數(shù)學(xué)物理方法格林函數(shù)

數(shù)學(xué)物理方法格林函數(shù)第一頁，共三十九頁，2022年，8月28日一、格林公式上具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù),在區(qū)域及其邊界和中具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，應(yīng)用矢量分析的高斯定理(12.1.1)

將對(duì)曲面的積分化為體積分

12.1泊松方程的格林函數(shù)法第二頁，共三十九頁，2022年，8月28日以上用到公式稱上式為第一格林公式．同理有上述兩式相減得到

第三頁，共三十九頁，2022年，8月28日表示沿邊界的外法向偏導(dǎo)數(shù)．稱為第二格林公式．進(jìn)一步改寫為第四頁，共三十九頁，2022年，8月28日二、泊松方程的格林函數(shù)法1、討論具有一定邊界條件的泊松方程的定解問題．

泊松方程邊值條件是區(qū)域邊界上給定的函數(shù).是第一、第二、第三類邊界條件的統(tǒng)一描述第五頁，共三十九頁，2022年，8月28日典型的泊松方程（三維穩(wěn)定分布）邊值問題表示邊界面上沿界面外法線方向的偏導(dǎo)數(shù)泊松方程第一類邊界條件：第一邊值問題(狄里希利問題)第二類邊界條件：第二邊值問題(諾依曼問題)第三類邊界條件：第三邊值問題第六頁，共三十九頁，2022年，8月28日2、格林函數(shù)的引入及其物理意義引入：為了求解泊松方程的定解問題，我們必須定義一個(gè)與此定解問題相應(yīng)的格林函數(shù)它滿足如下定解問題，邊值條件可以是第一、二、三類條件：代表三維空間變量的函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中其形式為第七頁，共三十九頁，2022年，8月28日格林函數(shù)的物理意義：在區(qū)域T內(nèi)部處放置一個(gè)單位正電荷，而該區(qū)域T的界面上為零,那么該點(diǎn)電荷在區(qū)域T內(nèi)r處產(chǎn)生的電勢，由此可以進(jìn)一步理解通常人們?yōu)槭裁捶Q格林函數(shù)為點(diǎn)源函數(shù)．第八頁，共三十九頁，2022年，8月28日

格林函數(shù)互易定理：

因?yàn)楦窳趾瘮?shù)代表處的點(diǎn)源在處所產(chǎn)生的影響（或所產(chǎn)生的場）,所以它只能是距離的函數(shù),故它應(yīng)該遵守如下的互易定理：第九頁，共三十九頁，2022年，8月28日根據(jù)格林第二公式

令得到第十頁，共三十九頁，2022年，8月28日根據(jù)函數(shù)性質(zhì)有：

故有

稱為泊松方程的基本積分公式．格林函數(shù)滿足互易定理并利用格林函數(shù)的對(duì)稱性則得到第十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日考慮格林函數(shù)所滿足的邊界條件討論如下：第一類邊值問題：相應(yīng)的格林函數(shù)是下列問題的解：考慮到格林函數(shù)的齊次邊界條件，第一類邊值問題的解另一形式的第一類邊值問題的解

第十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日2.第二類邊值問題

相應(yīng)的格林函數(shù)是下列問題的解：由公式可得第二類邊值問題解

第十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日3.第三類邊值問題

相應(yīng)的格林函數(shù)是下列問題的解：泊松方程的邊值條件，兩邊同乘以格林函第十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日格林函數(shù)的邊值條件的兩邊同乘以函數(shù)得相減得到代入（14.2.9）得到第三類邊值問題的解

(14.2.20)利用格林函數(shù)的互易性則得到(14.2.21)第十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日這就是第三邊值問題解的積分表示式．右邊第一個(gè)積分表示區(qū)域中分布的源在點(diǎn)產(chǎn)生的場的總和.第二個(gè)積分則代表邊界上的狀況對(duì)

點(diǎn)場的影響的總和．兩項(xiàng)積分中的格林函數(shù)相同．這說明泊松方程的格林函數(shù)是點(diǎn)源在一定的邊界條件下所產(chǎn)生的場．對(duì)于拉普拉斯方程

第一邊值問題的解為第三邊值問題的解為第十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日12.2無界空間的格林函數(shù)基本解無界區(qū)域這種情形公式中的面積分應(yīng)為零，故有

選取和分別滿足下列方程

第十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日三維球?qū)ΨQ對(duì)于三維球?qū)ΨQ情形，我們選取對(duì)上式兩邊在球內(nèi)積分

（14.3.4）

（14.3.5）利用高斯定理（14.1.1）得到

(14.3.6)第十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日

故有

使上式恒成立，有

因此，,故得到第十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日對(duì)于三維無界球?qū)ΨQ情形的格林函數(shù)可以選取為

