2020高考數(shù)學(xué)（理）大一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)和題型全歸納：第二章函數(shù)的概念和基本初等函數(shù)

第二章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)I

第一節(jié)函數(shù)及其表示

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1.函數(shù)與映射的概念

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域：

在函數(shù)y=/(x),xdA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值

相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合伏x)|xG4｝叫做函數(shù)的值域.

求函數(shù)定義域的策略

(1)確定函數(shù)的定義域常從解析式本身有意義，或從實(shí)際出發(fā).

(2)如果函數(shù)y=/(x)是用表格給出，則表格中x的集合即為定義域.

(3)如果函數(shù)y=/(x)是用圖象給出，則圖象在x軸上的投影所覆蓋的x的集合即為定義

域.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系.

(3)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是

判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).

兩函數(shù)值域與對(duì)應(yīng)關(guān)系相同時(shí)，兩函數(shù)不一定相同.

(4)函數(shù)的表示法：表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法.

3.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函

數(shù)通常叫做分段函數(shù).

關(guān)于分段函數(shù)的3個(gè)注意

(1)分段函數(shù)雖然由幾個(gè)部分構(gòu)成，但它表示同一個(gè)函數(shù).

(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

(3)各段函數(shù)的定義域不可以相交.

考點(diǎn)一函數(shù)的定義域

ln(1—x)I

［典例］(1)(2019?長(zhǎng)春質(zhì)檢)函數(shù)y=也不丁+f的定義域是()

A.［-l,0)U(0zl)B.［-1,0)0(0,1］

C.(-l,0)U(0,l］D.(-l,0)U(0,l)

(2)已知函數(shù)7U)的定義域?yàn)?-1,0),則函數(shù)式2x+l)的定義域?yàn)?)

A.(-1,1)B.(-1,一￡)

C.(-1,0)D.&1)

l-x>0,

［解析］(1)由題意得，x+1>0,解得一l<x<0或0a<1.

/W0,

所以原函數(shù)的定義域?yàn)?一1,0)U(0,1).

(2)令“=2x+l,由八X)的定義域?yàn)?-1,0),可知一1<”0,即一l<2x+l<0,

得_l<x<一；.

［答案］(1)D(2)B

［解題技法］

1.使函數(shù)解析式有意義的一般準(zhǔn)則

(1)分式中的分母不為0;

(2)偶次根式的被開方數(shù)非負(fù)；

(3)y=x。要求x￥0；

(4)對(duì)數(shù)式中的真數(shù)大于0,底數(shù)大于0且不等于1；

JT

(5)正切函數(shù)丫=1211》，xWE+/(&GZ)；

(6)實(shí)際問題中除考慮函數(shù)解析式有意義外，還應(yīng)考慮實(shí)際問題本身的要求.

2.抽象函數(shù)的定義域問題

(1)若已知函數(shù)段)的定義域?yàn)椋踑,b］,其復(fù)合函數(shù)共g(x))的定義域由不等式aWg(x)W6

求出；

(2)若已知函數(shù)y(g(x))的定義域?yàn)?。，b］,則火X)的定義域?yàn)間(x)在xG［。，b］上的值域.

[題組訓(xùn)練]

1.函數(shù)9)=而±^+44r2的定義域?yàn)?)

A.[-2,0)U(0,2]B.(-l,0)U(0,2]

C.[-2,2]D.(-1,2]

x+l>0,

解析：選B由<ln(x+l)#O,得一l<rW2,且x#0.

.4-fNO,

2.若函數(shù)y=_/(x)的定義域是[1,2019],則函數(shù)g(x)=等表的定義域是

解析：因?yàn)閥=/U)的定義域是口,2019］,

昨X+1W2019,

所以若g(x)有意義，應(yīng)滿足

反一1W0,

所以0WxW2018,且xWL

因此g(x)的定義域是{x|0WxW2018,且/Wl}.

