2023版高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)1.5.1估計(jì)總體的分布1.5.2估計(jì)總體的數(shù)字特征學(xué)案北師大版必修3

1.51.51．理解并會(huì)運(yùn)用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，通過(guò)實(shí)例體會(huì)分布的意義和作用．(重點(diǎn))2．在表示樣本數(shù)據(jù)的過(guò)程中，學(xué)會(huì)列頻率分布表，畫頻率分布直方圖及頻率折線圖．(難點(diǎn))3．能根據(jù)給出的頻率分布直方圖解決具體問(wèn)題．(難點(diǎn))[根底·初探]教材整理1根本概念閱讀教材P32～P36“練習(xí)〞以上局部，完成以下問(wèn)題．1．頻率分布表和頻率分布直方圖(1)頻率分布表編制的方法步驟：eq\x(計(jì)算極差)eq\o(→,\s\up14(決定))eq\x(組數(shù)與組距)eq\o(→,\s\up14(決定))eq\x(分點(diǎn))eq\o(→,\s\up14(列出))eq\x(頻率分布表)(2)2．頻率分布折線圖(1)在頻率分布直方圖中，按照分組原那么，在左邊和右邊各加一個(gè)區(qū)間，從所加的左邊區(qū)間的中點(diǎn)開(kāi)始，用線段依次連接各個(gè)矩形的頂端中點(diǎn)，直至右邊所加區(qū)間的中點(diǎn)，就可以得到一條折線，我們稱之為頻率折線圖．(2)當(dāng)樣本容量不斷增大時(shí)，樣本中落在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的樣本數(shù)的頻率會(huì)越來(lái)越穩(wěn)定于總體在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)取值的概率．也就是說(shuō)，一般地，樣本容量越大，用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布就越精確．(3)隨著樣本量的增大，所劃分的區(qū)間數(shù)也可以隨之增多，而每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度那么會(huì)相應(yīng)隨之減小，相應(yīng)的頻率折線圖就會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線．判斷(正確的打“√〞，錯(cuò)誤的打“×〞)(1)頻率分布直方圖中的縱坐標(biāo)指的是頻率的值．()(2)頻率分布直方圖中各小矩形的面積之和可以不為1.()(3)將數(shù)據(jù)分組時(shí)，一般要求各組的組距相等．()【解析】(1)×，縱坐標(biāo)指的是頻率與組距的比值．(2)×，各小矩形的面積之和一定為1.(3)√，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分組時(shí)，一般要求各組的組距相等．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2用樣本的平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的數(shù)字特征閱讀教材P37第二自然段至P39“練習(xí)〞以上局部，完成以下問(wèn)題．用樣本的平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的數(shù)字特征利用隨機(jī)抽樣得到樣本，從樣本數(shù)據(jù)得到的分布、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差(通常稱之為樣本分布、樣本平均數(shù)和樣本標(biāo)準(zhǔn)差)并不是總體真正的分布、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，而只是總體的一個(gè)估計(jì)，但這個(gè)估計(jì)是合理的，特別是當(dāng)樣本容量很大時(shí)，它們確實(shí)反映了總體的信息．n個(gè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)，那么有neq\x\to(x)＝x1＋x2＋…＋xn.設(shè)樣本的元素為x1，x2，…，xn，樣本的平均數(shù)為eq\x\to(x)，那么樣本的方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2].樣本方差的算術(shù)平方根即為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，即s＝eq\r(\f(1,n)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2))).判斷(正確的打“√〞，錯(cuò)誤的打“×〞)(1)在用樣本估計(jì)總體分布的過(guò)程中，樣本容量越大，估計(jì)越精確．()(2)樣本平均數(shù)一定大于總體平均數(shù)．()(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差與總體標(biāo)準(zhǔn)差的大小關(guān)系無(wú)法確定．()【解析】(1)√，樣本容量越大，估計(jì)越精確．(2)×，樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的大小關(guān)系不確定．(3)√，可能大于也可能小于．【答案】(1)√(2)×(3)√[小組合作型]畫頻率分布直方圖、折線圖一個(gè)樣本：30,29,26,24,25,27,26,22,24,25,26,28,25,21,23,25,27,29,25,28.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：63580011】(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖和頻率折線圖；(3)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)總體出現(xiàn)在23～28內(nèi)的頻率是多少．【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)繪制頻率分布直方圖和頻率折線圖的步驟進(jìn)行．【自主解答】(1)計(jì)算極差：30－21＝9.決定組距和組數(shù)：取組距為2.∵eq\f(9,2)＝4eq\f(1,2)，∴共分5組．決定分點(diǎn)，使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)．