（14.3.7）

代入（14.3.1）得到三維無界區(qū)域問題的解為

（14.3.8）上式正是我們所熟知的靜電場的電位表達(dá)式

第二十頁，共三十九頁，2022年，8月28日二維軸對(duì)稱情形用單位長的圓柱體來代替球．積分在單位長的圓柱體內(nèi)進(jìn)行，即因?yàn)橛捎?/p>

只是垂直于軸，且向外的分量，所以上式在圓柱體上、下底的面積分為零，只剩下沿側(cè)面的積分，即第二十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日選取的圓柱的高度為單位長，則很容易得到下面的結(jié)果令積分常數(shù)為0，得到因此二維軸對(duì)稱情形的格林函數(shù)為

（14.3.9）

將（14.3.9）代入式（14.3.1）得到二維無界區(qū)域的解為第二十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日用電像法確定格林函數(shù)用格林函數(shù)法求解的主要困難還在于如何確定格林函數(shù)本身一個(gè)具體的定解問題，需要尋找一個(gè)合適的格林函數(shù)為了求解的方便，對(duì)一些具體問題我們給出構(gòu)建格林函數(shù)的方法電像法考慮一個(gè)具體的物理模型：設(shè)在一接地導(dǎo)體球內(nèi)的放置一個(gè)單位正電荷，求在體內(nèi)的電勢分布，并滿足邊界條件為零點(diǎn)第二十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日對(duì)于第一類邊值問題，其格林函數(shù)可定義為下列定解問題的解為了滿足邊界條件：電勢為零，所以還得在邊界外像點(diǎn)（或?qū)ΨQ點(diǎn)）放置一個(gè)合適的負(fù)電荷，這樣才能使這兩個(gè)電荷在界面上產(chǎn)生的電勢之和為零這方法是基于靜電學(xué)的鏡像原理來構(gòu)建格林函數(shù)，所以我們稱這種構(gòu)建方法為電像法（也稱為鏡像法）．

第二十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日上半平面區(qū)域第一邊值問題的格林函數(shù)構(gòu)建拉普拉斯方程的第一邊值問題求解物理模型：若在處放置一正單位點(diǎn)電荷

則虛設(shè)的負(fù)單位點(diǎn)電荷應(yīng)該在于是得到這兩點(diǎn)電荷在xoy的上半平面的電位分布．也就是本問題的格林函數(shù)，即為

（14.4.2）

第二十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日據(jù)上述物理模型可求解下列定解問題例14.6.1定解問題：【解】根據(jù)第一邊值問題，構(gòu)建的格林函數(shù)滿足

處放置于一個(gè)正和一個(gè)負(fù)的點(diǎn)電荷（或點(diǎn)源）

構(gòu)建格林函數(shù)為

第二十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日邊界外法線方向?yàn)樨?fù)軸，故有

代入到拉普拉斯第一邊值問題解的公式（14.2.13），拉普拉斯方程的自由項(xiàng),則由得

(14.4.3)第二十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日或代入拉普拉斯方程的第一邊值問題的解公式（14.2.22）得到

(14.4.4)公式（14.4.3）或（14.4.4）稱為上半平面的拉普拉斯積分公式．第二十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日2.泊松方程的第一邊值問題求解

例14.6.2定解問題：根據(jù)第一類邊值問題的解公式(14.2.14)得到

（14.4.5）第二十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日根據(jù)半平面區(qū)域第一類邊值問題的格林函數(shù)(14.4.2)式，得到

(14.4.6)

因?yàn)檫吔缟系姆ň€為負(fù)y軸，故

(14.4.7)將（14.4.6）和(14.4.7)代入（14.4.5）得到泊松方程在半平面區(qū)域第一邊值問題的解第三十頁，共三十九頁，2022年，8月28日14.4.2上半空間內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題物理模型:第三十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日例14.4.3在上半空間內(nèi)求解拉普拉斯方程的第一邊值問題

【解】構(gòu)建格林函數(shù)滿足第三十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日根據(jù)物理模型和無界區(qū)域的格林函數(shù)可以構(gòu)建為

(14.4.8)

即有第三十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日為了把代入拉普拉斯第一邊值問題的解的公式（14.2.22），需要先計(jì)算即為

第三十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日代入（）即得到

這公式叫作半空間的拉普拉斯積分．

（14.4.9）第三十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日14.4.3圓形區(qū)域第一邊值問題的格林函數(shù)構(gòu)建物理模型【2】：在圓內(nèi)任找一點(diǎn)

放置一個(gè)單位第三十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日根據(jù)圖14.2，這兩線電荷在圓內(nèi)任一觀察點(diǎn)所產(chǎn)生的電勢為當(dāng)觀察點(diǎn)位于圓周上時(shí)，應(yīng)該有，即滿足第一類齊次邊值條件,

即為第