2022年高考數(shù)學必練題及答案解析

2022年高考數(shù)學考前必練題

1.如圖，在五面體ABCQEF中，四邊形A8EF為正方形，平面A8EF_L平面CQFE,CD//

EF,DF1EF,EF=2CD=2.

(1)若QF=2,求二面角A-CE-F的正弦值；

(2)若平面ACnL平面BCE,求。尸的長.

【分析】(1)證明DFVAF.AF_L平面CDFE.在平面CEF內(nèi)過點尸作FGVCE于G,

連結(jié)AG,則AGJ_C￡說明NAGF為二面角A-CE-F的平面角.通過求解三角形推出

二面角A-CE-F的正弦值即可.

(2)設平面ACFC平面BCF=/.推出A尸〃平面BCE.AF//1.證明C凡L/.C凡L平面

BCE.得到CFJ_CE,設力尸=f(f>0),然后利用勾股定理求解即可.

【解答】解：(1)因為平面A8EF_L平面CDFE,平面ABE/n平面CDFE=EF,DFL

EF,OFu平面CDFE,

所以力/_L平面ABEF,所以

又因為AF_LEF,CDFE,EFu平面CDFE,DFCEF=F.

所以A月L平面CDFE.

在平面CEF內(nèi)過點F作FG±CE于G,連結(jié)AG,則AG±CE.

所以/AGF為二面角A-CE-尸的平面角.

ABCDFEGl

在△CEF中，CE=CF=遮,EF=2,

由SACEF=.XEFXDF=2xCEXFG,得FG=寺.

在AAFG中，AG=y/AF2+FG2=竿，

所以sinZ/AGF=需=字，

V5

所以二面角A-CE-F的正弦值為

(2)設平面4CFA平面8C/=/.

因為四邊形A8E尸為正方形，所以A/〃BE.又AFC平面8CE,8Eu平面8CE,

所以AF〃平面BCE.

又AFu平面ACF,平面4CFA平面BCE=/,所以AP〃/.

因為AFL平面CQFE,CFu平面COFE,所以AFLCF,所以CFL.

又平面ACF_L平面BCE,平面ACFCI平面8CE=/,CFu平面ACF,

所以CF_L平面BCE.

又CEu平面BCE,所以CFLCE,所以?產(chǎn)+(；d=￡產(chǎn).

設。尸=f(f>0),貝ljCF=Ft2+1,CE=>Jt2+1,所以(?+l)+(?+l)=22,

解得r=l.即DF=1.

【點評】本題考查二面角的平面角的求法，空間點、線、面距離的求法，是中檔題.

2.如圖所示的幾何體中，ABC。是菱形，NABC=60°,布J_平面ABC。，AP//BF//DE,

AP=AB=2BF=2DE=4.

(1)求證：平面B4C_L平面PCE；

(2)求二面角B-PC-E的正弦值.

【分析】(1)取尸C中點M,連結(jié)8Q,設8。交AC于。，先證明。。_1_平面必C,再證

明四邊形OMEO是平行四邊形，則OO〃EM,由此得到EMJ_平面力C,進而得證；

(2)建立空間直角坐標系，求得平面BPC及平面PCE的法向量，利用向量公式求解即

可.

【解答】解：(1)證明：取PC中點/，連結(jié)80,設8。交AC于。，連結(jié)。“，EM,

在菱形A8CD中，0￡>_LAC,

?.?朋_L平面ABC。，OOu平面ABC。，A0D1PA,

又以AAC=4,PA,4Cu平面%C,，0￡)_L平面以C,

1

,：O,M分別是AC,PC的中點，：.OM//PA,OM=^PA,

5l.DE//PA,DE=^PA,J.OM//DE,且OM=OE,

四邊形OMED是平行四邊形，則OO〃EM,平面PAC,

又EMu平面PCE,；.平面以C_L平面PCE.

(2)由(1)中證明知，OMJ_平面48CC,則OB,OC,0M兩兩垂直，以08,0C,

0M所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

由B4=A8=28尸=2DE=4及ABCZ)是菱形，NABC=60°得，AC=4,BD=4V3,則

BQW，0,0),C(0,2,0),P(0,-2,4),F(-2V3,0,2),PC=(0,4,-4),

PB=(2V3,2,-4),PE=(-2V3,2,-2),

設平面尸BC的一個法向量為益=(a,b,c),貝47n.學=°,即卜盧a+2b-4c=0,

I蔡?PC=0(4b-4c=0

取a=l,求得b=c=遮，所以m=(l,V3,遮)，

同理，可求得平面PCE的一個法向量為蔡=(0,2,2),

設平面PBC與平面PCE構(gòu)成的二面角的平面角為6,Rij|cos0|=\cos<m,n>\=

|m|-|n|/7,2727

又8e|0,nJ,sinO>O,

/?sind=V1—cos26=亨，

V7

平面PBC與平面PCE構(gòu)成的二面角的正弦值為

【點評】本題考查面面垂直的判定以及利用空間向量求解二面角的正弦值，考查邏輯推

理能力以及運算求解能力，屬于中檔題.

3.已知四邊形ABC。，/B4C=NAOC=90°,DC=DA=與AB,將△AOC沿4c翻折至

△E4c.

（1）若求證以_LBC；

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（2）若二面角P-AC-8為:，求直線8C與平面附8所成角的正弦值.

【分析】（1）利用勾股定理證明結(jié)合已知條件可以證明孫，平面P2C,由線

面垂直的性質(zhì)定理即可證明以以J_BC；

（2）先利用二面角的定義找到二面角的平面角，從而得到線段之間的關系，建立合適的

空間直角坐標系，求出點的坐標和向量的坐標，利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由

線面角的求解公式計算即可.

【解答】（1）證明：因為。C=D4=%8,PA^PB,

所以PB=B4=D4=導AB,

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在△刑B中，^iPA2+PB2=^AB2+^AB2=AB2,

所以PA1.PB,

又N4DC=90°,即NAPC=90°,所以附_LPC,

因為PBAPC=P,PB,PCu平面PBC,

所以出J_平面PBC,

又BCu平面PBC,

所以PAYBC-,

(2)解：取AC的中點E,BC的中點F,連結(jié)EF,PE,則EF〃AB,

因為N5AC=90°,所以4B_LAC,所以ERLAC,

因為DC=DA,即PC=PA,所以PE1AC,

所以NPE尸為二面角P-AC-8的平面角，NPEF=?

設QC=QA=￥AB=V^,則AC='DC2+=2=AB,PE=^AC=CE=AE=1,

以點E為原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

則4(1,0,0),B(l,2,0),C(-l,0,0),P(0,孝，孝)，

所以3=(2,2,0),AB=(0,2,0),AP=(-1,孕，孝)，

設平面P8C的一個法向量為%=(%,y,z),

L-(2y=0

則,”=0,即

^n-AP=0{~x+Ty+TZ=O

令x