2023版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)7.2概率、隨機(jī)變量及其分布列學(xué)案理

2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)7.2概率、隨機(jī)變量及其分布列學(xué)案理PAGE41-第2講概率、隨機(jī)變量及其分布列eq\a\vs4\al\co1()考點(diǎn)1古典概型與幾何概型1．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(事件A中所含的根本領(lǐng)件數(shù),試驗(yàn)的根本領(lǐng)件總數(shù)).2．幾何概型的概率公式P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積).[例1](1)我國古代典籍?周易?用“卦〞描述萬物的變化，每一“重卦〞由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“——〞和“陰爻“——〞，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，那么該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是()A.eq\f(5,16)B.eq\f(11,32)C.eq\f(21,32)D.eq\f(11,16)(2)[2022·鄭州一模]矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，現(xiàn)向矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)投擲質(zhì)點(diǎn)M，那么滿足eq\o(MB,\s\up10(→))·eq\o(MC,\s\up10(→))≥0的概率是()A.eq\f(π,4)B.eq\f(4－π,4)C.eq\f(π,2)D.eq\f(π－2,4)【解析】(1)此題主要考查古典概型、計(jì)數(shù)原理等知識(shí)，考查考生的運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算．由6個(gè)爻組成的重卦種數(shù)為26＝64，在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，該重卦恰有3個(gè)陽爻的種數(shù)為Ceq\o\al(3,6)＝eq\f(6×5×4,6)＝20.根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式得，所求概率P＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16).應(yīng)選A.(2)由eq\o(MB,\s\up10(→))·eq\o(MC,\s\up10(→))≥0，知∠BMC為銳角或直角，那么點(diǎn)M所在的區(qū)域如圖中陰影局部所示，那么所求概率P＝1－eq\f(\f(1,2)×π×22,4×2)＝1－eq\f(π,4)＝eq\f(4－π,4)，應(yīng)選B.【答案】(1)A(2)B解答幾何概型、古典概型問題時(shí)的策略(1)有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出根本領(lǐng)件總數(shù)和所求事件包含的根本領(lǐng)件數(shù)，這常用到計(jì)數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識(shí)．(2)在求根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確理解根本領(lǐng)件的構(gòu)成，這樣才能保證所求事件所包含的根本領(lǐng)件數(shù)的求法與根本領(lǐng)件總數(shù)的求法的一致性．(3)利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是確定構(gòu)成試驗(yàn)的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域.『對(duì)接訓(xùn)練』1．[2022·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考]某商場舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)那么如下：從裝有形狀、大小完全相同的2個(gè)紅球、3個(gè)籃球的箱子中，任意取出2個(gè)球，假設(shè)取出的2個(gè)球顏色相同，那么中獎(jiǎng)，否那么不中獎(jiǎng)．那么中獎(jiǎng)的概率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,5)D.eq\f(3,5)解析：設(shè)事件A為“中獎(jiǎng)〞，那么P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).應(yīng)選C.答案：C2．[2022·山東青島調(diào)研]有一底面圓的半徑為1，高為2的圓柱，點(diǎn)O為圓柱下底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)A，那么點(diǎn)A到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,4)解析：設(shè)點(diǎn)A到點(diǎn)O的距離小于或等于1的概率為P1，那么P1＝eq\f(V半球,V圓柱)＝eq\f(\f(2π,3)×13,π×12×2)＝eq\f(1,3)，故點(diǎn)A到點(diǎn)O的距離大于1的概率P＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，應(yīng)選B.答案：B

