2023屆高考數(shù)學(xué)專題8.2橢圓雙曲線拋物線同步單元雙基雙測（B卷）文

專題8.2橢圓雙曲線拋物線〔測試時間：120分鐘總分值：150分〕一、選擇題〔共12小題，每題5分，共60分〕1.【2023云南昆明一中一模】雙曲線的中心為原點，點是雙曲線的一個焦點，點到漸近線的距離為1，那么的方程為〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】因為點到漸近線的距離為1，所以b=1，因為c=,所以a=1，因此的方程為，選A.2.雙曲線的離心率為，那么的值為A．B．3C．8D．【答案】B【解析】試題分析:由題意知，，所以，解之得，故應(yīng)選．考點：1、雙曲線的概念；2、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)；3.橢圓上的點M到焦點F1的距離為2，N是MF1的中點，那么|ON|〔O為坐標原點〕的值為〔〕A2B4C8D【答案】B【解析】考點：橢圓定義．4.雙曲線的離心率為，左頂點到一條漸近線的距離為，那么該雙曲線的標準方程為〔〕A．B．C．D．【來源】【百強?！?023屆安徽江南十校高三文8.18摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷〔帶解析〕【答案】D【解析】考點：雙曲線的性質(zhì)．5.【2023山西名校聯(lián)考】橢圓的左、右焦點分別為，且，點在橢圓上，，，那么橢圓的離心率〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】由于，那么，，，，，，，，，，那么，選C.6.雙曲線的一條漸近線方程為，分別為雙曲線C的左右焦點，P為雙曲線C上的一點，，那么的值是〔〕A．4B．C．D．【答案】C【解析】考點：雙曲線的定義、漸近線及向量的綜合應(yīng)用．7.過雙曲線的左焦點作圓的兩條切線，切點分別為，雙曲線左頂點為，假設(shè)，那么該雙曲線的離心率為〔〕A．B．C．3D．2【來源】【百強校】2023屆甘肅肅南裕固族自治縣一中高三文10月月考數(shù)學(xué)試卷〔帶解析〕【答案】D【解析】試題分析：作圖，∵，，，∴為等邊三角形，∴，在直角三角形中，，∴該雙曲線的離心率．考點：雙曲線簡單性質(zhì)．8.過橢圓的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為右焦點，假設(shè)，那么橢圓的離心率為〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】考點：橢圓方程及離心率9.橢圓的一個焦點為，假設(shè)橢圓上存在一個點，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段相切于該線段的中點，那么橢圓的離心率為()A．B．C．D．【答案】D【解析】試題分析：畫出如下示意圖．可知0M為△PF1F2的中位線，∴PF2=2OM=2b，∴PF1=2a-PF2=2a-2b，又∵M為PF1的中點，∴MF1=a-b，∴在Rt△OMF1中，由OM2+MF12=OF12,可得(a-b)2+b2=c2=a2-b2．可得2a=3b，進而可得離心率e=．考點：橢圓與圓綜合問題．10.橢圓的右焦點為．短軸的一個端點為，直線交橢圓于兩點．假設(shè)，點到直線的距離不小于，那么橢圓的離心率的取值范圍是A．B．C．D．【答案】A【解析】考點：橢圓的幾何性質(zhì)．【名師點睛】此題考查橢圓的離心率的范圍，因此要求得關(guān)系或范圍，解題的關(guān)鍵是利用對稱性得出就是，從而得，于是只有由點到直線的距離得出的范圍，就得出的取值范圍，從而得出結(jié)論．在涉及到橢圓上的點到焦點的距離時，需要聯(lián)想到橢圓的定義．11.【2023河南名校聯(lián)考】拋物線的焦點為，準線，點在拋物線上，點在左準線上，假設(shè)，且直線的斜率，那么的面積為〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】設(shè)準線與軸交于N，所以,直線的斜率，所以,在直角三角形中，，，根據(jù)拋物線定義知，,又,,所以,因此是等邊三角形，故，所以的面積為，應(yīng)選C.12.