2018版高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.2.1第2課時(shí)三角函數(shù)線學(xué)案版4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE17學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時(shí)三角函數(shù)線學(xué)習(xí)目標(biāo)1。掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域.2。了解三角函數(shù)線的意義,能用三角函數(shù)線表示一個(gè)角的正弦、余弦和正切。3。能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題．知識(shí)點(diǎn)一有向線段思考1比如你從學(xué)校走到家和你從家走到學(xué)校，效果一樣嗎？思考2如果你覺得效果不同，怎樣直觀的表示更好？梳理有向線段（1)有向線段：規(guī)定了________(即規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn))的線段稱為有向線段．（2）有向直線:規(guī)定了正方向的直線稱為有向直線．（3）有向線段的數(shù)量：根據(jù)有向線段AB與有向直線l的方向相同或相反，分別把它的長度添上______或______，這樣所得的數(shù)，叫做有向線段的數(shù)量，記為AB.(4）單位圓:圓心在________,半徑等于____________的圓．知識(shí)點(diǎn)二三角函數(shù)線思考1在平面直角坐標(biāo)系中,任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，過點(diǎn)A(1，0）作單位圓的切線，交α的終邊或其反向延長線于點(diǎn)T，如圖所示,結(jié)合三角函數(shù)的定義,你能得到sinα,cosα,tanα與MP,OM，AT的關(guān)系嗎？思考2三角函數(shù)線的方向是如何規(guī)定的？思考3三角函數(shù)線的長度和方向各表示什么？梳理圖示正弦線角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM垂直于x軸，有向線段________即為正弦線余弦線有向線段________即為余弦線正切線過點(diǎn)A（1,0）作單位圓的切線，這條切線必然平行于y軸，設(shè)它與α的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn)T，有向線段________即為正切線知識(shí)點(diǎn)三正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域思考對(duì)于任意角α,sinα，cosα，tanα都有意義嗎？梳理三角函數(shù)的定義域函數(shù)名定義域正弦函數(shù)R余弦函數(shù)R正切函數(shù){x｜x∈R，且x≠kπ＋eq\f(π，2)，k∈Z｝類型一三角函數(shù)線例1作出－eq\f（5π，8)的正弦線、余弦線和正切線．反思與感悟（1）作正弦線、余弦線時(shí)，首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，然后過此交點(diǎn)作x軸的垂線，得到垂足,從而得到正弦線和余弦線．（2）作正切線時(shí)，應(yīng)從點(diǎn)A（1，0）引單位圓的切線交角的終邊或終邊的反向延長線于一點(diǎn)T，即可得到正切線AT.跟蹤訓(xùn)練1在單位圓中畫出滿足sinα＝eq\f（1，2)的角α的終邊,并求角α的取值集合．類型二利用三角函數(shù)線比較大小例2利用三角函數(shù)線比較sineq\f（2π，3)和sineq\f（4π，5),coseq\f(2π,3）和coseq\f（4π,5),taneq\f（2π,3)和taneq\f（4π，5）的大?。此寂c感悟利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小時(shí),一般分三步：（1)角的位置要“對(duì)號(hào)入座"．（2)比較三角函數(shù)線的長度．(3）確定有向線段的正負(fù)．跟蹤訓(xùn)練2比較sin1155°與sin(－1654°)的大小．類型三利用三角函數(shù)線解不等式(組)eq\x（命題角度1利用三角函數(shù)線解不等式組)例3在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的集合．（1）sinα≥eq\f(\r（3）,2）；（2)cosα≤－eq\f（1,2）.反思與感悟用單位圓中的三角函數(shù)線求解簡單的三角不等式，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：（1）先找到“正值”區(qū)間，即0~2π內(nèi)滿足條件的角θ的范圍，然后再加上周期．(2）注意區(qū)間是開區(qū)間還是閉區(qū)間．跟蹤訓(xùn)練3已知－eq\f（1,2)≤cosθ<eq\f（\r(3)，2），利用單位圓中的三角函數(shù)線，確定角θ的取值范圍．eq\x(命題角度2利用三角函數(shù)線求三角函數(shù)的定義域)例4求下列函數(shù)的定義域．（1）y＝eq\r（3tanx－\r（3））；(2)y＝lg（sinx－eq\f(\r(2），2）)＋eq\r(1－2cosx)。反思與感悟(1)求函數(shù)的定義域，就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍，一般通過解不等式或不等式組求得，對(duì)于三角函數(shù)的定義域問題，還要考慮三角函數(shù)自身定義域的限制．(2）要特別注意求一個(gè)固定集合與一個(gè)含有無限多段的集合的交集時(shí)，可以取特殊值把不固定的集合寫成若干個(gè)固定集合再求交集．跟蹤訓(xùn)練4求函數(shù)f（x)＝eq\r(2sinx－1）的定義域．1．函數(shù)y＝eq\r（cosx－\f（\r(3)，2))的定義域?yàn)開_______．2．如圖在單位圓中，角α的正弦線、正切線分別是____________．3．設(shè)a＝sineq\f(2π，7)，b＝coseq\f（2π,7），c＝taneq\f(2π,7)，則a、b、c的大小關(guān)系是________．(按由小到大順序排列)4．函數(shù)y＝eq\r（2cosx－1)的定義域?yàn)開_______．5．