代數(shù)1.微積分基礎(chǔ)講師版

自招競賽秋季數(shù)學(xué)講學(xué) 授課日教 授導(dǎo)數(shù)部導(dǎo)數(shù)：當(dāng)x

f(x0x)f(x0

c當(dāng)x0

f(x0x)f(x0

c或記作

f(x0x)f(x0)

x0f(xxx0處的導(dǎo)數(shù)，并記作f(x0)。0f'0即

)

f(x0x)f(x01）(f(x)g(x))

f(x)g2）[f(x)g(x)]

f(x)g(x)f(x)gf(x)g(x)

g(x)f(x)f(x)g(x)g2(x)3） 4）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（也稱鏈?zhǔn)椒▌tf(xg(xF(x)

f(g(x))F(x)

f(g(x))

(3)(sinx)cos

(cos

sin

(lnx)x

(logx)1log (7)(ex)ex (8)(ax)axlnP(x0,y0P(x0,y0k切

0f'0

)

f(x0x)f(x0yf(xxx0P(x0,f(x0yf(xP(x0,f(x0y

f(xxx0y

f(xP(x0,f(x0yy0

f'(x)(xxfx)0f(xf(xfx)0；fx)0f(xf(xfx)0特別地f'(x)0則f(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增但反之不成 自己思（f(x)x3x0處取到極值的必要（不充分）f'(x0)y

f(x是定義在區(qū)間a,by

f(x在(a,b)yf(x在a,b①yf(x在(a,b)y

f(xf(af(b嚴(yán)謹(jǐn)定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上定義，若對I中的任意兩點(diǎn)x1x2，和任意λ∈(0,1)，f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2)，f(x)I數(shù)。若不等號嚴(yán)格成立，即“<”號成立，則稱f(x)在I上是嚴(yán)格下凸函數(shù)。如果“<=”換幾何：在函數(shù)f(x)的圖象上取任意兩點(diǎn)，如果函數(shù)圖象在這兩點(diǎn)之間的部分連接（x1,f(x1f(f(x) f(x)0 x,f(x 的 積分部f(xDF(xD

f(xF(xf(x)DF(xf(xDCF(xCf(xDf(xF(x)f(xf(x的不定積分，記作f(x)dxf(xxf(x的不定積分就是求它的全體原函數(shù)，因此f(x)dxF(xC其中C是任意常數(shù)，叫做積分常數(shù)。 xa

kdxkx

xdxa1

1dxlnxc

a

adx a11

exdxex

cosxdxsinxsinxdxcosx

cos2

dx

sec2xdxtanx1sin21

dx

csc2xdxcotx（1）f(x)g(x)dxf(x)dxkf(x)dxkff(x在區(qū)間[abxi1xi xnxi1xi xn將區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間xi1,xi上取一點(diǎn)ii ,n，作nnifxbafnnii

n）f(x)在區(qū)間[abn limbafnii

f(x)dx，即

f(x)dx=

從幾何上看，如果在區(qū)間[a,bf(xbf(x)0。那么定積分af(x)dxxa,xb（ab

y0yf(xb

a1dxb

akf(x)dxk

f

（k0）（定積分的線性性質(zhì)

a[f1(x)f2(x)]dxaf1(x)dx

f2

f(x)dxf(x)dxf

(其中acyyOabx

yyBACMNOa S曲邊梯形AMNBS曲邊梯形 -公bF'(x)b

f(x)，且f(x)在[ab可積，則af(x)dxF(aF(b)Ff(x f(x)dxF(x)F(b)微積分基本定理也可以寫成 -公式溝通了導(dǎo)數(shù)和積分間的關(guān)系，由此求定積分問題即轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問xOyPx0y0fxy的變化快慢一般說來是fxy在x0,y0點(diǎn)處沿不同方向的變化率。fxy沿著x和y兩個(gè)特殊方位變動(dòng)時(shí)的變化（2）定義：zfxy在點(diǎn)x0y0yy0xx0處有增量xf(x0x,y0f(x0y0

f(x0x,y0)f(x0,y0

zfx,

在點(diǎn)x0y0x

,,

,

(x0y0)或

(x0,y0

f(x0x,y0)f(x0,y0)

zfxyx0y0y的偏導(dǎo)數(shù)為yx0y0

f(x0,y0y)f(x0,y0

,(x0,y0

,

,y0zfxyD內(nèi)每一點(diǎn)xyx

f(xx,y)f(x,y)