eq\a\vs4\al\co1()考點(diǎn)2相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1．條件概率在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).2．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)＝P(A)P(B)．3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、二項(xiàng)分布如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.[例2][2022·全國卷Ⅱ]11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成1010平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方1010平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲獲勝〞的概率．【解析】此題主要考查互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件的概率，意在考查考生的邏輯思維能力、數(shù)據(jù)獲取與處理能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算．(1)X＝2就是1010平后，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，那么這2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲獲勝，就是1010平后，兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．因此所求概率為[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.(1)求復(fù)雜事件概率的兩種方法①直接法：正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件或幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件或一獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題，然后用相應(yīng)概率公式求解．②間接法：當(dāng)復(fù)雜事件正面情況比擬多，反面情況較少，那么可利用其對(duì)立事件進(jìn)行求解．對(duì)于“至少〞“至多〞等問題往往也用這種方法求解．(2)注意區(qū)分獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的根本特征：①在每次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；②在每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同.『對(duì)接訓(xùn)練』3．[2022·河南一診]某班為了活潑元旦晚會(huì)的氣氛，主持人請(qǐng)12位同學(xué)做一個(gè)游戲，第一輪中，主持人將標(biāo)有數(shù)字1到12的十二張相同的卡片放入一個(gè)不透明的盒子中，每人依次從中取出一張卡片，取到標(biāo)有數(shù)字7到12的卡片的同學(xué)留下，其余的淘汰；第二輪將標(biāo)有數(shù)字1到6的六張相同的卡片放入一個(gè)不透明的盒子中，每人依次從中取出一張卡片，取到標(biāo)有數(shù)字4到6的卡片的同學(xué)留下，其余的淘汰；第三輪將標(biāo)有數(shù)字1,2,3的三張相同的卡片放入一個(gè)不透明的盒子中，每人依次從中取出一張卡片，取到標(biāo)有數(shù)字2,3的卡片的同學(xué)留下，其余的淘汰；第四輪用同樣的方法淘汰一位同學(xué)，最后留下的這位同學(xué)獲得一個(gè)獎(jiǎng)品．同學(xué)甲參加了該游戲．(1)求甲獲得獎(jiǎng)品的概率；(2)設(shè)X為甲參加游戲的輪數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解析：(1)設(shè)“甲獲得獎(jiǎng)品〞為事件A，在每輪游戲中，甲留下的概率與他摸卡片的順序無關(guān)，那么P(A)＝eq\f(6,12)×eq\f(3,6)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4，那么P(X＝1)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(6,12)×eq\f(3,6)＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝eq\f(6,12)×eq\f(3,6)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,12)，P(X＝4)＝eq\f(6,12)×eq\f(3,6)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,6).所以隨機(jī)變量X的分布列為X1234Peq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,12)eq\f(1,6)所以數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,12)＋4×eq\f(1,6)＝eq\f(23,12).eq\a\vs4\al\co1()考點(diǎn)3離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差1．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為實(shí)數(shù))．2．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)假設(shè)X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；(2)假設(shè)X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．[例3][2022·廣東佛山調(diào)研]某市對(duì)居民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每戶用水量不超過w米3的局部按4元/米3收費(fèi)，超出w米3的局部按10元/米3收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了100戶家庭，獲得了他們某月的用水量，用水量分組為：第一組[0.5,1)，第二組[1,1.5)，…，第八組[4,4.5]，由此得到如下頻率分布直方圖，并且前四組的頻數(shù)成等差數(shù)列．