數(shù)據(jù)指標(biāo)章統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的描述度量

數(shù)據(jù)指標(biāo)章統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的描述度量第一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)據(jù)分布的特征集中趨勢(shì)(位置)離中趨勢(shì)

(分散程度)偏態(tài)和峰度（形狀）2023/2/122第二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)據(jù)分布的特征和測(cè)度數(shù)據(jù)的特征和測(cè)度分布的形狀集中趨勢(shì)離散程度眾數(shù)中位數(shù)均值離散系數(shù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差峰度四分位差變異系數(shù)偏態(tài)四分位數(shù)2023/2/123第三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日§3.1度量集中趨勢(shì)的平均指標(biāo)平均指標(biāo)是說(shuō)明社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象一般水平

的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，反映標(biāo)志值分布的集中趨勢(shì)

平均指標(biāo)按計(jì)算方式可分為數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)兩大類2023/2/124第四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日——是根據(jù)總體各單位所有標(biāo)志值計(jì)算出的平均數(shù)。包括算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)。(一)算術(shù)平均數(shù)（ArithmeticMean）算術(shù)平均數(shù)的基本公式一.數(shù)值平均數(shù)

2023/2/125第五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日

(1)簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算

n—總體單位總數(shù)；xi—第i

個(gè)單位的標(biāo)志值。

xi

—第i組的代表值(組中值或該組變量值)；

fi—第i組的頻數(shù)。(2)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

2023/2/126第六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日單項(xiàng)數(shù)列分組數(shù)列2023/2/127第七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日使用Excel函數(shù)求加權(quán)算術(shù)平均數(shù)利用Excel“數(shù)學(xué)和三角函數(shù)”中的SUMPRODUCT函數(shù)可以方便地計(jì)算出分組數(shù)據(jù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。語(yǔ)法規(guī)則：格式：SUMPRODUCT(<區(qū)域1>,<區(qū)域2>,…)功能：返回兩個(gè)或多個(gè)區(qū)域中對(duì)應(yīng)元素乘積之和。

例：利用比特啤酒公司各銷售點(diǎn)分組頻數(shù)分布數(shù)據(jù)，求各銷售點(diǎn)的平均銷售量。

2023/2/128第八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/129第九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(二)幾何平均數(shù)(GeometricMean)當(dāng)統(tǒng)計(jì)資料是各時(shí)期的發(fā)展速度等前后期的兩兩環(huán)比數(shù)據(jù)，要求每時(shí)期的平均發(fā)展速度時(shí)，就需要使用幾何平均數(shù)。幾何平均數(shù)是n個(gè)數(shù)連乘積的n次方根。1.簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)

2.加權(quán)幾何平均數(shù)fi—各比率出現(xiàn)的頻數(shù)

2023/2/1210第十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例：某公司原料成本隨時(shí)間增長(zhǎng)的情況如下表求原料成本的平均年增長(zhǎng)率。解一：解二：

年平均增長(zhǎng)率=1.0688-1=6.88%

2023/2/1211第十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日50%decrease100%increase算術(shù)平均數(shù):幾何平均數(shù):2023/2/1212第十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日使用Excel求幾何平均數(shù)可以使用Excel統(tǒng)計(jì)函數(shù)中的GEOMEAN函數(shù)返回幾何平均數(shù)語(yǔ)法規(guī)則：格式：GEOMEAN(<區(qū)域或數(shù)組1>,<區(qū)域或數(shù)組2>,…)功能：返回所有參數(shù)中數(shù)據(jù)的幾何平均數(shù)。

2023/2/1213第十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日位置平均數(shù)是根據(jù)總體標(biāo)志值所處的特殊位置確定的一類平均指標(biāo)。包括中位數(shù)和眾數(shù)兩種。(一)中位數(shù)(Median)——將總體各單位標(biāo)志值按由小到大的順序排列后處于中間位置的標(biāo)志值稱為中位數(shù)，記為Me

。中位數(shù)是一種位置平均數(shù)，不受極端數(shù)據(jù)的影響。當(dāng)統(tǒng)計(jì)資料中含有異常的或極端的數(shù)據(jù)時(shí)，中位數(shù)比算術(shù)平均數(shù)更具有代表性。比如有5筆付款：9元，10元，10元，11元，60元付款的均值為20元，顯然這并不是一個(gè)很好的代表值，而中位數(shù)