并把第1小組的分點(diǎn)減小0.5，即分成如下5組：[20.5,22.5)，[22.5,24.5)，[24.5,26.5)，[26.5,28.5)，[28.5,30.5]．列出頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率頻率/組距[20.5,22.5)20.10.05[22.5,24.5)30.150.075[24.5,26.5)80.40.2[26.5,28.5)40.20.1[28.5,30.5]30.150.075合計(jì)201.00(2)作出頻率分布直方圖如下：取各小長(zhǎng)方形上的中點(diǎn)并用線段連接就構(gòu)成了頻率折線圖，如上圖．(3)由頻率分布表和頻率分布直方圖觀察得：樣本值出現(xiàn)在23～28之間的頻率為0.15＋0.40＋0.2＝0.75，所以可以估計(jì)總體中出現(xiàn)在23～28之間的數(shù)的頻率約為0.75.繪制頻率分布直方圖的具體步驟：1求極差：一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差.2決定組距與組數(shù)：數(shù)據(jù)分組的組數(shù)與樣本容量有關(guān)，一般樣本容量越大，所分組數(shù)越多.當(dāng)樣本容量不超過(guò)120時(shí)，按照數(shù)據(jù)的多少，常分成5～12組.為方便起見(jiàn)，組距的選擇應(yīng)力求“取整〞.3將數(shù)據(jù)分組：通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間.[再練一題]1．下表給出了某校從500名12歲男孩中隨機(jī)抽選出的120人的身高情況(單位：cm)：身高范圍[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)人數(shù)58102233身高范圍[142,146)[146,150)[150,154)[154,158]人數(shù)201165(1)列出樣本頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)估計(jì)身上下于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比．【解】(1)樣本頻率分布表如下所示：分組頻數(shù)頻率[122,126)50.04[126,130)80.07[130,134)100.08[134,138)220.18[138,142)330.28[142,146)200.17[146,150)110.09[150,154)60.05[154,158]50.04合計(jì)1201.00(2)頻率分布直方圖如下圖．(3)由樣本頻率分布表可知，身上下于134cm的男孩出現(xiàn)的頻率為0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以可以估計(jì)身上下于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的19%.頻率分布直方圖的應(yīng)用為了了解高一學(xué)生的體能情況，某校抽取局部學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖如圖1-5-1所示，圖中從左到右各小長(zhǎng)方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組頻數(shù)為12.圖1-5-1(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)假設(shè)次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，試估計(jì)該校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？【精彩點(diǎn)撥】(1)各小長(zhǎng)方形面積之比即為相應(yīng)的頻率之比，從而可算出第二小組的頻率．利用頻率＝eq\f(頻數(shù),樣本容量)，可求樣本容量．(2)由圖可知次數(shù)在110次以上的頻率，從而可求達(dá)標(biāo)率．【自主解答】(1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.又因?yàn)榈诙〗M頻率＝eq\f(第二小組頻數(shù),樣本容量)，所以樣本容量＝eq\f(第二小組頻數(shù),第二小組頻率)＝eq\f(12,0.08)＝150.(2)由圖可估計(jì)該校高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為eq\f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%.頻率分布直方圖的性質(zhì)：1因?yàn)樾【匦蔚拿娣e＝組距×頻率÷組距＝頻率，所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率.這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組內(nèi)的頻率大小.2在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1.3頻數(shù)÷相應(yīng)的頻率＝樣本容量.[再練一題]2．某校開(kāi)展了一次小制作評(píng)比活動(dòng)，作品上交時(shí)間為5月1日至30日．評(píng)委會(huì)把同學(xué)們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計(jì)，繪制了如圖1-5-2所示的頻率分布直方圖．從左到右各長(zhǎng)方形的高的比為2∶3∶4∶6∶4∶1，第三組的頻數(shù)為12，請(qǐng)解答有關(guān)問(wèn)題：(1)本次活動(dòng)共有多少件作品參加評(píng)比？(2)哪組上交的作品數(shù)最多？有多少件？圖1-5-2(3)經(jīng)過(guò)評(píng)比，第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎(jiǎng)，那么這兩組哪組獲獎(jiǎng)率較高？【解】(1)依題意知，第三組的頻率為eq\f(4,2＋3＋4＋6＋4＋1)＝0.2，又因?yàn)榈谌M的頻數(shù)為12，故本次活動(dòng)的參評(píng)作品有eq\f(12,0.2)＝60(件)．(2)根據(jù)頻率分布直方圖，可以看出第四組上交的作品數(shù)量最多，共有60×eq\f(6,2＋3＋4＋6＋4＋1)＝18(件)．(3)第四組的獲獎(jiǎng)率是eq\f(10,18)＝eq\f(5,9).