橢圓上一點關(guān)于原點的對稱點為為其右焦點，假設(shè)，設(shè)，且，那么該橢圓離心率的最大值為〔〕A.1B.C.D.【來源】【百強校】2023屆重慶市第八中學(xué)高三上一調(diào)考試數(shù)學(xué)〔文〕試卷〔帶解析〕【答案】B【解析】考點：直線與圓錐曲線位置關(guān)系.【思路點晴】設(shè)左焦點為，根據(jù)橢圓的定義：，又因為，所以，利用直角三角形和焦距，得到，最后根據(jù)的取值范圍求出離心率的取值范圍.在圓錐曲線的小題中，往往可以向定義去想，如雙曲線的定義是，再結(jié)合題目的條件來求.二．填空題〔共4小題，每題5分，共20分〕13.一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，那么該圓的標準方程為.【答案】【解析】設(shè)圓心為〔，0〕，那么半徑為，那么，解得，故圓的方程為.【考點定位】橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標準方程14.如圖，雙曲線的右頂點為，為坐標原點，以為圓心的圓與雙曲線的某漸近線交于兩點，假設(shè)，且，那么雙曲線的離心率為____________．【來源】【百強?！?023屆江西吉安一中高三上學(xué)期段考一數(shù)學(xué)〔理〕試卷〔帶解析〕【答案】【解析】試題分析：因為，所以為正三角形，設(shè),那么，其中B為PQ的中點，所以考點：雙曲線漸近線15.【2023云南昆明一中一?！侩p曲線的中心為坐標原點，點是雙曲線的一個焦點，過點作漸近線的垂線，垂足為，直線交軸于點，假設(shè)，那么雙曲線的方程為__________．【答案】【解析】設(shè)雙曲線的方程為:，由得：由點到直線的距離公式可得由及勾股定理可得，又因為與漸近線垂直，結(jié)合可得雙曲線的方程：，故答案為.16.點是橢圓上的動點，、為橢圓對左、右焦點，為坐標原點，假設(shè)是的角平分線上的一點，且，那么的取值范圍是．【答案】【解析】試題分析：延長交或其延長線于N點，那么，因為，因此的取值范圍是考點：橢圓定義三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.拋物線的焦點為，是拋物線上的兩個動點，且，過兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為．〔1〕證明：為定值；〔2〕設(shè)的面積為，求的最小值．【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕．【解析】試題分析：〔1〕借助題設(shè)條件運用直線與拋物線的位置關(guān)系求解；〔2〕借助題設(shè)運用不等式的性質(zhì)探求．試題解析：〔1〕設(shè)，聯(lián)立得：，因此，，由，，得：，即所以．〔2〕所以，所以的最小值為4．考點：向量的數(shù)量積公式和拋物線的幾何性質(zhì)等有關(guān)知識的綜合運用．【易錯點晴】此題重在考查圓錐曲線中的代表曲線拋物線與直線的位置關(guān)系等有關(guān)知識的綜合運用問題．求解時要充分利用題設(shè)中所提供的信息,先運用向量的數(shù)量積公式求出,再求出．第二問借助曲線的弦長公式求得,進而求得的面積,即求得面積的最小值為,從而使得使問題獲解．18.橢圓的左右焦點分別為，橢圓過點，直線交軸于，且為坐標原點．〔1〕求橢圓的方程；〔2〕設(shè)是橢圓上的頂點，過點分別作出直線交橢圓于兩點，設(shè)這兩條直線的斜率分別為，且，證明：直線過定點．【答案】〔1〕；〔2〕證明見解析.【解析】試題分析：〔1〕因為，所以，，將代入橢圓得，解得，橢圓方程為；〔2〕設(shè)方程為代入橢圓方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，，求得，所以，代入得：所以，直線必過．〔2〕設(shè)方程為代入橢圓方程，，，∴，∴代入得：所以，直線必過．考點：直線與圓錐曲線位置關(guān)系．【方法點晴】求曲線方程主要方法是方程的思想，將向量的條件轉(zhuǎn)化為垂直.