北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊《應(yīng)用一元二次方程》第1課時示范公開課教學(xué)設(shè)計

第二章一元二次方程6應(yīng)用一元二次方程第1課時一、教學(xué)目標(biāo) 1.利用一元二次方程解決簡單的行程問題和幾何問題.2.經(jīng)歷分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系、建立方程模型并解決問題的過程.3.在列方程解決實際問題的過程中，認(rèn)識方程模型的重要性，并總結(jié)運用方程解決實際問題的般步驟.4.能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性，增強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力.二、教學(xué)重難點重點：利用一元二次方程解決簡單的行程問題和幾何問題.難點：分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系、建立方程模型解決問題.三、教學(xué)用具電腦、多媒體、課件、教學(xué)用具等四、教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖環(huán)節(jié)一知識回顧【復(fù)習(xí)回顧】教師活動：學(xué)生已學(xué)過列一元一次方程解應(yīng)用題，通過想一想環(huán)節(jié)讓學(xué)生說出列方程解應(yīng)用題的一般步驟，再選用“梯子下滑”的問題作為情境，引入新課的學(xué)習(xí).想一想：列方程解應(yīng)用題的一般步驟是什么？預(yù)設(shè)：①審：審題，分清題意，明確題目要求，弄清已知數(shù)、未知數(shù)以及它們之間的關(guān)系；②設(shè)：設(shè)未知數(shù)，設(shè)未知數(shù)的方法有直接設(shè)未知數(shù)和間接設(shè)未知數(shù)兩種；③列：根據(jù)題中的等量關(guān)系列方程；④解：求出所列方程的解；⑤驗：“檢驗”，即驗證是否符合題意；⑥答：回答題目中要解決的問題.【情境導(dǎo)入】你還記得本章開始時梯子下滑的問題嗎？原題：如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動多少米？(1)在這個問題中，梯子頂端下滑1米時，梯子底端滑動的距離大于1米，那么梯子頂端下滑幾米時，梯子底端滑動的距離和它相等呢？預(yù)設(shè)：設(shè)梯子頂端下滑x米，底端滑動x米.(8-x)2+(6+x)2=102.x2-2x=0.x1=0(舍)，x2=2.因此，梯子底端下滑2米時，梯子底端滑動的距離和它相等.(2)如果梯子長度是13m，梯子頂端與地面的垂直距離為12m，那么梯子頂端下滑的距離與梯子底端滑動的距離可能相等嗎？如果相等，那么這個距離是多少？預(yù)設(shè)：設(shè)梯子頂端下滑x米，底端滑動x米.(12-x)2+(5+x)2=132.x2-7x=0.x1=0(舍)，x2=7.因此，梯子頂端下滑的距離與梯子底端滑動的距離相等為7m.思考并舉手回答.嘗試列方程，獨立解決復(fù)習(xí)回顧已學(xué)知識，并為新課的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.選用“梯子下滑”的問題作為情境，引入用一元二次方程解決實際問題的內(nèi)容.環(huán)節(jié)二典例探究【典型例題】教師提出問題，學(xué)生先獨立思考，解答.然后再小組交流探討，如遇到有困難的學(xué)生適當(dāng)點撥，最終教師展示答題過程.例1如圖，某海軍基地位于A處，在其正南方向200nmile處有一重要目標(biāo)B，在B的正東方向200nmile處有一重要目標(biāo)C.小島D位于AC的中點，島上有一補給碼頭；小島F位于BC中點.一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航，一艘補給船同時從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達(dá)軍艦.已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇于點E，那么相遇時補給船航行了多少海里？（結(jié)果精確到0.1nmile）分析：(1)要求DE的長，需要如何設(shè)未知數(shù)？預(yù)設(shè)：一般求什么設(shè)什么，可設(shè)DE的長為xnmile.(2)怎樣建立含DE未知數(shù)的等量關(guān)系？預(yù)設(shè)：根據(jù)已知條件，可考慮利用勾股定理建立等量關(guān)系.(3)利用勾股定理建立等量關(guān)系，如何構(gòu)造直角三角形？預(yù)設(shè)：連接DF，由三角形中位線得AB∥DF，從而DF⊥EF，構(gòu)造出Rt△DEF.(4)構(gòu)造出Rt△DEF后，三條邊長DE，DF，EF分別是多少？