因?yàn)榈诹M上交的作品數(shù)量為60×eq\f(1,2＋3＋4＋6＋4＋1)＝3件，所以第六組的獲獎(jiǎng)率為eq\f(2,3).而eq\f(2,3)＞eq\f(5,9)，顯然第六組的獲獎(jiǎng)率較高．[探究共研型]估計(jì)總體的數(shù)字特征探究1如何從頻率分布直方圖中估計(jì)中位數(shù)？【提示】在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可估計(jì)中位數(shù)的值．探究2在條形統(tǒng)計(jì)圖中怎樣估計(jì)眾數(shù)？【提示】眾數(shù)是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．探究3怎樣估計(jì)平均數(shù)？【提示】平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積的總和．一組數(shù)據(jù)：125,121,123,125,127,129,125,128,130,129,126,124,125,127,126,122,124,125,126,128.(1)填寫下面的頻率分布表：分組頻數(shù)頻率[121,123)[123,125)[125,127)[127,129)[129,131]合計(jì)(2)做出頻率分布直方圖；(3)根據(jù)頻率分布直方圖或頻率分布表求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．【精彩點(diǎn)撥】(1)根據(jù)頻數(shù)與頻率的概念填寫表格；(2)利用作頻率分布直方圖的步驟作圖；(3)根據(jù)直方圖中求數(shù)字特征的方法求解．【自主解答】(1)分組頻數(shù)頻率[121,123)20.1[123,125)30.15[125,127)80.4[127,129)40.2[129,131]30.15合計(jì)201(2)(3)在[125,127)中的數(shù)據(jù)最多，取這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)值作為眾數(shù)的近似值，得眾數(shù)126，事實(shí)上，眾數(shù)的精確值為125；(2)圖中虛線對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)是125＋2×eq\f(5,8)＝126.25，事實(shí)上中位數(shù)為125.5.使用“組中值〞求平均數(shù)eq\x\to(x)＝122×0.1＋124×0.15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0.15＝126.3，平均數(shù)的精確值為eq\x\to(x)＝125.75.1．平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差等統(tǒng)計(jì)量是將多個(gè)數(shù)據(jù)“加工〞成一個(gè)數(shù)據(jù)，能更清楚地反映這組數(shù)據(jù)的某些重要特征，要理解這些統(tǒng)計(jì)量表達(dá)的信息．2．利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為估計(jì)值，與實(shí)際數(shù)據(jù)可能不一致．[再練一題]3．某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組，繪制成如圖1-5-3所示的頻率分布直方圖，圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.圖1-5-3求：(1)高一參賽學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)；(2)高一參賽學(xué)生的平均成績(jī)．【解】(1)由圖可知眾數(shù)為65，又∵第一個(gè)小矩形的面積為0.3，∴設(shè)中位數(shù)為60＋x，那么0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，∴中位數(shù)為60＋5＝65.(2)依題意，eq\x\to(x)＝55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成績(jī)約為67分．1．當(dāng)收集到的數(shù)據(jù)量很大時(shí)，比擬適宜的統(tǒng)計(jì)圖是()A．莖葉圖 B．頻率分布直方圖C．頻率折線圖 D．頻率分布表【解析】當(dāng)收集到的數(shù)據(jù)量很大時(shí)，一般用頻率分布直方圖．【答案】B2．在抽查產(chǎn)品的尺寸過(guò)程中，將其尺寸分成假設(shè)干組，[a，b)是其中的一組，抽查出的個(gè)體在該組上的頻率為m，該組上的直方圖的高為h，那么|a－b|＝()A．hmB.eq\f(m,h)C.eq\f(h,m) D．h＋m【解析】eq\f(頻率,組距)＝h，故|a－b|＝組距＝eq\f(頻率,h)＝eq\f(m,h).【答案】B3．某班的全體學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖1-5-4，數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．假設(shè)低于60分的人數(shù)是15，那么該班的學(xué)生人數(shù)是()圖1-5-4A．45B．50C．55 D．60【解析】成績(jī)?cè)赱20,40)和[40,60)的頻率分別是0.1,0.2，那么低于60分的頻率是0.3，設(shè)該班學(xué)生總數(shù)為m，那么eq\f(15,m)＝0.3，m＝50.【答案】B4．從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高(單位：厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖如圖1-5-5.由圖中數(shù)據(jù)可知a＝________.假設(shè)要從身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng)，那么從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為_(kāi)_______．圖1-5-5【解析】∵0.005×10＋0.035×10＋a×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，∴a＝0.030，設(shè)身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三組的分別有x，y，z人．∴eq\f(x,100)＝0.030×10，∴