利用三角函數(shù)線，在單位圓中畫出滿足下列條件的角α的區(qū)域,并寫出角α的集合:（1）cosα＞－eq\f（\r（2），2）；（2)tanα≤eq\f(\r(3)，3）;（3)|sinα｜≤eq\f(1,2).1．三角函數(shù)線的意義三角函數(shù)線是用單位圓中某些特定的有向線段的長度和方向表示三角函數(shù)的值,三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值的絕對(duì)值，方向表示三角函數(shù)值的正負(fù)．具體地說，正弦線、正切線的方向同y軸一致，向上為正,向下為負(fù);余弦線的方向同x軸一致,向右為正，向左為負(fù)．三角函數(shù)線將抽象的數(shù)用幾何圖形表示出來,使得問題更形象直觀,為從幾何途徑解決問題提供了方便．2．三角函數(shù)線的畫法定義中不僅定義了什么是正弦線、余弦線、正切線，同時(shí)也給出了角α的三角函數(shù)線的畫法，即先找到P，M，T點(diǎn),再畫出MP，OM，AT。注意三角函數(shù)線是有向線段，要分清始點(diǎn)和終點(diǎn)，字母的書寫順序不能顛倒．3．三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示，它直觀地刻畫了三角函數(shù)的概念．與三角函數(shù)的定義結(jié)合起來，可以從數(shù)與形兩方面認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的定義,并使得對(duì)三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值符號(hào)的變化規(guī)律的理解更容易了．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1不一樣．思考2用有向線段AB和BA表示較好．梳理（1)方向（3）正號(hào)負(fù)號(hào)（4)原點(diǎn)單位長度知識(shí)點(diǎn)二思考1sinα＝MP，cosα＝OM,tanα＝AT。思考2方向與x軸或y軸的正方向一致的為正值，反之，為負(fù)值．思考3長度等于三角函數(shù)值的絕對(duì)值，方向表示三角函數(shù)值的正負(fù)．梳理MPOMAT知識(shí)點(diǎn)三思考由三角函數(shù)的定義可知，對(duì)于任意角α，sinα,cosα都有意義,而當(dāng)角α的終邊在y軸上時(shí)，任取一點(diǎn)P，其橫坐標(biāo)x都為0，此時(shí)eq\f(y,x)無意義,故tanα無意義．題型探究例1解如圖所示，sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(5π，8)）)＝MP，coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(5π，8)）)＝OM，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（5π，8））)＝AT.跟蹤訓(xùn)練1解已知角α的正弦值，可知MP＝eq\f（1,2），則P點(diǎn)縱坐標(biāo)為eq\f(1,2）.所以在y軸上取點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（1,2)))，過該點(diǎn)作x軸的平行線，交單位圓于P1,P2兩點(diǎn)，則OP1，OP2是角α的終邊，因而角α的取值集合為{α｜α＝2kπ＋eq\f(π,6）或α＝2kπ＋eq\f（5π，6），k∈Z}．例2解如圖，sineq\f（2π,3)＝MP，coseq\f(2π，3)＝OM,taneq\f（2π,3)＝AT，sineq\f(4π,5）＝M′P′，coseq\f(4π,5）＝OM′,taneq\f（4π,5）＝AT′。顯然|MP｜〉｜M′P′|，符號(hào)皆正,∴sineq\f（2π,3）〉sineq\f（4π,5)；｜OM｜<|OM′｜,符號(hào)皆負(fù)，∴coseq\f(2π,3）〉coseq\f（4π,5)；｜AT｜〉|AT′｜，符號(hào)皆負(fù)，∴taneq\f（2π,3）<taneq\f(4π，5）。跟蹤訓(xùn)練2sin1155°>sin（－1654°)．例3解(1）作直線y＝eq\f(\r(3），2）交單位圓于A，B兩點(diǎn)，連結(jié)OA，OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(如圖(1)所示的陰影部分,包括邊界）,即為角α的終邊的范圍．故滿足要求的角α的集合為｛α|2kπ＋eq\f(π,3）≤α≤2kπ＋eq\f(2π，3),k∈Z｝．(2)作直線x＝－eq\f(1，2)交單位圓于C，D兩點(diǎn)，連結(jié)OC與OD，則OC與OD圍成的區(qū)域（如圖（2)所示的陰影部分，包括邊界），即為角α的終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ＋eq\f（2π，3)≤α≤2kπ＋eq\f（4π，3)，k∈Z｝．跟蹤訓(xùn)練3{θ｜2kπ－eq\f（2，3)π≤θ<2kπ－eq\f(π，6）或2kπ＋eq\f(π,6)<θ≤2kπ＋eq\f（2，3）π,k∈Z｝例4解(1）為使y＝eq\r（3tanx－\r（3))有意義，則3tanx－eq\r(3)≥0,所以tanx≥eq\f(\r（3）,3)，所以角x終邊所在區(qū)域如圖所示，所以kπ＋eq\f（π，6)≤x〈kπ＋eq\f(π，2），k∈Z，所以原函數(shù)的定義域是{x｜kπ＋eq\f(π，6)≤x<kπ＋eq\f（π,2），k∈Z}．（2)由題意知，自變量x應(yīng)滿足不等式組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（1－2cosx≥0，,sinx－\f(\r（2),2)>0，)）即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(cosx≤\f(1，2）,，sinx>\f（\r(2），2）.))則不等式組的解的集合如圖（陰影部分)所示，∴｛x｜2kπ＋eq\f(π,3)≤x〈2kπ＋eq\f（3π,4)，k∈Z｝．跟蹤訓(xùn)練4｛x|eq\f（π，6)＋2kπ≤x≤eq\f（5π，6）＋2kπ，k∈Z}當(dāng)堂訓(xùn)練1．｛x|2kπ－eq\f(π,6）≤x≤2kπ＋eq\f(π，6)，k∈Z｝2．MP、AT3。b<a<c4。eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（－\f（π，3)＋2kπ,\f(π，3）＋2kπ)）,k∈Z5．解（1）｛α｜2kπ－eq\f(3π，4)＜α＜2kπ＋eq