2023年人教版高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必修２知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章空間幾何體1.1柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特性（1）棱柱:定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表達(dá):用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母,如五棱柱幾何特性：兩底面是相應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐定義:有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表達(dá):用各頂點(diǎn)字母,如五棱錐幾何特性:側(cè)面、對(duì)角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。(3）棱臺(tái):定義:用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等表達(dá)：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)幾何特性：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特性：①底面是全等的圓；②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。(5)圓錐：定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特性:①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。(6）圓臺(tái)：定義:用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特性:①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。(7）球體：定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特性:①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。1．２空間幾何體的三視圖和直觀圖(1）定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下)注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度;俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。(２)畫三視圖的原則：長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等(3）直觀圖：斜二測(cè)畫法(４)斜二測(cè)畫法的環(huán)節(jié):（1).平行于坐標(biāo)軸的線仍然平行于坐標(biāo)軸;（2).平行于y軸的線長(zhǎng)度變半,平行于x,z軸的線長(zhǎng)度不變;(3）.畫法要寫好。(5)用斜二測(cè)畫法畫出長(zhǎng)方體的環(huán)節(jié):（1)畫軸(2）畫底面(3)畫側(cè)棱（4)成圖1.３空間幾何體的表面積與體積（1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。(2）特殊幾何體表面積公式(c為底面周長(zhǎng)，h為高，為斜高,ｌ為母線）（3）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式(4）球體的表面積和體積公式:V=；S＝DCDCBAα2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（１)平面①平面的概念:Ａ．描述性說明；B.平面是無限伸展的；②平面的表達(dá):通常用希臘字母α、β、γ表達(dá),如平面α(通常寫在一個(gè)銳角內(nèi));也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來表達(dá),如平面BＣ。③點(diǎn)與平面的關(guān)系:點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作;點(diǎn)不在平面內(nèi)，記作點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)Ａ的直線l上,記作:Ａ∈ｌ；點(diǎn)A在直線l外,記作Al;直線與平面的關(guān)系：直線l在平面α內(nèi),記作lα；直線ｌ不在平面α內(nèi)，記作ｌα。(2)公理1:假如一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。（即直線在平面內(nèi)，或者平面通過直線)應(yīng)用:檢查桌面是否平;判斷直線是否在平面內(nèi)用符號(hào)語言表達(dá)公理1：（3）公理2:通過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論：一直線和直線外一點(diǎn)擬定一平面；兩相交直線擬定一平面；兩平行直線擬定一平面。公理２及其推論作用：①它是空間內(nèi)擬定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)(4）公理3：假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線符號(hào)：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝ａ。符號(hào)語言：公理３的作用：?①它是鑒定兩個(gè)平面相交的方法。②它說明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共點(diǎn)。③它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。2.１．2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：共面直線相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；共面直線平行直線：同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)。２公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表達(dá)為:設(shè)a、b、c是三條直線=>a∥ca=>a∥cc∥b強(qiáng)調(diào)：公理４實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性,在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都合用。公理4作用:判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3等角定理：空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別相應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)４注意點(diǎn):①a'與b'所成的角的大小只由a、b的互相位置來擬定，與O的選擇無關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上；②兩條異面直線所成的角θ∈(0，）;③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí),我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥ｂ；④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形;⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。２.1.３—２．1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系:(1)直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(2)直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)(3)直線在平面平行——沒有公共點(diǎn)指出:直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表達(dá)aαa∩α=Aa∥α2.2.直線、平面平行的鑒定及其性質(zhì)2.２．1直線與平面平行的鑒定1、直線與平面平行的鑒定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行。簡(jiǎn)記為:線線平行，則線面平行。符號(hào)表達(dá):ａαbβ＝>a∥αa∥ｂ2．2．2平面與平面平行的鑒定1、兩個(gè)平面平行的鑒定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表達(dá):ａβｂβa∩b＝Pβ∥αa∥αb∥α2、判斷兩平面平行的方法有三種：（１）用定義；(2）鑒定定理;(3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。