2022年度山西省運(yùn)城市永濟(jì)逸夫中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題

2022年度山西省運(yùn)城市永濟(jì)逸夫中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)點(diǎn)O是邊長為1的正△ABC的中心（如圖所示），則（▲）A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．F3

【答案解析】D

解析：因?yàn)辄c(diǎn)O是邊長為1的等邊△ABC的中心，D為BC的中點(diǎn)，兩兩夾角為120°．所以==．所以（）?（）==+++==﹣．故選D．【思路點(diǎn)撥】由題意求出的長度，推出夾角大小，直接利用向量的數(shù)量積求解即可．2.已知雙曲線的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的方程為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D因?yàn)殡p曲線的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以c=1，又因?yàn)殡p曲線的離心率等于，所以，所以a=,所以，所以該雙曲線的方程為。3.已知集合，B＝{y|y＝3x2+1，x∈R}，則A∩B＝

A．?

B．(1，+∞)

C．[1，+∞)

D．(-∞，0)∪(1，+∞)參考答案：B4.已知集合，則（）

A．

B．

C．

D．參考答案：B5.設(shè)函數(shù)f（x）=，若互不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，x3滿足f（x1）=f（x2）=f（x3），則x1+x2+x3的取值范圍是（）A．（] B．（） C．（] D．（）參考答案：D【考點(diǎn)】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】先作出函數(shù)f（x）=的圖象，如圖，不妨設(shè)x1＜x2＜x3，則x2，x3關(guān)于直線x=3對稱，得到x2+x3=6，且﹣＜x1＜0；最后結(jié)合求得x1+x2+x3的取值范圍即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=的圖象，如圖，不妨設(shè)x1＜x2＜x3，則x2，x3關(guān)于直線x=3對稱，故x2+x3=6，且x1滿足﹣＜x1＜0；則x1+x2+x3的取值范圍是：﹣+6＜x1+x2+x3＜0+6；即x1+x2+x3∈（，6）．故選D【點(diǎn)評】本小題主要考查分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法、函數(shù)的值域的應(yīng)用、函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．6.函數(shù)的圖象是（

）參考答案：D7.已知全集，若函數(shù)，集合N=則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：8.已知函數(shù)f（x）=2x+1，x∈N*．若?x0，n∈N*，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，則稱（x0，n）為函數(shù)f（x）的一個“生成點(diǎn)”．函數(shù)f（x）的“生成點(diǎn)”共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的值；數(shù)列的求和．【專題】壓軸題；新定義．【分析】由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63，化簡可得（n+1）（2x0+n+1）=63，由，得或，解出即可．【解答】解：由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63所以2（n+1）x0+2（1+2+…n）+（n+1）=63，即（n+1）（2x0+n+1）=63，由，得或，解得或，所以函數(shù)f（x）的“生成點(diǎn)”為（1，6），（9，2）．故選B．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列求和及函數(shù)求值，考查學(xué)生對問題的閱讀理解能力解決問題的能力．9.設(shè)向量=（sinα，）的模為，則cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣參考答案：B10.在平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)（a，b），則函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)概率的幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論．【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：對應(yīng)的圖形為△OAB，其中對應(yīng)面積為S=×4×4=8，若f（x）=ax2﹣4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，則滿足a＞0且對稱軸x=﹣≤1，即，對應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)椤鱋BC，由，解得，∴對應(yīng)的面積為S1=××4=，∴根據(jù)幾何概型的概率公式可知所求的概率為=，故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是__________（用數(shù)字作答）．參考答案：－40的展開式的通項(xiàng)為：.令，得.答案為：-40.點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù).12.設(shè)z1、z2是方程z2+2z+3=0的兩根，則|z1﹣z2|=

．參考答案：2【考點(diǎn)】A7：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【分析】求出z，即可求出|z1﹣z2|．【解答】解：由題意，z=﹣1±i，∴|z1﹣z2|=|2i|=2，故答案為2．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算與球模，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．13.已知不等式組則z=的最大值為．參考答案：3【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】畫出滿足條件的平面區(qū)域，結(jié)合的幾何意義求出z的最大值即可．【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：的幾何意義表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)A（﹣1，1）的直線的斜率，結(jié)合圖象直線過AB時，斜率最大，此時z==3，故答案為：3．14.已知直線的極坐標(biāo)方程為,則極點(diǎn)到直線的距離為_________.參考答案：略15.由直線，曲線及軸所圍成的圖形的面積是___________.參考答案：【知識點(diǎn)】定積分在求面積中的應(yīng)用．B13解析：由定積分的幾何意義，得圍成的面積.【思路點(diǎn)撥】由題意利用定積分的幾何意義知，欲求由直線，曲線及軸所圍成的圖形的面積即求一個定積分即可，再計(jì)算定積分即可求得．16.甲乙兩人分別參加某高校自主招生考試，能通過的概率都為，設(shè)考試通過的人數(shù)(就甲乙而 言)為X，則X的方差D(X)=

