第七章多元向量值函數(shù)積分學5微積分基本定理的

§7.3微積分基本定理（Green）公(stokes)公式與旋 一 一平面單連通設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D則稱D為平面單連通區(qū)域否則稱為DD單連通區(qū) 復連通區(qū) 沿邊界行走,區(qū)域D DL2DL由L1與L2連 L由L1與L2組 （Green）函數(shù)Px,y)及Qx,y)D上具有一階連續(xù)導數(shù),PdxQdy

(Q

)dxd LD的取正向的邊公式(1)叫 公式 證明(1若區(qū)D既是XY型,即平行于坐標軸的直線L至多交于兩點.D{(x,y)y1(x)yy2(x),axD{(x,y)x1(y)xx2(y),cydyyyy2(DBAyy1( bEdDxx1(

xx2(x

dxdy

ddyx2(y)QdD x1(y D dEBcDAxx1(Coxx2cQ(x2(y),dEBcDAxx1(Coxx2 Q(x,y)dy Q(x,y)d Q(x,y)dy Q(x,y)dL

Q(x,y)dx同理可

dxdy

P(x,y)dL L兩式

(QP)dxdy

DL若區(qū)域D不同時為XY型(如圖),作輔助線將D分成三個既是X型又是Y的區(qū)域

,

(QP)dxdy

(QP)dxd

D1D2

()(QP)dxdD D

3LL PdxQdy PdxQd D PdxQdD PdxQd 1(1,L2L3對D來說為正方向圍成(如圖添加直線段ABCE.則D的邊界曲線由ABL2BA,AFCCE,L3,EC及CGA構(gòu)成.

GE F1A 由(2)

便 形式 (QP)dxd

PdxQdy

dxdD D

)(PdxQd

ECCGA}(PdxQdG PdxQdL.(L1L2L3對D來說為正方向.公式的實質(zhì):溝通

LFL1A曲線的積分與二重積分之間的聯(lián)系 簡化曲線

PdxQdy

(QP)dxd 例1.計算Lesiny3yxdx(ecosy 其中，L是從A(R0)沿上x2y2到點C(-R,0)的有向曲線弧yLRDCoAyLRDCoAx CALCA LCA LCA

QPdxd

yLD L Lesiny3yxdx(ecosy

cosy

DyLRDCoAx dxdy21yLRDCoAx22DCA:y0,dy

R33

R22R3 2.

dyydxL為一條 x2段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線,L的方向為時針方解記L所圍成的閉區(qū)域為P

Q x2 x2x2y20時Q y2x2 (x2y2 當(0,0)D時 公式

xdyydx x2xo當(0,0D時作位于D內(nèi)的圓周l x2y2r方向為順時針方向記D1為L和l所圍成的區(qū)域,

yL dyydx dyydL x2L

P

x2y2 D

ydxdy 1D 1

dyydx dyyd x2 x2y2 2r2cos2r2sin2

l:xrcosr2

yr:2(注 公式的條件 簡化二重積 1例3.計算ey2dxdy,其中 1D是以O(shè)(0,0),A(1,1),B(0,1)為 點的三角形閉區(qū)域2 令P Qxey 2則QPey2 應(yīng) 公式,ey2dxdy xey2d OAAB 1DAo1ey2dxdy xey21DAo1 OAABAB:y1,dy BO:xOA:y x:0 D

ey

dxd

xey2d11

xex2d

1(1e12 計算平面公式

(Q

)dxdy

PdxQd L取Py,Qx,得2dxdy xdyydL閉區(qū)域D的面積

A xdyydx P0,Qx得取Py,Q0,

A xdLA ydL Lo4.計算拋物xy)2ax(a0)x軸所Lo解區(qū)域D的正向邊界曲線OA:y0(x:0與拋物線 y x,(x:aA

xdyydx1xdyydx1xdyyd 2 2 001 0

1)dx

x)d2axa 4axa

dx1a26 練習Lx2y1)24的正向一 xdyydx2 (y原積分

xdyydx

xdyyd 1 (Green公式4 (Gauss)(Gauss)定理2設(shè)空間閉區(qū)域V由分片光滑的閉曲面S所圍成,函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)C(1)(V ,PdydzQdzdxRdxdy(PQR PcosQcosRcos)dS(PQR SV的整個邊界曲面的外側(cè)，cos,cosS上點x,y,z)處的法向量的方向余弦 zVOyx證明設(shè)閉區(qū)域V在面zVOyxSS1S2和S3三部分組成S2

zz1(x,zz2(x,S3為柱面上的一部這里z1xyz2x,y)S1取下S3取外側(cè)

S2取上側(cè) 根據(jù)三重積分的計算VV

RdV

z2(x,y)

dzdxdD D

Rx,y,z2(x,y)Rx,y,z1(x,y)dxd根據(jù)曲面積分的計算R(x,y,z)dxdyRx,y,z1(x,y)dxdy R(x,y,z)dxdyRx,y,z2(x,y)dxdy R(x,y,z)dxdy Rxyz)dxS{R[x,y,z2(x,y)]R[x,y,z1(x,y)]}dxdRdVR(x,y,z)dxd 同理PdVPxyz)dydz QdVQ(x,y,z)dzd 和并以上三式(PQR)dVPdydzQdzdxRdx 返F(P,Q