2.2.3—２.2．4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理:一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡(jiǎn)記為:線面平行則線線平行。符號(hào)表達(dá)：a∥αａβa∥bα∩β＝b作用:運(yùn)用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：假如兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。符號(hào)表達(dá):α∥βα∩γ=ａa∥bβ∩γ=b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的鑒定及其性質(zhì)２.3.1直線與平面垂直的鑒定１、定義假如直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線L與平面α互相垂直,記作Ｌ⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí)，它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。Ｌpα2、鑒定定理:一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直。注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；ｂ)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3．2平面與平面垂直的鑒定1、二面角的概念：表達(dá)從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形A梭lβBα２、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AＢ－β3、兩個(gè)平面互相垂直的鑒定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直。2.3.3—2.３.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖平面（公理1、公理2、公理3、公理4）平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空間直線、平面的位置關(guān)系空間直線、平面的位置關(guān)系直線與直線的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系直線與直線的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系 第三章直線與方程３.１直線的傾斜角和斜率3.１傾斜角和斜率1、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．特別地,當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí),規(guī)定α＝0°．2、傾斜角α的取值范圍：０°≤α＜180°.當(dāng)直線l與ｘ軸垂直時(shí)，α=90°.3、直線的斜率:一條直線的傾斜角α（α≠90°）的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母ｋ表達(dá),也就是k=taｎα⑴當(dāng)直線l與ｘ軸平行或重合時(shí),α=0°,k=ｔaｎ０°=0;⑵當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),α=9０°,k不存在.由此可知，一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直線的斜率公式:給定兩點(diǎn)Ｐ１(ｘ1，y１),P２(ｘ2,y２),x１≠x2，用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表達(dá)直線Ｐ1P2的斜率：斜率公式:k=ｙ２-ｙ1/x2-x13.1.２兩條直線的平行與垂直1、兩條直線都有斜率并且不重合,假如它們平行,那么它們的斜率相等；反之，假如它們的斜率相等，那么它們平行，即注意:上面的等價(jià)是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少這個(gè)前提，結(jié)論并不成立．即假如k1=ｋ２,那么一定有L1∥L2２、兩條直線都有斜率,假如它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù);反之，假如它們的斜率互為負(fù)倒數(shù),那么它們互相垂直,即3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程１、直線的點(diǎn)斜式方程：直線通過點(diǎn),且斜率為２、、直線的斜截式方程:已知直線的斜率為，且與軸的交點(diǎn)為3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程1、直線的兩點(diǎn)式方程:已知兩點(diǎn)其中y-y1/y-ｙ2=x-x1/ｘ-x22、直線的截距式方程：已知直線與軸的交點(diǎn)為Ａ,與軸的交點(diǎn)為Ｂ,其中３.２.3直線的一般式方程1、直線的一般式方程:關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0)2、各種直線方程之間的互化。３.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式3.３.1兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)１、給出例題:兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)L1:3ｘ+4ｙ-２=0L1：2ｘ+y+2=0解:解方程組得x=-２,y=２所以L1與L２的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（-2，2）兩點(diǎn)間距離兩點(diǎn)間的距離公式點(diǎn)到直線的距離公式1．點(diǎn)到直線距離公式:點(diǎn)到直線的距離為：２、兩平行線間的距離公式:已知兩條平行線直線和的一般式方程為：,：，則與的距離為圓與方程4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程１、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:圓心為A（ａ,b),半徑為ｒ的圓的方程2、點(diǎn)與圓的關(guān)系的判斷方法:（1）>,點(diǎn)在圓外（２）=，點(diǎn)在圓上(3）＜,點(diǎn)在圓內(nèi)4.1.2圓的一般方程1、圓的一般方程:2、圓的一般方程的特點(diǎn):(1)①ｘ2和ｙ2的系數(shù)相同,不等于0．②沒有xy這樣的二次項(xiàng)．（２)圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)D、E、Ｆ,因之只規(guī)定出這三個(gè)系數(shù),圓的方程就擬定了．（３)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特性明顯,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小,幾何特性較明顯。4.2.1圓與圓的位置關(guān)系1、用點(diǎn)到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系.設(shè)直線:，圓：,圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：(１)當(dāng)時(shí)，直線與圓相離；（2)當(dāng)時(shí)，直線與圓相切;(3）當(dāng)時(shí),直線與圓相交;4．2.2圓與圓的位置關(guān)系兩圓的位置關(guān)系.設(shè)兩圓的連心線長(zhǎng)為，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn):（1）當(dāng)時(shí)，圓與圓相離;（2)當(dāng)時(shí)，圓與圓外切；(3)當(dāng)時(shí),圓與圓相交;（4）當(dāng)時(shí)，圓與圓內(nèi)切；（5)當(dāng)時(shí)，圓與圓內(nèi)含；4.２.3直線與圓的方程的應(yīng)用直線與圓的位置關(guān)系有相離,相切，相交三種情況,基本上由下列兩種方法判斷:(1）設(shè)直線,圓，圓心到l的距離為，則有；；(２）設(shè)直線，圓，先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)一元二次方程之后，令其中的判別式為,則有；；注:假如圓心的位置在原點(diǎn),可使用公式去解直線與圓相切的問題，其中表達(dá)切點(diǎn)坐標(biāo),r表達(dá)半徑。1、運(yùn)用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系;２、過程與方法用坐標(biāo)法解決幾何問題的環(huán)節(jié):第一步:建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表達(dá)問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．(３)過圓上一點(diǎn)的切線方程:①圓