．參考答案： 17.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程是（參數(shù)tR），圓C的參數(shù)方程是（參數(shù)θR），則圓C的圓心到直線l的距離為_________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）設(shè)為參數(shù)，若，求直線的參數(shù)方程；（2）已知直線與曲線交于，設(shè)，且，求實(shí)數(shù)的值.參考答案：（1）直線的極坐標(biāo)方程為所以，即因?yàn)闉閰?shù)，若，代入上式得，所以直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（2）由，得由代入，得將直線的參數(shù)方程與的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立得（*），設(shè)點(diǎn)分別對應(yīng)參數(shù)恰為上述方程的根則，由題設(shè)得，則有，得或因?yàn)?，所?19.（20分）設(shè)數(shù)列{an}滿足：①a1=1；②所有項(xiàng)an∈N*；③1=a1＜a2＜…＜an＜an+1＜…設(shè)集合Am={n|an≤m，m∈N*}，將集合Am中的元素的最大值記為bm．換句話說，bm是數(shù)列{an}中滿足不等式an≤m的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值．我們稱數(shù)列{bn}為數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列．例如，數(shù)列1，3，5的伴隨數(shù)列為1，1，2，2，3．（1）若數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列為1，1，1，2，2，2，3，請寫出數(shù)列{an}；（2）設(shè)an=3n﹣1，求數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列{bn}的前100之和；（3）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n+c（其中c常數(shù)），試求數(shù)列{an}的伴隨數(shù)列{bn}前m項(xiàng)和Tm．參考答案：考點(diǎn)： 數(shù)列的求和；數(shù)列的應(yīng)用．專題： 點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．分析： （1）根據(jù)伴隨數(shù)列的定義求出數(shù)列{an}；（2）根據(jù)伴隨數(shù)列的定義得：，由對數(shù)的運(yùn)算對m分類討論求出伴隨數(shù)列{bn}的前100項(xiàng)以及它們的和；（3）由題意和an與Sn的關(guān)系式求出an，代入an≤m得，并求出伴隨數(shù)列{bm}的各項(xiàng)，再對m分類討論，分別求出伴隨數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Tm．解答： 解：（1）1，4，7．

…（6分）（2）由，得∴當(dāng)1≤m≤2，m∈N*時，b1=b2=1…（1分）當(dāng)3≤m≤8，m∈N*時，b3=b4=…=b8=2…（1分）當(dāng)9≤m≤26，m∈N*時，b9=b10=…=b26=3…（1分）當(dāng)27≤m≤80，m∈N*時，b27=b28=…=b80=4…（1分）當(dāng)81≤m≤100，m∈N*時，b81=b82=…=b100=5…（1分）∴b1+b2+…+b100=1×2+2×6+3×18+4×54+5×20=384…（1分）（3）∵a1=S1=1+c=1∴c=0…（1分）當(dāng)n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣2∴…（2分）由an=3n﹣2≤m得：因?yàn)槭沟胊n≤m成立的n的最大值為bm，所以

…（1分）當(dāng)m=3t﹣2（t∈N*）時：…（1分）當(dāng)m=3t﹣1（t∈N*）時：…（1分）當(dāng)m=3t（t∈N*）時：…（1分）所以（其中t∈N*）…（1分）點(diǎn)評： 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，著重考查對抽象概念的理解與綜合應(yīng)用的能力，觀察、分析尋找規(guī)律是難點(diǎn)，是難題．20.（本小題滿分12分）已知向量，，（其中），函數(shù)，若相鄰兩對稱軸間的距離為.(I)求的值，并求的最大值及相應(yīng)x的集合；(Ⅱ)在中，a、b、c分別是A、B、C所對的邊，的面積，b=4，，求邊a的長.參考答案：(I)

………………3分由題意可得，∴，∴

……………4分當(dāng)時，的最大值為2，此時x的集合是

……………6分（Ⅱ）

…8分.

…………10分由余弦定理得：a2=16+25－2×4×5cos=21

……………12分21.（12分）某校開展“翻轉(zhuǎn)合作學(xué)習(xí)法”教學(xué)實(shí)驗(yàn)，經(jīng)過一年的實(shí)踐后，對“翻轉(zhuǎn)班”和“對照班”的全部220名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況進(jìn)行測試，按照大于或等于120分為“成績優(yōu)秀”，120分以下為“成績一般”統(tǒng)計(jì)，得到如下的2×2列聯(lián)表．

成績優(yōu)秀成績一般合計(jì)對照班2090110翻轉(zhuǎn)班4070110合計(jì)60160220（Ⅰ）根據(jù)上面的列聯(lián)表判斷，能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“成績優(yōu)秀與翻轉(zhuǎn)合作學(xué)習(xí)法”有關(guān)；（Ⅱ）為了交流學(xué)習(xí)方法，從這次測試數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生中，用分層抽樣方法抽出6名學(xué)生，再從這6名學(xué)生中抽3名出來交流學(xué)習(xí)方法，求至少抽到一名“對照班”學(xué)生交流的概率．附：：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828參考答案：【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】（Ⅰ）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算K2，對照臨界值表得出結(jié)論；（Ⅱ）求出用分層抽樣方法抽出6人，對照班2人，翻轉(zhuǎn)班4人，用列舉法計(jì)算基本事件數(shù)，求出概率直．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算K2=≈9.167＜10.828，對照臨界值表知，不能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“成績優(yōu)秀與翻轉(zhuǎn)合作學(xué)習(xí)法”有關(guān)；（Ⅱ）這次測試數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生中，對照班有20人，翻轉(zhuǎn)班有40人，用分層抽樣方法抽出6人，對照班抽2人，記為A、B，翻轉(zhuǎn)班抽4人記為c、d、e、f；再從這6人中抽3人，基本事件是ABc、ABd、ABe、ABf、Acd、Ace、Acf、Ade、Adf、Aef、Bcd、Bce、Bcf、Bde、Bdf、Bef、cde、cdf、cef、def共20種不同取法；至少抽到一名“對照班”學(xué)生的基本事件是ABc、ABd、ABe、ABf、Acd、Ace、Acf、Ade、Adf、Aef、Bcd、Bce、Bcf、Bde、Bdf、Bef共16種，故所求的概率為P==．【點(diǎn)評】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與列舉法求概率的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題目．2