(1)求a，b，c的值及居民該月用水量在2米3到2.5米3內(nèi)的頻數(shù)；(2)根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上的居民月用水價(jià)格為4元/米3，請(qǐng)估計(jì)w的值(精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位)；(3)假設(shè)將頻率視為概率，現(xiàn)從該市隨機(jī)調(diào)查3戶居民的月用水量，將月用水量不超過2.5米3的戶數(shù)記為X，求X的分布列及均值．【解析】(1)∵前四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，∴所對(duì)應(yīng)的頻率也成等差數(shù)列，∴可設(shè)a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，∴0.5(0.2＋0.2＋d＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.2＋d＋0.1＋0.1＋0.1)＝1，得d＝0.1，a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.故居民該月用水量在2米3到2.5米3內(nèi)的頻率為0.25.∴居民該月用水量在2米3到2.5米3內(nèi)的頻數(shù)為0.25×100＝25(人)．(2)由圖可知，居民月用水量不超過2.5米3的頻率為0.7<0.8，∴為使80%以上居民月用水價(jià)格為4元/米3，w＝2.5＋eq\f(0.1,0.3)≈2.83(米3)．(3)將頻率視為概率，設(shè)A代表居民月用水量，由圖知P(A≤2.5)＝0.7，那么由題意可知X～B(3,0.7)，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×0.33＝0.027，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×0.32×0.7＝0.189，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0.3×0.72＝0.441，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×0.73＝0.343.∴X的分布列為X0123P0.0270.1890.4410.343∵X～B(3,0.7)，∴E(X)＝2.1.解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問題的一般思路：(1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值．(2)結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法，并計(jì)算這些可能取值的概率值．(3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解.『對(duì)接訓(xùn)練』4．[2022·湖南兩市聯(lián)考]某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運(yùn)發(fā)動(dòng)參加某運(yùn)動(dòng)會(huì)的個(gè)人單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種情況．一個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)出線記1分，未出線記0分．假設(shè)甲、乙、丙出線的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(3,5)，他們出線與未出線是相互獨(dú)立的．(1)求在這次選拔賽中，這三名運(yùn)發(fā)動(dòng)至少有一名出線的概率；(2)記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運(yùn)發(fā)動(dòng)所得分?jǐn)?shù)之和為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)．解析：(1)記“甲出線〞為事件A，“乙出線〞為事件B，“丙出線〞為事件C，“甲、乙、丙至少有一名出線〞為事件D，那么P(D)＝1－P(eq\o(A,\s\up10(－))eq\o(B,\s\up10(－))eq\o(C,\s\up10(－)))＝1－eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,5)＝eq\f(29,30).(2)ξ的所有可能取值為0,1,2,3.P(ξ＝0)＝P(eq\o(A,\s\up10(－))eq\o(B,\s\up10(－))eq\o(C,\s\up10(－)))＝eq\f(1,30)；P(ξ＝1)＝P(Aeq\o(B,\s\up10(－))eq\o(C,\s\up10(－)))＋P(eq\o(A,\s\up10(－))Beq\o(C,\s\up10(－)))＋P(eq\o(A,\s\up10(－))eq\o(B,\s\up10(－))C)＝eq\f(13,60)；P(ξ＝2)＝P(ABeq\o(C,\s\up10(－)))＋P(Aeq\o(B,\s\up10(－))C)＋P(eq\o(A,\s\up10(－))BC)＝eq\f(9,20)；P(ξ＝3)＝P(ABC)＝eq\f(3,10).所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,30)eq\f(13,60)eq\f(9,20)eq\f(3,10)故E(ξ)＝0×eq\f(1,30)＋1×eq\f(13,60)＋2×eq\f(9,20)＋3×eq\f(3,10)＝eq\f(121,60).課時(shí)作業(yè)18概率、隨機(jī)變量及其分布列1．[2022·湖北宜昌聯(lián)考]某次下課后，某教室里還剩下2位男同學(xué)和1位女同學(xué)，假設(shè)他們依次走出教室，那么第2個(gè)走出的是女同學(xué)的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,5)解析：由題意知共有6個(gè)根本領(lǐng)件，第2個(gè)走出的是女同學(xué)包含2個(gè)根本領(lǐng)件，所以第2個(gè)走出的是女同學(xué)的概率是eq\f(1,3).答案：B2．[2022·山東青島調(diào)研]某運(yùn)發(fā)動(dòng)每次投籃投中的概率是40%.