Me

=10元?jiǎng)t更能代表平均每筆的付款數(shù)。二.位置平均數(shù)2023/2/1214第十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日使用Excel的統(tǒng)計(jì)函數(shù)返回未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可以使用Excel統(tǒng)計(jì)函數(shù)中的MEDIAN函數(shù)返回未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。格式：MEDIAN(<區(qū)域或數(shù)組1>,<區(qū)域或數(shù)組2>,…)功能：返回所有參數(shù)中數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

0123456789100123456789101214Median=5Median=52023/2/1215第十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的確定

對(duì)于分組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)資料，中位數(shù)要用插值法來(lái)估算。

(1)計(jì)算各組的累計(jì)頻數(shù)；

(2)確定中位數(shù)所在的組

——是累計(jì)頻數(shù)首次包含中位數(shù)Σf/2的組。其中：L—中位數(shù)所在組的下限；

Sm-1—中位數(shù)所在組前一組的累計(jì)頻數(shù)；

fm—中位數(shù)所在組的頻數(shù)；

d—中位數(shù)所在組的組距。

2023/2/1216第十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例：計(jì)算下表數(shù)據(jù)的中位數(shù)解：Σf/2=27.5，中位數(shù)在“15-25”的組中，

2023/2/1217第十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(二)眾數(shù)(Mode)——是總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值，記為M

0。眾數(shù)明確反映了數(shù)據(jù)分布的集中趨勢(shì)，也是一種位置平均數(shù)，不受極端數(shù)據(jù)的影響。但并非所有數(shù)據(jù)集合都有眾數(shù)，也可能存在多個(gè)眾數(shù)。在某些情況下，眾數(shù)是一個(gè)較好的代表值。例如在服裝行業(yè)中，生產(chǎn)商、批發(fā)商和零售商在進(jìn)行生產(chǎn)和存貨決策時(shí)，更感興趣的是最普遍的尺寸而不是平均尺寸。又如，當(dāng)要了解大多數(shù)家庭的收入狀況時(shí)，也要用到眾數(shù)。

2023/2/1218第十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日眾數(shù)

(眾數(shù)的不唯一性)無(wú)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):65

985

5多于一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):2528

28

3642

422023/2/1219第十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日未分組數(shù)據(jù)眾數(shù)的確定在數(shù)據(jù)量很大的時(shí)候，可以使用Excel統(tǒng)計(jì)函數(shù)中的MODE函數(shù)返回眾數(shù)。格式：MODE(<區(qū)域或數(shù)組1>,<區(qū)域或數(shù)組2>,…)功能：返回所有參數(shù)中數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

01234567891011121314Mode=92023/2/1220第二十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日分組數(shù)據(jù)眾數(shù)的確定對(duì)于分組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)資料，眾數(shù)也要用插值法來(lái)估算。(1)確定眾數(shù)所在的組對(duì)于等距分組，眾數(shù)組是頻數(shù)最高的組；(2)使用以下插值公式計(jì)算其中：L—眾數(shù)組的下限Δ1—眾數(shù)組與前一組的頻數(shù)之差Δ2—眾數(shù)組與后一組的頻數(shù)之差

d—眾數(shù)組的組距Δ1Δ2眾數(shù)Ld2023/2/1221第二十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日例：計(jì)算下表數(shù)據(jù)的眾數(shù)解：眾數(shù)組是“15-25”的組，則

2023/2/1222第二十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日三.算術(shù)平均數(shù)和位置平均數(shù)間的關(guān)系1.頻數(shù)分布呈完全對(duì)稱的單峰分布，算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)三者相同0xf(Me，M0)0xfMeM00xfMeM02.頻數(shù)分布為右偏態(tài)時(shí)，眾數(shù)小于中位數(shù)，算術(shù)平均數(shù)大于中位數(shù)3.頻數(shù)分布為左偏態(tài)時(shí)，眾數(shù)大于中位數(shù)，算術(shù)平均數(shù)小于中位數(shù)2023/2/1223第二十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)充習(xí)題補(bǔ)充題：某地區(qū)私營(yíng)企業(yè)注冊(cè)資金分組資料如下，求該地區(qū)私營(yíng)企業(yè)注冊(cè)資金的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。2023/2/1224第二十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日

答案Σf/2=143/2=71.5，中位數(shù)所在“100～150”的組，眾數(shù)組為“100～150”的組，2023/2/1225第二十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日四分位數(shù)(Quartile)(概念要點(diǎn))1.

