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文檔簡介
2022年高考數(shù)學考前必練題
1.如圖,在五面體ABCQEF中,四邊形A8EF為正方形,平面A8EF_L平面CQFE,CD//
EF,DF1EF,EF=2CD=2.
(1)若QF=2,求二面角A-CE-F的正弦值;
(2)若平面ACnL平面BCE,求。尸的長.
【分析】(1)證明DFVAF.AF_L平面CDFE.在平面CEF內(nèi)過點尸作FGVCE于G,
連結(jié)AG,則AGJ_C£說明NAGF為二面角A-CE-F的平面角.通過求解三角形推出
二面角A-CE-F的正弦值即可.
(2)設平面ACFC平面BCF=/.推出A尸〃平面BCE.AF//1.證明C凡L/.C凡L平面
BCE.得到CFJ_CE,設力尸=f(f>0),然后利用勾股定理求解即可.
【解答】解:(1)因為平面A8EF_L平面CDFE,平面ABE/n平面CDFE=EF,DFL
EF,OFu平面CDFE,
所以力/_L平面ABEF,所以
又因為AF_LEF,CDFE,EFu平面CDFE,DFCEF=F.
所以A月L平面CDFE.
在平面CEF內(nèi)過點F作FG±CE于G,連結(jié)AG,則AG±CE.
所以/AGF為二面角A-CE-尸的平面角.
ABCDFEGl
在△CEF中,CE=CF=遮,EF=2,
由SACEF=.XEFXDF=2xCEXFG,得FG=寺.
在AAFG中,AG=y/AF2+FG2=竿,
所以sinZ/AGF=需=字,
V5
所以二面角A-CE-F的正弦值為
(2)設平面4CFA平面8C/=/.
因為四邊形A8E尸為正方形,所以A/〃BE.又AFC平面8CE,8Eu平面8CE,
所以AF〃平面BCE.
又AFu平面ACF,平面4CFA平面BCE=/,所以AP〃/.
因為AFL平面CQFE,CFu平面COFE,所以AFLCF,所以CFL.
又平面ACF_L平面BCE,平面ACFCI平面8CE=/,CFu平面ACF,
所以CF_L平面BCE.
又CEu平面BCE,所以CFLCE,所以?產(chǎn)+(;d=£產(chǎn).
設。尸=f(f>0),貝ljCF=Ft2+1,CE=>Jt2+1,所以(?+l)+(?+l)=22,
解得r=l.即DF=1.
【點評】本題考查二面角的平面角的求法,空間點、線、面距離的求法,是中檔題.
2.如圖所示的幾何體中,ABC。是菱形,NABC=60°,布J_平面ABC。,AP//BF//DE,
AP=AB=2BF=2DE=4.
(1)求證:平面B4C_L平面PCE;
(2)求二面角B-PC-E的正弦值.
【分析】(1)取尸C中點M,連結(jié)8Q,設8。交AC于。,先證明。。_1_平面必C,再證
明四邊形OMEO是平行四邊形,則OO〃EM,由此得到EMJ_平面力C,進而得證;
(2)建立空間直角坐標系,求得平面BPC及平面PCE的法向量,利用向量公式求解即
可.
【解答】解:(1)證明:取PC中點/,連結(jié)80,設8。交AC于。,連結(jié)。“,EM,
在菱形A8CD中,0£>_LAC,
?.?朋_L平面ABC。,OOu平面ABC。,A0D1PA,
又以AAC=4,PA,4Cu平面%C,,0£)_L平面以C,
1
,:O,M分別是AC,PC的中點,:.OM//PA,OM=^PA,
5l.DE//PA,DE=^PA,J.OM//DE,且OM=OE,
四邊形OMED是平行四邊形,則OO〃EM,平面PAC,
又EMu平面PCE,;.平面以C_L平面PCE.
(2)由(1)中證明知,OMJ_平面48CC,則OB,OC,0M兩兩垂直,以08,0C,
0M所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
由B4=A8=28尸=2DE=4及ABCZ)是菱形,NABC=60°得,AC=4,BD=4V3,則
BQW,0,0),C(0,2,0),P(0,-2,4),F(-2V3,0,2),PC=(0,4,-4),
PB=(2V3,2,-4),PE=(-2V3,2,-2),
設平面尸BC的一個法向量為益=(a,b,c),貝47n.學=°,即卜盧a+2b-4c=0,
I蔡?PC=0(4b-4c=0
取a=l,求得b=c=遮,所以m=(l,V3,遮),
同理,可求得平面PCE的一個法向量為蔡=(0,2,2),
設平面PBC與平面PCE構(gòu)成的二面角的平面角為6,Rij|cos0|=\cos<m,n>\=
|m|-|n|/7,2727
又8e|0,nJ,sinO>O,
/?sind=V1—cos26=亨,
V7
平面PBC與平面PCE構(gòu)成的二面角的正弦值為
【點評】本題考查面面垂直的判定以及利用空間向量求解二面角的正弦值,考查邏輯推
理能力以及運算求解能力,屬于中檔題.
3.已知四邊形ABC。,/B4C=NAOC=90°,DC=DA=與AB,將△AOC沿4c翻折至
△E4c.
(1)若求證以_LBC;
71
(2)若二面角P-AC-8為:,求直線8C與平面附8所成角的正弦值.
【分析】(1)利用勾股定理證明結(jié)合已知條件可以證明孫,平面P2C,由線
面垂直的性質(zhì)定理即可證明以以J_BC;
(2)先利用二面角的定義找到二面角的平面角,從而得到線段之間的關系,建立合適的
空間直角坐標系,求出點的坐標和向量的坐標,利用待定系數(shù)法求出平面的法向量,由
線面角的求解公式計算即可.
【解答】(1)證明:因為。C=D4=%8,PA^PB,
所以PB=B4=D4=導AB,
11
在△刑B中,^iPA2+PB2=^AB2+^AB2=AB2,
所以PA1.PB,
又N4DC=90°,即NAPC=90°,所以附_LPC,
因為PBAPC=P,PB,PCu平面PBC,
所以出J_平面PBC,
又BCu平面PBC,
所以PAYBC-,
(2)解:取AC的中點E,BC的中點F,連結(jié)EF,PE,則EF〃AB,
因為N5AC=90°,所以4B_LAC,所以ERLAC,
因為DC=DA,即PC=PA,所以PE1AC,
所以NPE尸為二面角P-AC-8的平面角,NPEF=?
設QC=QA=¥AB=V^,則AC='DC2+=2=AB,PE=^AC=CE=AE=1,
以點E為原點,建立空間直角坐標系如圖所示,
則4(1,0,0),B(l,2,0),C(-l,0,0),P(0,孝,孝),
所以3=(2,2,0),AB=(0,2,0),AP=(-1,孕,孝),
設平面P8C的一個法向量為%=(%,y,z),
L-(2y=0
則,”=0,即
^n-AP=0{~x+Ty+TZ=O
令x
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