現(xiàn)采用隨機(jī)數(shù)法估計(jì)該運(yùn)發(fā)動(dòng)三次投籃中，恰有兩次投中的概率：先由計(jì)算器隨機(jī)產(chǎn)生0～9中的整數(shù)，指定1,2,3,4表示投中，5,6,7,8,9,0表示未投中；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．現(xiàn)產(chǎn)生了如下10組隨機(jī)數(shù)；907966191925271431932458569683.估計(jì)該運(yùn)發(fā)動(dòng)三次投籃恰有兩次投中的概率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(9,10)解析：隨機(jī)模擬產(chǎn)生了10組隨機(jī)數(shù)，在這10組隨機(jī)數(shù)中，表示三次投籃恰有兩次投中的有191,271,932，共3組，故所求概率為eq\f(3,10)，應(yīng)選C.答案：C3．[2022·廣東佛山調(diào)研]將一根長為6m的繩子剪成兩段，那么其中一段大于另一段的2倍的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(2,5)D.eq\f(3,5)解析：繩子的長度為6m，剪成兩段后，設(shè)其中一段的長度為xm，那么另一段的長度為(6－x)m，記“其中一段的長度大于另一段長度的2倍〞為事件A，那么A＝{x|eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<6，,x>26－x或6－x>2x))}＝{x|0<x<2或4<x<6}，∴P(A)＝eq\f(2,3)，應(yīng)選B.答案：B4．[2022·河北九校聯(lián)考]如圖，矩形的長為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機(jī)撒300顆黃豆，落在橢圓外的黃豆數(shù)為96，以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)出橢圓的面積為()A．16.32B．15.32C．8.68D．7.68解析：由題意，可估計(jì)橢圓的面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(96,300)))×6×4＝16.32.應(yīng)選A.答案：A5．[2022·廣東惠州二調(diào)]設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(4,3)，假設(shè)P(ξ＜a－5)＝P(ξ＞a＋1)，那么實(shí)數(shù)a等于()A．7B．6C．5D．4解析：由隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(4,3)可得正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱軸為直線x＝4，又P(ξ<a－5)＝P(ξ>a＋1)，所以直線x＝a－5與x＝a＋1關(guān)于直線x＝4對(duì)稱，所以a－5＋a＋1＝8，即a＝6.應(yīng)選B.答案：B6．[2022·河南中原名校聯(lián)盟一模]市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大約eq\f(4,5)的人喜歡在網(wǎng)上購置家用小電器，其余的人那么喜歡在實(shí)體店購置家用小電器．經(jīng)工商局抽樣調(diào)查，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)上購置的家用小電器的合格率約為eq\f(17,20)，而實(shí)體店里的家用小電器的合格率約為eq\f(9,10).現(xiàn)工商局接到一個(gè)關(guān)于家用小電器不合格的投訴，那么這臺(tái)被投訴的家用小電器是在網(wǎng)上購置的可能性是()A.eq\f(6,7)B.eq\f(5,6)C.eq\f(4,5)D.eq\f(2,5)解析：∵大約eq\f(4,5)的人喜歡在網(wǎng)上購置家用小電器，網(wǎng)上購置的家用小電器的合格率約為eq\f(17,20)，∴某家用小電器是在網(wǎng)上購置的，且被投訴的概率約為eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(17,20)))＝eq\f(3,25)，又實(shí)體店里的家用小電器的合格率約為eq\f(9,10)，∴某家用小電器是在實(shí)體店里購置的，且被投訴的概率約為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(9,10)))＝eq\f(1,50)，故工商局接到一個(gè)關(guān)于家用小電器不合格的投訴，那么這臺(tái)被投訴的家用小電器是在網(wǎng)上購置的可能性P＝eq\f(\f(3,25),\f(3,25)＋\f(1,50))＝eq\f(6,7).答案：A7．[2022·湖北局部重點(diǎn)中學(xué)起點(diǎn)考試]有4位游客去某地旅游，假設(shè)每人只能從此地甲、乙、丙三個(gè)不同景點(diǎn)中選擇一處游覽，那么每個(gè)景點(diǎn)都有人去游覽的概率為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(9,16)C.eq\f(8,9)D.eq\f(4,9)解析：通解由題意知，4位游客各從此地甲、乙、丙三個(gè)不同景點(diǎn)中選擇一處游覽的選法有34＝81(種)．第一步：從三個(gè)不同景點(diǎn)中選出一個(gè)景點(diǎn)的選法有Ceq\o\al(1,3)種；第二步：從4位游客中選2位到第一步選出的景點(diǎn)去游覽，有Ceq\o\al(2,4)種方法；第三步：余下2位游客到余下的兩個(gè)景點(diǎn)的分法有Aeq\o\al(2,2)種．所以每個(gè)景點(diǎn)都有人去游覽的方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝36(種)，于是所求概率P＝eq\f(36,81)＝eq\f(4,9)，應(yīng)選D.優(yōu)解由題意知，4位游客各從此地甲、乙、丙三個(gè)不同景點(diǎn)中選擇一處游覽的選法有34＝81(種)．將4位游客分為3組的分法有Ceq\o\al(2,4)種，然后將這3組游客分到甲、乙、丙三個(gè)不同景點(diǎn)，其分法有Aeq\o\al(3,3)種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，每個(gè)景點(diǎn)都有人去游覽的方法有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)．