(diǎn)使得直線和平面BQF所成角的
正弦值為一?若存在,求出此時(shí)PM的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.
【分析】(I)取的中點(diǎn)為“,連接用,HC.證明四邊形為平行四邊形,推
出8尸〃HC,然后證明8尸〃平面PCD
(I)證明四邊形8COE為矩形,如圖建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,求出平面PC。的法
向量,通過(guò)后?益=0,證明BF〃平面BCD
(II)求出平面PBD的法向量,平面BDF的法向量利用空間向量的數(shù)量積求解二面角
的余弦值,轉(zhuǎn)化求解正弦值.
(川)求出平面8。尸的法向量,求出京=而+茄=(-4,-V3+V3A,V3-V3A),
利用空間向量的數(shù)量積,求入=1,然后求解|P漏|.
【解答】解:(I)法一:取尸力的中點(diǎn)為H,
連接PH,HC.因?yàn)镕為孫的中點(diǎn),所以尸
-Z
又因?yàn)樗訠CIIFH,所以四邊形BCHF為平行四邊形,
所以BF//HC,
又因?yàn)镠Cu平面PCDBR4平面PCQ,所以BF〃平面PCD
(I)法二:由題意得:BCIIDE,/A£>C=90°,
所以四邊形BCZJE為矩形,
又PE_L面ABCO,
如圖建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,
則E(0,0,0),A(1,0,0),B(0,V3,0),D(-1,0,0),P(0,0,V5),C(-l,
V3,0),0,
設(shè)平面PC。的法向量為薪=(x,y,z),DC=(0,VL0),DP=(1,0,V3)
則,DCm=V3y=0
DP-m=x+V3z=0
則y=0,不妨設(shè)x=-8,則z=l,
可得m=(—V3>0,1)
又BF=&,—V3,>可得BF-m—0>
又因?yàn)橹本€BFC平面BCD,所以BF〃平面BCD
(II)設(shè)平面尸8。的法向量為元=(“乃,zi),而=(1,V3,0),麗=(0,-V3,
V3),
"三=0,即禽M?!环猎O(shè)"遮‘可嗝ff
則
BP?%=0
TT3
設(shè)平面BDF的法向量為n2=(x2,y2,z2),OF=(1,0,
x2+V3y2=0
DB-n2=0_
則,叫3V3,不妨設(shè)x2=V3,可得的=(V3/1,3),
Z2=0
DF-n2=0卜犯+三
T—>
因此有cosM,n)=7V65
2STSTF,
(注:結(jié)果正負(fù)取決于法向量方向)
——>—>1—COS2施,辦=嚼,
于是s譏⑺i,n2)-
所以二面角P-BD-F的正弦值為.
65
(注:前面設(shè)角后面不寫答話不扣分)
(III)設(shè)“=;!而="-1,V5,-V3)=(-A,V3A,-V3A),Ae(0,1)BM=BP+
PM=(-A,-V3+V3A,V3-V3A),
TT
由(H)可知平面BDF的法向量為3=(—如,1,3),\cos(BM,辦|=
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