答案：{x|0WxW2018,且x#l}

考點(diǎn)二求函數(shù)的解析式

［典例］(1)已知二次函數(shù)人2^+1)=4?—6x+5,求7U);

(2)已知函數(shù)人用滿足八-x)+">)=21求“r).

［解］(1)法一：待定系數(shù)法

因?yàn)镴［x)是二次函數(shù)，所以設(shè)J(x)=ax2+hx+c(aWO),則42x+1)=〃(2x+1>+b(2x+1)

+c=4加+(4a+2b)x+a+b+c.

因?yàn)?2x+l)=4?-6x+5,

Z〃=4,(a=1,

所以v4〃+2b=—6,解得<b=-5,

4+b+c=5,［c=9f

所以/U)=f—5x+9a￡R).

法二：換元法

.,t—1

令2x+l=/(f￡R),則犬=萬一,

所以加)=4(^)-6.一+5=/2—5f+9(yR),

所以Ar)=f—5x+9(xGR).

法三：配湊法

因?yàn)槿?%+1)=41—6尤+5=(2r+1產(chǎn)-10尤+4=(2x+1>—5(2r+1)+9,

所以1x)=『—5R+9(R￡R).

⑵解方程組法

由|-x)+"x)=2。①

得式x)+“(—x)=2-，，②

①X2—②，得〃>)=2計(jì)1-2r.

2工十1—2~x

即犬

2*+i—2~x

故X%)的解析式是火x)=-------(.rSR).

［解題技法］求函數(shù)解析式的4種方法及適用條件

(1)待定系數(shù)法

先設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式，再利用恒等式的性質(zhì)，或?qū)⒁阎獥l件代入，建立方程

(組)，通過解方程(組)求出相應(yīng)的待定系數(shù).

(2)換元法

對(duì)于形如y=#g(x))的函數(shù)解析式，令f=g(x),從中求出x=p(f),然后代入表達(dá)式求出

At),再將f換成x,得到兀0的解析式，要注意新元的取值范圍.

(3)配湊法

由己知條件|g(x))=F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x),便

得7U)的解析式.

(4)解方程組法

已知關(guān)于7U)與我或人一幻的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方

程組，通過解方程組求出九)

［提醒］由于函數(shù)的解析式相同，定義域不同，則為不相同的函數(shù)，因此求函數(shù)的解析

式時(shí)，如果定義域不是R,一定要注明函數(shù)的定義域.

［題組訓(xùn)練］

1」口訣第2句］已知")是二次函數(shù)，且#0)=0,y(x+1)=式x)+x+1,則兀0=

解析：設(shè)段)=爾+法+c(〃W0),

由10)=0,知c=0,久0=加+法.

又由?r+l)=/(x)+x+l,

得a{x+1)2+Z?(x+l)=a￥2+Z?x+x+1,

即ar+(26z+Z?)x+f/+/?=ar2+0+1)x+1,

[2a+b=h+li

所以彳,f解得a=b=j

2

[a+b=if

所以火幻=++%(x￡R).

答案：^X2+|X(XGR)

2.［口訣第3句］已知y0+1)=1g羽則7W=.

722

解析：令：+1=，，得元==7,則犬。=1尊二］又QO,所以>1,故yu)的解析式是yu)

2

=ig-7(^>0?

2

答案：ig^二7。>1)

3.［口訣第4句］已知危)滿足次c)+/(；)=3x,則於)=.

解析：?..4(X)+娟=3x,①

把①中的x換成士得痣)+/)=￡②

以?+./({)=3占

聯(lián)立①②可得J'

址)+%)=7

解此方程組可得y(x)=2x—%xW0).