于是所求概率P＝eq\f(36,81)＝eq\f(4,9)，應(yīng)選D.答案：D8．[2022·黑龍江齊齊哈爾模擬]隨著計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，圖標(biāo)被賦予了新的含義，有了新的用武之地．在計(jì)算機(jī)應(yīng)用領(lǐng)域，圖標(biāo)成了具有明確指代含義的計(jì)算機(jī)圖形．如下圖的圖標(biāo)是一種被稱為“黑白太陽〞的圖標(biāo)，該圖標(biāo)共分為三局部．第一局部為外部的八個(gè)全等的矩形，每一個(gè)矩形的長為3、寬為1；第二局部為圓環(huán)局部，大圓半徑為3，小圓半徑為2；第三局部為圓環(huán)內(nèi)部的白色區(qū)域．在整個(gè)“黑白太陽〞圖標(biāo)中隨機(jī)取一點(diǎn)，那么此點(diǎn)取自圖標(biāo)第三局部的概率為()A.eq\f(π,24＋9π)B.eq\f(4π,24＋9π)C.eq\f(π,18＋9π)D.eq\f(4π,18＋9π)解析：圖標(biāo)第一局部的面積為8×3×1＝24，圖標(biāo)第二局部的面積和第三局部的面積和為π×32＝9π，圖標(biāo)第三局部的面積為π×22＝4π，故此點(diǎn)取自圖標(biāo)第三局部的概率為eq\f(4π,24＋9π)，應(yīng)選B.答案：B9．[2022·湖南長沙一模]一種元件的使用壽命超過1年的概率為0.8，超過2年的概率為0.6，假設(shè)一個(gè)這種元件使用到1年時(shí)還未損壞，那么這個(gè)元件使用壽命超過2年的概率為()A．0.75B．0.6C．0.52D．0.48解析：設(shè)一個(gè)這種元件使用到1年時(shí)還未損壞為事件A，使用到2年時(shí)還未損壞為事件B，那么由題意知P(AB)＝0.6，P(A)＝0.8，那么這個(gè)元件使用壽命超過2年的概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(0.6,0.8)＝0.75，應(yīng)選A.答案：A10．[2022·湖南株洲聯(lián)考]如圖，三國時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽在?周髀算經(jīng)?中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明．圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影局部)．設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為30°，假設(shè)向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1000顆米粒(大小忽略不計(jì))，那么落在小正方形(陰影局部)內(nèi)的米粒數(shù)大約為(eq\r(3)≈1.732)()A．134B．866C．300D．500解析：設(shè)大正方形的邊長為2x，那么小正方形的邊長為eq\r(3)x－x，向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1000顆米粒(大小忽略不計(jì))，設(shè)落在小正方形(陰影局部)內(nèi)的米粒數(shù)大約為a，那么eq\f(a,1000)＝eq\f(\r(3)x－x2,2x2)，解得a＝1000×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－2\r(3),4)))≈134.應(yīng)選A.答案：A11．[2022·浙江七彩聯(lián)盟聯(lián)考]假設(shè)隨機(jī)變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，那么P(X＝3)＝________.解析：隨機(jī)變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，那么P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(8,81).答案：eq\f(8,81)12．[2022·廣東肇慶聯(lián)考]某條線的地鐵每10分鐘一班，每站停1分鐘，那么乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車的概率是________．解析：由于地鐵每10分鐘一班，每站停1分鐘，故所求概率P＝eq\f(1－0,10－0)＝eq\f(1,10).答案：eq\f(1,10)13．[2022·福建福州質(zhì)量抽測]甲、乙、丙三位同學(xué)獨(dú)立解決同一個(gè)問題，三位同學(xué)能夠解決這個(gè)問題的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，那么有人能夠解決這個(gè)問題的概率為________．解析：沒有人能解決這個(gè)問題的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，故有人能夠解決這個(gè)問題的概率為1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)14．[2022·全國卷Ⅰ]甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束)．根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主客主〞．設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，那么甲隊(duì)以4：1獲勝的概率是________．解析：此題主要考查獨(dú)立事件的概率、對(duì)立事件的概率，考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算．記事件M為甲隊(duì)以4：1獲勝，那么甲隊(duì)共比賽五場，且第五場甲隊(duì)獲勝，前四場甲隊(duì)勝三場負(fù)一場，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.答案：0.1815．[2022·江蘇南通聯(lián)考]甲、乙兩人玩摸球游戲，每兩局為一輪，每局游戲的規(guī)那么如下：甲、乙兩人從裝有4個(gè)紅球、1個(gè)黑球(除顏色外完全相同)的袋中輪流不放回摸取1個(gè)球，摸到黑球便結(jié)束該局，且摸到黑球的人獲勝．