2022年高考數(shù)學(xué)考前訓(xùn)練題

2022年高考數(shù)學(xué)考前訓(xùn)練題

1.如圖，在三棱臺(tái)ABC-AiBCi中，平面A4iCiC_L平面ABC,NABC=90°,AA\=A\C\

=CiC=2,AC=4,BC=2,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn).

(I)求證：OG〃平面4B814;

(II)求直線8。與平面所成角的正弦值.

【分析】(I)證明OCi〃A4i得出。。〃平面AB8i4；

(II)建立空間坐標(biāo)系，求出平面A881Al的法向量未計(jì)算二和BA的夾角得出線面角.

1

【解答】(I)證明：由題意可知：A1C1=^AC=AO,A1C1//AO,

所以四邊形A4CiO為平行四邊形，

所以O(shè)Ci〃A4i，又OCiC平面AB81A1，平面

所以0?！ㄆ矫鍭8B1A1.

(II)解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

則A(0,0,0),B(W,3,0),C(0,4,0),4式0,1,V3),Q(0,3,回

.,.BCj=(-V3,0,V3),AB=(V3,3,0),R=(0,1,b)，

設(shè)n=(x,y,z)是平面ABBiAi的法向量,

則屋瑟嘿濯U…'貝…3-

設(shè)BC\與平面ABB14所成角為6,

丘-BZII_2/_而

貝ijsin。=|cosVBC],n>\=

同|而|回x乃13

-A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行的判定，考查空間向量與線面角的計(jì)算，屬于中檔題.

2.如圖，ABCD,DC1.AD,BC//AD,PD：DC：BC=\-1：&.

（1）若AO=OC,求異面直線以，8C所成的角；

（2）求PB與平面尸￡>C所成角大?。?/p>

（3）求二面角。-PB-C的正切值.

【分析】（1）根據(jù)異面直線所成角的定義進(jìn)行求解，

（2）根據(jù)直線和平面所成角的定義進(jìn)行求解，

（3）根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角進(jìn)行求解.

【解答】（1）解：由已知得異面直線山，BC所成的角為直線必與AO所成的角為/公。

=45°

（2）解：由己知得BC與平面PDC垂直，所以PB與平面POC所成角為/CPB=45°

（3）解：取PC中點(diǎn)E,連接3E,貝IJOELPC

由于BC_L平面POC,所以尸BC_L平面PQC,從而。E_L平面C,做于點(diǎn)凡連

接。F,可得。F_LPB

所以尸￡為二面角O-P8-C的平面角.

計(jì)算可得OE=￥，

所以二面角D-PB-C的正切值為近.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間角的計(jì)算，涉及根據(jù)異面直線，線面角以及二面角的定義分

別作出對(duì)應(yīng)的平面角是解決本題的關(guān)鍵.

3.如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面ABC。為直角梯形,4?！?。&?=夕。=1且8=遍,

E為AO的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱抬的中點(diǎn)，PA=2,PE,底面ABC。，ADLCD.

(I)證明：BF〃平面PCD；

(II)求二面角P-BD-F的正弦值;

(III)在線段PC(不含端點(diǎn))上是否存在一點(diǎn)使得直線和平面BQF所成角的

正弦值為一？若存在，求出此時(shí)PM的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

【分析】(I)取的中點(diǎn)為“，連接用，HC.證明四邊形為平行四邊形，推

出8尸〃HC,然后證明8尸〃平面PCD

(I)證明四邊形8COE為矩形，如圖建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,求出平面PC。的法

向量，通過(guò)后?益=0,證明BF〃平面BCD

(II)求出平面PBD的法向量，平面BDF的法向量利用空間向量的數(shù)量積求解二面角

的余弦值，轉(zhuǎn)化求解正弦值.

(川)求出平面8。尸的法向量，求出京=而+茄=(-4,-V3+V3A,V3-V3A),

利用空間向量的數(shù)量積，求入=1,然后求解|P漏|.

【解答】解：(I)法一：取尸力的中點(diǎn)為H,

連接PH,HC.因?yàn)镕為孫的中點(diǎn)，所以尸

-Z

又因?yàn)樗訠CIIFH,所以四邊形BCHF為平行四邊形,

所以BF//HC,

又因?yàn)镠Cu平面PCDBR4平面PCQ,所以BF〃平面PCD

(I)法二：由題意得：BCIIDE,/A￡>C=90°,

所以四邊形BCZJE為矩形，

又PE_L面ABCO,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

則E(0,0,0),A(1,0,0),B(0,V3,0),D(-1,0,0),P(0,0,V5),C(-l,

V3,0),0,

設(shè)平面PC。的法向量為薪=(x,y,z),DC=(0,VL0),DP=(1,0,V3)

則,DCm=V3y=0

DP-m=x+V3z=0

則y=0,不妨設(shè)x=-8，則z=l,

可得m=(—V3>0,1)

又BF=&,—V3，>可得BF-m—0>

又因?yàn)橹本€BFC平面BCD,所以BF〃平面BCD

(II)設(shè)平面尸8。的法向量為元=(“乃，zi),而=(1,V3,0),麗=(0,-V3,

V3),

"三=0,即禽M?！环猎O(shè)"遮‘可嗝ff

則

BP?%=0

TT3

設(shè)平面BDF的法向量為n2=(x2,y2,z2),OF=(1,0,

x2+V3y2=0

DB-n2=0_

則，叫3V3,不妨設(shè)x2=V3,可得的=(V3/1,3),

Z2=0

DF-n2=0卜犯+三

T—>

因此有cosM，n)=7V65

2STSTF，

(注：結(jié)果正負(fù)取決于法向量方向)

——>—>1—COS2施，辦=嚼,

于是s譏⑺i，n2)-

所以二面角P-BD-F的正弦值為.

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(注：前面設(shè)角后面不寫答話不扣分)

(III)設(shè)“=；!而="-1,V5,-V3)=(-A,V3A,-V3A),Ae(0,1)BM=BP+

PM=(-A,-V3+V3A,V3-V3A),

TT

由(H)可知平面BDF的法向量為3=(—如，1，3),\cos(BM,辦|=