答案：2x一：(x￥0)

考點(diǎn)三分段函數(shù)

考法(一)求函數(shù)值

logu?x>0,

［典例］(2019?石家莊模擬)已知於)=」，「八(0<〃<1),且八-2)=5，人-1)=3,

cr+b9xWO

則也—3))=()

A.—2B.2

C.3D.-3

［解析］由題意得，4-2)=。-2+匕=5,①

八-1)=〃一1+力=3,②

聯(lián)立①②，結(jié)合0<〃<1,得〃=2，b=l,

logu,x>0,

所以

@+l,xWO,

則八-3)=自-3+］=9,^-3))=X9)=log39=2.

［答案］B

［解題技法］求分段函數(shù)的函數(shù)值的策略

(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間，然后代入該區(qū)間

對(duì)應(yīng)的解析式求值；

(2)當(dāng)出現(xiàn)用(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值；

(3)當(dāng)自變量的值所在區(qū)間不確定時(shí);要分類討論，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)參照分段函數(shù)不同段的

端點(diǎn).

考法(二)求參數(shù)或自變量的值(或范圍)

2rxWO,

［典例］(2018?全國(guó)卷I)設(shè)函數(shù)*外='則滿足*x+l)</(2x)的x的取值范

.1,x>0,

圍是()

A.(—8,—1］B.(0,+00)

C.(-1,0)D.(一8,0)

［解析］法一：分類討論法

工+1W0,

①當(dāng)/即xW—l時(shí)，

2后0,

於+1)勺⑵:)，即為2-(*+|)<2-三

即一(x+l)<—2x,解得x<l.

因此不等式的解集為(-8,-J］.

［x+1<0,

②當(dāng)V時(shí)，不等式組無解.

［2x>0

x+1>0,

③當(dāng)4即一1cxW0時(shí)，

2x^0,

即為l<2-2v,解得x<0.

因此不等式的解集為(一1,0).

|x+1>0,

④當(dāng)J即x>0時(shí)，火x+l)=l,犬2x)=1,不合題意.

2x>0,

綜上，不等式於+1)勺⑵：)的解集為(一8,0).

法二：數(shù)形結(jié)合法

2~x,x<0,

1,x>0,

函數(shù)人x)的圖象如圖所示.

結(jié)合圖象知，要使火x+1)勺(2x),

x+1<0,

x+120,

則需<2x<0,或，

2x<0,

,2x<x+1

.?.x<0,故選D.

［答案］D

［解題技法］

已知函數(shù)值(或范圍)求自變量的值(或范圍)的方法

(1)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值(或范圍)是否符合相應(yīng)

段的自變量的取值范圍，最后將各段的結(jié)果合起來(求并集)即可；

(2)如果分段函數(shù)的圖象易得，也可以畫出函數(shù)圖象后結(jié)合圖象求解.

［題組訓(xùn)練］

f,Jx,0<x<l,/］、

1?設(shè)於尸2丘一1)若加)=/3+?則依=()

A.2B.4

C.6D.8

解析：選C當(dāng)OVaVl時(shí),a+l>l,j(a)=y［af%+1)=2(°+1—1)=2處

???#。)=加+1),，W=2a,

解得〃=(或〃=0(舍去).

?硝=做)=2*(4-1)=6.

當(dāng)心1時(shí),a+1當(dāng)2,火")=23—1),&+l)=2(a+Ll)=2a,

=A")=Aa+l),，2(a-l)=2a,無解.

綜上，0=6?

f2X1

2.已知函數(shù)段)=「［1則加：3))=________.

用-1),x>l,

解析：由題意，得人3)=穴2)=/(1)=21=2,

???AA3))=X2)=2.

答案：2

x+1,xWO,/］、

3.（2017?全國(guó)卷HI）設(shè)函數(shù)兀0=八則滿足兀0+八》一5>1的x的取值范

2,x>0,、U

圍是.

解析：由題意知，可對(duì)不等式分后0,044號(hào)討論.

①當(dāng)后0時(shí)，原不等式為x+l+x+；>l,解得X>一：,

故一：<xWO.

②當(dāng)時(shí)，原不等式為2》+x+；>l,顯然成立.