(1)假設(shè)在一局游戲中甲先摸，求甲在該局獲勝的概率；(2)假設(shè)在一輪游戲中約定：第一局甲先摸，第二局乙先摸，每一局先摸并獲勝的人得1分，后摸并獲勝的人得2分，未獲勝的人得0分，求此輪游戲中甲得分X的概率分布及數(shù)學(xué)期望．解析：(1)記“一局中甲先摸，甲在該局獲勝〞為事件A，易知黑球被摸到的情況有5種，且被甲摸到的情況有3種，所以P(A)＝eq\f(3,5).故甲在該局獲勝的概率為eq\f(3,5).(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3，那么P(X＝0)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,25)，P(X＝1)＝eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(9,25)，P(X＝2)＝eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,25)，P(X＝3)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(6,25)，所以X的概率分布為X0123Peq\f(6,25)eq\f(9,25)eq\f(4,25)eq\f(6,25)數(shù)學(xué)期望E(X)＝eq\f(6,25)×0＋eq\f(9,25)×1＋eq\f(4,25)×2＋eq\f(6,25)×3＝eq\f(7,5).16．[2022·貴州貴陽監(jiān)測]互聯(lián)網(wǎng)使我們的生活日益便捷，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為人們?nèi)粘Ｉ钪胁豢苫蛉钡囊痪植浚甅市某調(diào)查機(jī)構(gòu)針對(duì)該市市場占有率最高的兩家網(wǎng)絡(luò)外賣企業(yè)(以下簡稱外賣A、外賣B)的效勞質(zhì)量進(jìn)行了調(diào)查，從使用過這兩家外賣效勞的市民中隨機(jī)抽取了1000人，每人分別對(duì)這兩家外賣企業(yè)評(píng)分，總分值均為100分，并將分?jǐn)?shù)分成5組，得到以下頻數(shù)分布表：分?jǐn)?shù)種類[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]外賣A(人數(shù))50150100400300外賣B(人數(shù))100100300200300表中得分越高，說明市民對(duì)網(wǎng)絡(luò)外賣效勞越滿意．假設(shè)得分不低于60分，那么說明該市民對(duì)網(wǎng)絡(luò)外賣效勞質(zhì)量評(píng)價(jià)較高．現(xiàn)將分?jǐn)?shù)按“效勞質(zhì)量指標(biāo)〞劃分成以下四個(gè)檔次：分?jǐn)?shù)[0,40)[40,60)[60,80)[80,100]效勞質(zhì)量指標(biāo)0123用頻率表示概率，解決以下問題：(1)從該市使用過外賣A的市民中任選5人，記對(duì)外賣A效勞質(zhì)量評(píng)價(jià)較高的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取1人，試求其評(píng)分中外賣A的“效勞質(zhì)量指標(biāo)〞與外賣B的“效勞質(zhì)量指標(biāo)〞的差的絕對(duì)值等于2的概率．解析：(1)由頻數(shù)分布表可知，對(duì)外賣A效勞質(zhì)量評(píng)價(jià)較高的頻率為eq\f(300＋400,1000)＝eq\f(7,10)，將頻率作為概率，那么從該市使用過外賣A的市民中抽取1人，對(duì)外賣A效勞質(zhì)量評(píng)價(jià)較高的概率P＝eq\f(7,10)，顯然X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(7,10)))，故E(X)＝5×eq\f(7,10)＝eq\f(7,2).(2)記外賣A的“效勞質(zhì)量指標(biāo)〞為事件Ai，外賣B的“效勞質(zhì)量指標(biāo)〞為事件Bi，i∈{0,1,2,3}，那么其評(píng)分中外賣A的“效勞質(zhì)量指標(biāo)〞與外賣B的“效勞質(zhì)量指標(biāo)〞的差的絕對(duì)值等于2的概率為P(A2B0＋A3B1＋A0B2＋A1B3)＝P(A2B0)＋P(A3B1)＋P(A0B2)＋P(A1B3)＝0.4×0.2＋0.3×0.3＋0.2×0.2＋0.1×0.3＝0.24.17．[2022·河北武邑中學(xué)期末]我國城市空氣污染指數(shù)范圍及相應(yīng)的空氣質(zhì)量類別如下表：空氣污染指數(shù)0～5051～100101～150151～200201～250251～300>300空氣質(zhì)量優(yōu)良輕微污染輕度污染中度污染中度重污染重污染我們把空氣污染指數(shù)在0～100內(nèi)的稱為A類天，在101～200內(nèi)的稱為B類天，大于200的稱為C類天．某市從2022年全年空氣污染指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取了18天的數(shù)據(jù)制成如下莖葉圖(百位為莖)：(1)從這18天中任取3天，求至少含2個(gè)A類天的概率；(2)從這18天中任取3天，記X是到達(dá)A類天或B類天的天數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解析：(1)從這18天中任取3天，取法種數(shù)為Ceq\o\al(3,18)＝816，3天中至少有2個(gè)A類天的取法種數(shù)為Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,15)＋Ceq\o\al(3,3)＝46，所以這3天至少有2個(gè)A類天的概率為eq\f(23,408).(2)X的所有可能取值是3,2,1,0.當(dāng)X＝3時(shí)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,18))＝eq\f(7,102)，當(dāng)X＝2時(shí)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,10),C\o\al(3,18))＝eq\f(35,102)，當(dāng)X＝1時(shí)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(2,10),C\o\al(3,18))＝eq