直線和圓錐曲線的位置關(guān)系一方面要表達方程思想，另一方面要結(jié)合條件，從圖形角度求解．聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解是一個常用的方法.涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計算弦長；涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．19.【2023黑龍江齊齊哈爾一?！咳鐖D，橢圓的左、右頂點分別為，上、下頂點分別為，兩個焦點分別為，，四邊形的面積是四邊形的面積的2倍.〔1〕求橢圓的方程；〔2〕過橢圓的右焦點且垂直于軸的直線交橢圓于兩點，是橢圓上位于直線兩側(cè)的兩點.假設(shè)直線過點，且，求直線的方程.【答案】〔1〕;〔2〕試題解析：解：〔1〕因為,所以，①由四邊形的面積是四邊形的面積的2倍，可得.②由①可得，所以，所以.所以橢圓的方程為.〔2〕由〔1〕易知點的坐標分別為.因為，所以直線的斜率之和為0.設(shè)直線的斜率為，那么直線的斜率為，，直線的方程為，由可得，∴，同理直線的方程為，可得，∴，，∴滿足條件的直線的方程為，即為.20.在平面直角坐標系中，拋物線：，在此拋物線上一點N到焦點的距離是3.〔1〕求此拋物線的方程；〔2〕拋物線的準線與軸交于點，過點斜率為的直線與拋物線交于、兩點．是否存在這樣的，使得拋物線上總存在點滿足，假設(shè)存在，求的取值范圍；假設(shè)不存在，說明理由．【答案】〔1〕;〔2〕.【解析】試題分析：〔1〕根據(jù)拋物線的定義列式即可求之；〔2〕根據(jù)題意設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，整理得，假設(shè)存在直線與拋物線交于兩點，可得，得且，由，可得其斜率之積為-1，，整理，此時應(yīng)滿足，綜上可得且.試題解析：〔1〕拋物線準線方程是，，故拋物線的方程是.〔2〕設(shè)，，由得，由得且.，，同理由得，即：，∴，，得且，由且得，的取值范圍為考點：1、拋物線的定義；2、直線與拋物線的相交問題.21.【2023山西兩校聯(lián)考】設(shè)點的坐標分別為，直線相交于點，且它們的斜率之積.〔1〕求點的軌跡方程；〔2〕在點的軌跡上有一點且點在軸的上方，，求的范圍.【答案】〔1〕；〔2〕.試題解析：設(shè)點的坐標為因為點坐標為，所以直線的斜率同理，直線的斜率由有化簡，得點的軌跡方程為方法一：設(shè)點的坐標為，過點作垂直于軸，垂足為，因為點的坐標為在點的軌跡上，所以得，因為，，.所以解得.方法二：設(shè)點的坐標為，點的坐標分別為直線的斜率，直線的斜率由得所以〔1〕又由于點的坐標為為在點的軌跡上，所以得，代入〔1〕得.因為，，.所以解得.方法三設(shè)點的坐標為，點的坐標分別為直線的斜率，直線的斜率由得所以〔1〕又由于點的坐標為為在點的軌跡上，所以方法四：設(shè)點的坐標為，點的坐標分別為直線的斜率，直線的斜率由得所以〔1〕將代入〔1〕得，，.因為，，.所以解得.方法五設(shè)點的坐標為，點的坐標分別為直線的斜率，直線的斜率由得.所以解得.點睛：此題主要考查了軌跡方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點，屬于難題．求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時，未給出直線時需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，防止不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用．22.設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，且滿足.〔1〕求橢圓的標準方程；〔2〕動直線與橢圓交于兩點，且，是否存在圓使得恰好是該圓的切線，假設(shè)存在，求出；假設(shè)不存在，說明理由.【答案】〔1〕；〔2〕存在圓.【解析】試題分析：〔1〕根據(jù)題意列方程組，可求得，進而得橢圓方程；〔2〕將代入得，根據(jù)韋達定理及可得，再用點到直線的距離公式得即可.