③當(dāng)?shù)睹鐣r(shí)，原不等式為2,+2元一51,顯然成立.

綜上可知，所求x的取值范圍是（一；，+8）

答案:（一；，+°°）

|f1）v-7,x<0,

4.設(shè)函數(shù)若加）<1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

［y［xfx20,

解析：若〃<0,則人解得。>一3,故一3<a<0;

若“20,則4解得“<1,故OWa<l.

綜上可得一3<a<l.

答案:（-3,1）

［課時(shí)跟蹤檢測(cè)］

1.下列所給圖象是函數(shù)圖象的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：選B①中當(dāng)x>0時(shí)，每一個(gè)x的值對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的y值，因此不是函數(shù)圖象;

②中當(dāng)x=%o時(shí)，y的值有兩個(gè)，因此不是函數(shù)圖象；③④中每一個(gè)工的值對(duì)應(yīng)唯一的y值,

因此是函數(shù)圖象.故選B.

2.函數(shù)於)=國(guó)2、-1+占的定義域?yàn)?)

A.[0,2)B.(2,+8)

C.[0,2)U(2,+8)D.(-8,2)U(2,+?>)

Wo,

解析：選C由題意得解得x20,且xr2.

[L2W0,

3.已知啟r-l)=2x-5,且汽。)=6,則°等于()

77

A--

4B.-4

44

C--

3D.-3

解析：選A令—1,則x=2f+2,貝。=2⑵+2)—5=41—1,

7

則4〃-1=6,解得

4.(2019?貴陽檢測(cè))下列函數(shù)中，同一個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同的是()

A.y=y]x-1B.y=lnx

1x+1

=

C.y-737—17D.y'x—71

解析：選D對(duì)于A,定義域?yàn)閇1,+8),值域?yàn)閇0,+8),不滿足題意；對(duì)于B,

定義域?yàn)?0,+8),值域?yàn)镽,不滿足題意；對(duì)于C,定義域?yàn)?-8,0)0(0,+8),值

x-1-12

域?yàn)?-8,—l)U(0,+°°),不滿足題意；對(duì)于D,丁=/7[=1+不77，定義域?yàn)?—8,

1)U(1,+8),值域也是(一8,1)0(1,+8).

log2x+。，x>0,

5.(2018?福建期末)已知函數(shù)於)=Lc.-八若加)=3,則加—2)=()

14X2—1,xWO.

A.—77B.3

lo

C.-II或3D.一卷或3

解析：選A當(dāng)。>0時(shí)，若人")=3,則log2a+a=3,解得。=2(滿足公>0);當(dāng)“W0時(shí),

若.穴。)=3,則4匚2—1=3,解得a=3,不滿足aWO,所以舍去.于是，可得。=2.故人。一

2)=<0)=4-2-]=一磊

6.已知函數(shù)y=/(2x—l)的定義域是[0口，則函數(shù)/=%的定義域是()

A.[1,2]B.(-1,1]

C.[T0D.(-1,0)

解析：選D由八2》一1)的定義域是[0,1],

得01,故一1W2x—1W1,

???/U)的定義域是LLU,

...要使函數(shù)產(chǎn)有意義，

10g2(x+l)

—1W2x+1<1,

需滿足<x+l>0,解得一la<0.

7.下列函數(shù)中，不滿足式2018x)=2018y(x)的是()

A.y(x)=|x|B.式x)=x—|x|

C.；(x)=x+2D../U)=-2x

解析:選C若-x)=|x|,則式2018x)=|2018x|=2018|x|=201陰：x);若危)=彳一國(guó),則

人2018x)=2018x-|2018x|=2018(x—⑼=2018/U);若加:)=x+2,則42018x)=2018x+2,

而201陜0=2018A+2018X2,故兀0=x+2不滿足42018x)=2018/U):若兀0=—2招

則/(2018x)=-2X2018x=2018X(-2x)=201&U).故選C.