,, ,,

，則 Fx 公式又可寫 FdS Gauss公式的實 例5計算積分xy)dxdyyz)xdy 其中S為柱面x2y21及平 z0z=3所圍成的空域V的整個邊界曲面的外側(cè).Pyzx,Q0,RxPyz,Q0,R x原式y(tǒng)z)dxdydz(rsinz)rdrdd ddrr(sinz)rdz9

使用Guass公式時應(yīng)注意P,Q,R是分別對什么變量求偏導數(shù)是否滿 公式的條件S是取閉曲面的外側(cè) 6.計算(x2cosy2cosz2cos)dSS其中 為錐面x2y2z2介于平面z0zh(h0)之間的部分的下側(cè),cos,cos 是z在點x,yz)處的法向量的方向余解xy.曲面在xoy面上的投解xy曲面S不是封閉曲面,為利公

:zh(x2y2h2)的上 上 下 返 z在V上使 公(x2cosy2cosz2cos)dSS2(xyz)dVV

S由對稱

(xy)dV Vx(x2cosy2cosz2cos)dShSh2zdVV

0rdr

x2

zdz1h42 (x2cosy2cosz2cos)dz2dSh2dxdyh4 故所求積(x2cosy2cosz2cos)dS1h4h41h4 例7.S為一光滑閉曲面，nS上點(xy,z)曲面S不包圍原點曲面S包圍原點

在下列兩種z

r dS, 其中r||r||S

解(1)cos(r,n)

||r||||n 1

r2

dS

rndS0r0

rdr 記S所圍成的區(qū)域為V，當曲面S不包圍原 r

由Gauss 1

dS

r3r xyzdV

0dVx

r3

y

r3

zr3

zoyxzoyxS

r dS(2)當曲面S包圍原點時r1在原點不可導rr在S內(nèi)作一內(nèi)側(cè)球面S1x2y2z2a2 記SS1所圍成的區(qū)域為V1Gauss

x y z

dS

xr3

y

z

dV V S 又S

zozoyx 1因為Sr1

S

r

dS1a2 a214a24 a2

S

cos(r,n)dS4r 練習立體

V為S判斷下列演算是否正確 Sr3dydzr3dzdxr3dxd1R31

x3dydzy3dzdxz3dxd

3(x2y2z2)d

dv4R2 Sr

dydzr3dzdx

r3dxd(x3

z3) ) )

r

r r 2xzdydzyzdzdxx2z2zdxdS其中S是上半球面z R2x2y2的上側(cè)zoRyx解作輔助平面zoRyxz0x2y2R2的下側(cè)則 S 由Gauss xzdydzyzdzdxx2z2zdxdS PQRdV

zz2z

zV dV2R3VS4S4

x2dxdy

dRr2cos2rdr

S

2R3 三三 (stokes)公3L為分段光滑的空間有向閉曲線,S是以L為邊界的分片光滑的有向曲面,L的正向S的側(cè)符合右手規(guī)則,函數(shù)Px,yz),Qx,yz),Rx,yz)在包S在內(nèi)的一個空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù),則有公式PdxQdyRdz(RQ)dyd (PR)dzdx(QP)dxd zSoxL證情形1 S與平行z軸的直線只交于zSoxLS:zz(x,y), (x,y)不妨設(shè)S取上側(cè)(如圖設(shè)曲線在xoy面投影曲L:xx(t),yy(t)(t: 則xx(t),yy(t),zz(x(t),y(t))(t:P(x,y,z)dxPx(t),y(t),z(x(t),y(t))x(t)d P(x,y,z(x,y))dL P(x,y,z(x,y))dx zPPz z另一方PdzdxPdxd

(利 公式 0,P,P z,

y y,1dxdD

zPPz z P(x,y,z)dxPdzdxPdxdQ同理Q

Q(x,y,z)dy

x

dxdy

Qdydz,SR(x,y,z)dzRdydzRdzdx,S y 三式相加,即 公式 曲面S與平行z軸的直線交點多于一個時,可通過作輔助線把S分成與z軸只交于一點的幾 便 形dyddzddxddyddzddxdPQRScoscosPQRPdxQdyRdz dS其中(cos,cos,cos 是S所在側(cè)的單位法向量 Stokes公式的實(當S是xoy面的平面閉區(qū)域時公公特殊公公 例8.計算曲線積 dxxdyy

其中是

xyz1被三坐標面所截成的三角解 公式, dxxdyyd dyd dzd dxdS

1xdydzdzdxdxd 上 下 返~由于Sz1xy的上側(cè)nFP,QRdydzdzdxdxdS

Dxy如圖y

→1o1Fnd3d1o1 zdxxdyydz 9.計算曲線(y2z2)dx(z

x2)dy(x2y2)d其中是平面xyz3截立方體:0x2z1nSo1y1x0y1,0zz1nSo1y1x正向看去,取逆時取S平面xyz2的上側(cè)被 3 n03

13即coscoscos 13D