(x,y)

xyz,f,

(x,y)或

(x,為函數(shù)zfx,y對x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作x

zfxyDyyy

yy

y (x,y)二元以上的多元函數(shù)可以類似的定義，例如三元函數(shù)ufxyz在點(diǎn)xyzxyz 的幾何意zf(x,0zfx0

yy

yy0zfxyyy0yy0zfxy0根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知fxx0,y0就是這條曲線在點(diǎn)M0x0,y0,z0處的切線關(guān)于x對于fyx0y0同理zfxy，求xyzxzxzfxy在點(diǎn)處對x0y0fxxyfxxy在點(diǎn)x0y0fx(x,y|x0y0)fx(x0,y0zfxy在點(diǎn)x0y0xyy0zfxyzfxy0xfxxy0xx0代入。兩種做法是一致的。因?yàn)樵趛為常數(shù)y0?！驹囶}來源】2000交

f2

3h)f2

f

lim 已 在0處可導(dǎo)，則 【答案 8f(x)f'【答案 yx3x22x1，過（-1,1）的直線與該函數(shù)的圖像相切，且（-1,1）不是切【答案】-【試題來源】2008大求證：方程2xx270x5xarctanx設(shè)0x1af(x3f'(x9x0的解集為f'(x7x0f'(xf(xR上單調(diào)遞減，求af(xxlnx，求f

1blnxC設(shè)0abCba

記（2）中的最小值為ma,b，證明ma,bln【題目】f(x1x)exx0f(x) x x數(shù)列n滿足

xn e ,x1e ,x1 1PVT【題目】已知理想氣體的狀態(tài)方程PV=RT(R為常量)，求證：

T1.這一點(diǎn)與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)記號dy/dx是不同的，它可看成函數(shù)的微分dy與自變量微分

f(x,y)x22xy

在點(diǎn)(1,3)處對xy的偏導(dǎo)zxy已知函數(shù)f(x)x3bx2cxd在區(qū)間[-1,2]上是減函數(shù)，則

-有最小值

-有最大值【答案】f(x3x22bxc0在（-1,2）上恒成立即f1)0且f2)0，解得32b所以bc2

zx2z 的偏導(dǎo)數(shù)【試題來源】2008大函數(shù)f(x)exln(1x)2的單調(diào)減區(qū)間 【答案】-xf(x)x求函

f

滿足：對任意實(shí)數(shù)abf(ab)af(bbf(a)，且

f(x)1f(xR

g(x)

f(xMM

f(x)g(x)）（Ⅰ）正四棱錐的體積V

3（Ⅱ）一般地，設(shè)正n棱錐的體積V為定值，試給出不依賴于n的一個(gè)充分必要條件，使得n棱錐的表面積取得最小值．【答案】arccos面夾角 3等等也可設(shè)正四棱錐的底面正方形的邊長為2a，高為h．四棱錐的體V4a2h 2 S4(a2aa2h21(a 2S1(a

9V

8() )h令th)2f(t1

1t)3,taf'(t

(11(11t2t21 (t221tf'(t0解得t當(dāng)0t8時(shí)f'(t0當(dāng)t8時(shí)f'(tf(t當(dāng)t8f(8)4：1?？芍拐忮F的表面積取得最小值得一個(gè)充分必要條件是正棱錐的表面積是底面4倍。 2 整場比賽的概率為pqp1 1 23若比賽了3局后甲贏得整場比賽，此時(shí)甲贏得整場比賽的概率為p3；若比賽了4局后甲贏得整場比賽，則最后一局甲獲勝，此時(shí)甲贏得整場比賽的概率為C2p21pp；若比賽了5局后甲贏得整場比賽，則最后一局甲獲勝，此時(shí)甲贏得整場比賽的概率為34C2p2(1p)2p4 所以qp3C2p21ppC2p21p)2p6p515p410p3，所以qp6p515p410p3pfp)6p515p410p3p，fp)30p460p330p2130p2p22p1

1 130

p

30

p

30 001當(dāng)p

時(shí)，fp)0

p1

1