集中趨勢(shì)的測(cè)度值之一2. 排序后處于25%和75%位置上的值

3.不受極端值的影響

4.可用于定序數(shù)據(jù)，也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于定類數(shù)據(jù)QLQMQU25%25%25%25%2023/2/1226第二十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日四分位數(shù)(位置的確定)未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：下四分位數(shù)(QL)位置=N+14上四分位數(shù)(QU)位置=3(N+1)4下四分位數(shù)(QL)位置=N4上四分位數(shù)(QL)位置=3N42023/2/1227第二十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日未分組數(shù)據(jù)四分位數(shù)的確定規(guī)則1

如果結(jié)果是整數(shù)，四分位數(shù)等于那個(gè)整數(shù)位置的數(shù)據(jù)。規(guī)則2

如果結(jié)果是半數(shù)（如2.5，3.5等），四分位數(shù)等于相鄰有序數(shù)據(jù)的平均數(shù)。規(guī)則3

如果結(jié)果既不是整數(shù)又不是半數(shù)，結(jié)果取最接近的整數(shù)，并選數(shù)據(jù)。2023/2/1228第二十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(7個(gè)數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù):

2321 3032 282526排序:2123

2526283032位置:1 23 4567QL=237+1QL位置=4=4=2QU位置=3(N+1)43(7+1)4==6QU=302023/2/1229第二十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(6個(gè)數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù):

2321 30 282526排序:212325262830位置:1 2 3 4 56QL=23QL位置=N+14=6+14=1.75QU位置=3(N+1)43(6+1)4==5.25QU=282023/2/1230第三十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日

Excel中四分位數(shù)的計(jì)算過(guò)程

2023/2/1231第三十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日原始數(shù)據(jù):

2321 30 282526排序:212325262830位置:1 2 3 4 56QL=23+0.25*(25-23)=23.5QL位置=N-14=QU位置=3(N-1)4=4.75QU=26+0.75(28-26)=27.51+數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(6個(gè)數(shù)據(jù)的算例)2.251+2023/2/1232第三十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

上四分位數(shù):

下四分位數(shù):

2023/2/1233第三十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日QL位置＝50/4＝12.5QU位置＝3×50/4＝37.5表某車間50名工人日加工零件數(shù)分組表按零件數(shù)分組頻數(shù)（人）累積頻數(shù)105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合計(jì)50—數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

【例】根據(jù)第三章表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的四分位數(shù)2023/2/1234第三十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日五數(shù)匯總和箱線圖Median(Q2)XmaximumXminimumQ1Q3Example:25%25%25%25%12304557702023/2/1235第三十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日右偏Right-Skewed左偏Left-SkewedSymmetric五數(shù)匯總和箱線圖2023/2/1236第三十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日x頻數(shù)要分析總體的分布規(guī)律，僅了解中心趨勢(shì)指標(biāo)是不夠的，還需要了解數(shù)據(jù)的離散程度或差異狀況。幾個(gè)總體可以有相同的均值，但取值情況卻可以相差很大。

變異指標(biāo)就是用來(lái)表示數(shù)據(jù)離散程度特征的。變異指標(biāo)主要有：極差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差、變異系數(shù)和Z值。

§3.2度量離散程度的指標(biāo)2023/2/1237第三十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日【案例】道格拉斯公司應(yīng)如何選擇供應(yīng)商道森公司和克拉克公司是道格拉斯公司的兩家供貨商。兩家供貨商都表示大約需要10個(gè)工作日交付定貨。下表是兩家供應(yīng)商定貨交付時(shí)間的歷史數(shù)據(jù)。今后道格拉斯公司應(yīng)選擇哪家供應(yīng)商供貨？2023/2/1238第三十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日一.極差(Range)極差也稱全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差,通常記為R。顯然，一組數(shù)據(jù)的差異越大，其極差也越大。極差是最簡(jiǎn)單的變異指標(biāo)，它廣泛應(yīng)用于產(chǎn)品質(zhì)量管理中控制質(zhì)量的差異，一旦發(fā)現(xiàn)超過(guò)控制范圍，就采取措施加以糾正，以保證產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定。但極差有很大的局限性，它僅考慮了兩個(gè)極端的數(shù)據(jù)，沒(méi)有利用其余數(shù)據(jù)的信息，因而是一種比較粗糙的變異指標(biāo)。

2023/2/1239第三十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日第四十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日2023/2/1241第四十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日D4andD3arefromTable(n=5)第四十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日UCL=8.232024681234567MinutesDayLCL=0R=3.894_Conclusion:Variationisincontrol2023/2/1243第四十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日二、四分位差

1. 離散程度的測(cè)度值之一2. 也稱為內(nèi)距或四分間距3. 上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差

