推薦-西南石油大學數(shù)學物理方程習題解答案課后習題答

數(shù)學物理方程習題解習題一1，驗證下面兩個函數(shù)：都是方程的解。證明：（1）因為所以是方程的解。（2）因為所以是方程的解。2，證明：滿足方程其中和都是任意的二次可微函數(shù)。證明：因為所以得證。3，已知解的形式為，其中是一個待定的常數(shù)，求方程的通解。解：令所以則將上式帶入原方程得因為是一個具有二階連續(xù)可導的任意函數(shù)，所以從而，故都是原方程的解，為任意的二階可微函數(shù)，根據(jù)迭加原理有為通解。4，試導出均勻等截面的彈性桿作微小縱振動的運動方程（略去空氣的阻力和桿的重量）。解：彈性桿的假設(shè)，垂直于桿的每一個截面上的每一點受力與位移的情形都是相同的，取桿的左端截面的形心為原點，桿軸為軸。在桿上任意截取位于的一段微元，桿的截面積為，由材料力學可知，微元兩端處的相對伸長（應(yīng)變）分別是與，又由胡克定律，微元兩端面受桿的截去部分的拉力分別為截去部分的作用力的合力為：與，因此微元受桿的且合力的正向與坐標軸相同，設(shè)為微元質(zhì)心的坐標，則質(zhì)心處的加速度為由牛頓第二定律有：，約去，并對右端應(yīng)用中值定理，得約去，并令，即得：由于彈性桿是均勻的，（常數(shù)），（常數(shù)）從而，其中（是楊氏模量，是體密度）。5，一均勻細桿直徑為，假設(shè)它的同一橫截面上溫度是相同的，桿的表面和周圍介質(zhì)發(fā)生熱交換，服從規(guī)律記桿的體密度為，比熱為,熱傳導系數(shù)為.試導出此時溫度滿足的微分方程。解：取桿軸為，考察桿位于段的側(cè)面流入的熱量為：段在時間區(qū)間上的熱平衡，在時間內(nèi)，在點所以，處截面流入該段的熱量為：溫度升高所吸收的熱量：由能量守恒定律得：由的任意性，有。6,設(shè)某溶質(zhì)在溶液中擴散，它在時刻溶液中點處的濃度用函數(shù)表示，試導出為擴散系數(shù)。所滿足的微分方程。解：由Nernst定律得上式中表示擴散物質(zhì)濃度，為在時間內(nèi)經(jīng)過面擴散物質(zhì)的量，在時段內(nèi)通過邊界曲面S流入?yún)^(qū)域的質(zhì)量為從時刻到，中該物質(zhì)質(zhì)量的增加為：從而，由質(zhì)量守恒定律有交換積分次序可得：由于，在區(qū)域都是任意的，可以得到7,一根均勻桿原長，一段固定，另一端拉長而靜止，然后突然放手任其振動，試寫出其定解問題。解：設(shè)點在處固定，在處拉長而靜止，然后突然放手任其振動，則方程為。邊界條件為：初始條件為：；。8，長為的均勻桿，側(cè)面絕熱，一端溫度為0度，另一端有已知的恒定熱流進入，設(shè)單位時間流入單位截面積的熱量為，桿的初始溫度分布是解：側(cè)面絕熱，方程為，試寫出其定解問題。邊界條件為初始條件為9，長度為的均勻細桿，初始溫度為0℃，端點處保持常溫，而在處和桿的側(cè)面熱量可以所滿足的定解問散發(fā)到周圍介質(zhì)中去，設(shè)周圍介質(zhì)的溫度為0℃。試列出桿上的溫度分布函數(shù)題。解：類似第5題，可得方程。其中，邊界條件為:初始條件為：10，設(shè)函數(shù)和分別是定解問題和的解，試證明函數(shù)是定解問題的解。證明：利用疊加原理Ⅰ得，其中必滿足。因為。是定解問題一得解，是定解問題二的解。所以又因為對定解問題一有對定解問題二有，所以；同理可得與的邊界條件與初始條件累加均滿足定解問題三。得證。11，設(shè)函數(shù)和分別是定解問題（Ⅰ）和（Ⅱ）的解，試證明函數(shù)是定解問題（Ⅲ）的解。證明：利用疊加原理得，其中（Ⅰ）式=0，（Ⅱ）式的為。因為是定解問題一得解，是定解問題二的解。所以它們的線性組合必滿足方程，即是方程的解。又因為對定解問題（Ⅰ）有，；對定解問題（Ⅱ）有，。所以，同理可得與的邊界條件與初始條件累加均滿足定解問題三。得證。習題二1，用分離變量法解齊次弦振動方程，的下述混合問題：（1），（2）（3）解：（1）第一，求與所滿足的常微分方程設(shè)滿足方程和齊次邊界條件的特解形式為，代入方程得即所以得到與所滿足的兩個常微分方程：第二，解特征值問題為了要特解形式滿足邊界條件，必須有因為不能恒為零，所以這樣就得到?jīng)Q定的如下常微分方程邊值問題：通解為滿足邊界條件：即（關(guān)于，的齊次線性方程組）因為系數(shù)行列式所以,即，無非零解。②，通解，帶入邊界條件得即，無非零解。③,通解，代入邊界條件得所以再將特征函數(shù)為代入方程得特征方程：通解：綜上：第三：迭加第四：確定系數(shù)因為，使上式滿足初始條件。由正交性：在上積分從而同理所以(2)特征值為特征函數(shù)確定系數(shù)，。（3）2/l改為2/ka*pi所以2,用分離變量法求解下述熱傳導方程的混合問題：解：（1）①分離變量，令形式特解滿足方程和齊次邊界條件代入邊界條件得：從而得決定的如下常微分方程邊值問題②求解特征值問題因為當只有當時，該問題只有零解，無非零解時，方程有非零解：代入邊界條件得：所以特征值為特征函數(shù)為再將特征值代入通解：得所以，③迭加，則④確定系數(shù)，使上式滿足初始條件，則所以（2）特征值為，；特征函數(shù)為所以l改為l/2，級數(shù)錢負號-3,求解下述定解問題：解：其中滿足滿足用分離變量法解得（1）得4，求解定解問題解：令特解滿足齊次方程和齊