預(yù)設(shè)：DF=100nmile，DE=xnmile，EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)nmile.解：連接DF.∵AD=CD，BF=CF，∴DF是△ABC的中位線.∴DF∥AB，且DF=12∵AB⊥BC，AB=BC=200nmile，∴DF⊥BC，DF=100nmile，BF=100nmile.設(shè)相遇時補給船航行了xnmile，那么DE=xnmile，AB+BE=2xnmile，EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)nmile.在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)2，整理，得3x2-1200x+100000=0.解這個方程，得x1=200-100x2=200+100所以，相遇時補給船大約航行了118.4nmile.例2如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC向點C以2cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，那么幾秒后五邊形APQCD的面積為64cm2？分析：設(shè)t秒后五邊形APQCD的面積為64cm2，則AP=tcm，BQ=2tcm，所以PB=(6-t)cm由S五邊形APQCD=S矩形ABCD-S△PBQ，可得：64=6×12-2t(6-t)÷2.從而求得滿足條件的解即可.解：設(shè)t秒后五邊形APQCD的面積為64cm2，根據(jù)題意，得 64=6×12-2t(6-t)÷2整理得t2-6t+8=0.解方程，得t1=2，t2=4.因此，在第2秒和第4秒時五邊形的面積都是64cm2.明確例題的做法嘗試用式子表示邊的關(guān)系，并找到等量關(guān)系在例題的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注列方程解應(yīng)用題的三個重要環(huán)節(jié)：其一是整體地、系統(tǒng)地弄懂題意；其二是把握問題中的等量關(guān)系；其三是正確求解方程并檢驗解的合理性.環(huán)節(jié)三總結(jié)歸納【方法歸納】通過上述兩個例題，讓學(xué)生先獨立思考，然后再小組交流探討，列一元二次方程解實際問題的一般步驟.想一想：運用一元二次方程模型解決實際問題的步驟有哪些？注意：在列一元二次方程解應(yīng)用題時，由于所得的根一般有兩個，所以要檢驗這兩個根是否符合實際問題的要求.獨立思考，交流討論明確列一元二次方程解決實際問題的步驟，培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)概括能力.環(huán)節(jié)四鞏固練習(xí)教師給出練習(xí)，隨時觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)分析講解.1.《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙行各幾何.”大意是說：已知甲、乙二人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3.乙一直向東走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇.那么相遇時，甲、乙各走了多遠(yuǎn)？2.有這樣一道阿拉伯古算題：有兩筆錢，一多一少，其和等于20，積等于96，多的一筆錢被許諾賞給賽義德，那么賽義德得到多少錢？3.如圖：在Rt△ACB中，∠C=90°，點P、Q同時由A、B兩點出發(fā)分別沿AC、BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是1m/s，幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半？4.如圖，一條水渠的斷面為梯形，已知斷面的面積為0.78m2，上口比渠底寬0.6m，渠深比渠底少0.4m，求渠深.答案：1.解：如圖所示，甲、乙二人同時從點O出發(fā)，在點B處相遇.設(shè)甲乙兩人走的時間為x，則甲走的路程為3x，乙走的路程為7x，依題意得：102+(3x)2=(7x-10)2解得：x1＝72，x2所以，相遇時，甲走了10.5步，乙走了24.5步.2.解:設(shè)較多的錢為x，則較少的為20-x.由題意，可得x(20-x)＝96，解得x1＝12，x2＝8(舍去)．所以，賽義德得到的錢數(shù)為12.3.解:設(shè)經(jīng)過ts，△PCQ面積為Rt△ACB面積的一半．根據(jù)題意，得12(8－t)(6－t)＝12×6×8×解方程，得t1＝2，t2＝12(舍去)．所以，2s后△PCQ面積為Rt△ACB面積的一半．4.解：設(shè)渠深為xm，則渠底為(x＋0.4)m．S＝12[(x＋0.4＋0.6＋x＋0.4)]x解得x1＝－1.3(舍去)，x2＝0.6．所以，渠深