QD

=QU-QL4. 反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度不受極端值的影響用于衡量中位數(shù)的代表性2023/2/1244第四十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日二、四分位差Median(Q2)XmaximumXminimumQ1Q3Example:25%25%25%25%1230455770Interquartilerange=57–30=272023/2/1245第四十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日第四十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日三.平均差平均差是各數(shù)據(jù)與其均值離差絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)，通常記為A·D。

平均差越大，反映數(shù)據(jù)間的差異越大。但由于使用了絕對(duì)值，其數(shù)學(xué)性質(zhì)很差，因而很少使用。

2023/2/1247第四十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日四.方差(Variance)和標(biāo)準(zhǔn)差(StandardDeviation)方差和標(biāo)準(zhǔn)差是應(yīng)用得最為廣泛的變異指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，也稱均方差或根方差。

應(yīng)注意總體方差、標(biāo)準(zhǔn)差與樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差是有區(qū)別的。1.總體方差(PopulationVariance)和總體標(biāo)準(zhǔn)差(PopulationStandardDeviation)總體方差是各總體數(shù)據(jù)與其均值差平方的均值，記為

2，總體標(biāo)準(zhǔn)差記為。2023/2/1248第四十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日2.樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本方差記為

S

2，樣本標(biāo)準(zhǔn)差記為

S，在推斷統(tǒng)計(jì)中，它們分別是總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的優(yōu)良估計(jì)。其中：n為樣本容量，Xi為樣本觀察值為樣本均值。

2023/2/1249第四十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日未分組數(shù)據(jù)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方差和標(biāo)準(zhǔn)差的手工計(jì)算非常煩瑣，只要求掌握以下兩種方法。（1）使用Excel的統(tǒng)計(jì)函數(shù) ①VARP(<區(qū)域或數(shù)組1>,<區(qū)域或數(shù)組2>,…)

功能：返回所有參數(shù)中數(shù)據(jù)的總體方差。 ②STDEVP(<區(qū)域或數(shù)組1>,<區(qū)域或數(shù)組2>,…)

功能：返回所有參數(shù)中數(shù)據(jù)的總體標(biāo)準(zhǔn)差。 ③VAR(<區(qū)域或數(shù)組1>,<區(qū)域或數(shù)組2>,…)

功能：返回所有參數(shù)中數(shù)據(jù)的樣本方差。 ④STDEV(<區(qū)域或數(shù)組1>,<區(qū)域或數(shù)組2>,…)

功能：返回所有參數(shù)中數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差。

2023/2/1250第五十頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日分組數(shù)據(jù)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差如果得到的是分組的頻數(shù)分布數(shù)據(jù)，則方差與標(biāo)準(zhǔn)差的公式如下：其中Xi

是第i

組的組中值或標(biāo)志值。

2023/2/1251第五十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日變異系數(shù)在對(duì)上海和南京兩地居民生活質(zhì)量調(diào)查發(fā)現(xiàn)，上海居民平均月收入1800元，標(biāo)準(zhǔn)差為180元；南京居民平均月收入1200元，標(biāo)準(zhǔn)差為160元。問(wèn)兩地居民收入差距哪個(gè)更大？2023/2/1252第五十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日Z(yǔ)值通常，Z值小于-3.0或大于+3.0時(shí)，認(rèn)為數(shù)據(jù)中含有極端值2023/2/1253第五十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日是非標(biāo)志的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差在對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行分析時(shí)，經(jīng)常要將總體的所有單位按是否具有某種屬性劃分為兩組，即“是”與“非”的兩組。如將學(xué)生按性別分組，將產(chǎn)品按合格與否分組。又如在民意調(diào)查中，將被調(diào)查者按是否支持某位侯選人或是否贊成某項(xiàng)政策分為兩組等等。

2023/2/1254第五十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(1)比例的概念——比例是指具有某種性質(zhì)或?qū)傩缘膯挝粩?shù)占總體全部單位數(shù)的比重(也稱成數(shù))，記為P。N1——總體中具有某一屬性的單位數(shù)；N——總體單位總數(shù)。如產(chǎn)品中的次品率；全部人口或某單位職工中男、女的比率；某地區(qū)全部家庭中高(如月收入≥10000元)、中、低(月收入≤1000元)收入家庭各占的比重等。

2023/2/1255第五十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，2022年，8月28日(2)比例的平均數(shù)要計(jì)算比例的平均數(shù)，需要將是非標(biāo)志的標(biāo)志表現(xiàn)進(jìn)行量化處理。記1—代表具有某種屬性的標(biāo)志表