8.己知具有性質(zhì)：一大x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下列函數(shù):

(x,0<x<1,

①/㈤=X-J；②/(x)=x+：;③/㈤=<3xf

人人I

—；，X>1.

其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是()

A.①②B.①③

C.②③D.①

解析：選B對(duì)于①，?r)=x-！，0=/—x=—/U),滿足題意；對(duì)于②，6)=：+x

即娟=jo,尸1,

=Ax),不滿足題意；對(duì)于③,/(：)=<0,5=1,故我=

[一斯0<x<1,

-Ax),滿足題意.

綜上可知，滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是①@.

9.(2019?青島模擬)函數(shù)>=111(1+9+，1三？的定義域?yàn)?/p>

卜<—1或x>0,

解析:由"2胃一1?1noaWi.

1一/20

所以該函數(shù)的定義域?yàn)?01].

答案：。1]

flg(l—x),x<0,

10.(2019?益陽、湘潭調(diào)研)若函數(shù)?x)=，廣則歡一9))=_______.

1―2山，x20,

，g(1—x)JV<0,

解析：?.?函數(shù)兀v)={廠f，、八，.-./(-9)=lg10=1,：.flj(-9))=A\)=-2.

[―2qx,x30,

答案：一2

2",x>0,

:,二人若逃")+/(1)=0,則實(shí)數(shù)4的值等

{x?1fxWO,

于.

解析：：川)=2,且貝1)+加)=0,.?.&)=_2<0,故aWO.

依題知a+l=—2,解得a=-3.

答案：一3

12.已知人x)=JZ''使人龍)》一1成立的x的取值范圍是.

(x—I)2,x>0,

x〈0,

解析：由題意知h,、x>0,

或

]x+12—1—(x—1)2>—1,

解得一4WxW0或0VxW2,

故所求x的取值范圍是[—42].

答案：[-4,2]

[ax~\~b,x<0,

13.設(shè)函數(shù)yu)=??八且八-2)=3,X-1)=AD.

[2、GO,

⑴求函數(shù)兀r)的解析式；

(2)在如圖所示的直角坐標(biāo)系中畫出;U)的圖象.

?r

i?{—f-5

+-卜++4

■；■■■}—r"f"3

?>--!--r-wr"2

IIII

()234x

―2。+〃=3,

解:(1)由式―2)=3,八-1)=川),得，

-〃+Z?=2,

解得[；_]1'所以兀0=—x+1,x<0,

2。x?0.

(2)函數(shù)貝大)的圖象如圖所示.

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1.增函數(shù)、減函數(shù)

定義：設(shè)函數(shù)/U)的定義域?yàn)?：

(1)增函數(shù)：如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任意兩個(gè)自變量的值M，X2,當(dāng)

時(shí)，都有共為)勺(X2)，那么就說函數(shù)式X)在區(qū)間。上是增函數(shù).

(2)減函數(shù)：如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任意兩個(gè)自變量的值X”X2,當(dāng)?shù)蚜?

時(shí)，都有八川次X2)，那么就說函數(shù)負(fù)X)在區(qū)間。上是減函數(shù).

增(減)函數(shù)定義中的制，X2的三個(gè)特征

一是任意性；二是有大小，即X1〈V2(X1>X2)；三是同屬于一個(gè)單調(diào)區(qū)間，三者缺一不可.

2.單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間

若函數(shù)y=/U)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y=/U)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)

單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

有關(guān)單調(diào)區(qū)間的兩個(gè)防范

(1)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式表示.

(2)有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用符號(hào)“U”連接，也不能用“或”連接，只能用

“逗號(hào)”或“和”連接.

3.函數(shù)的最值

設(shè)函數(shù)>=/&)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

(1)對(duì)于任意的xC/,都有火x)忘例或火

(2)存在xod/,使得.大松)=".

那么，我們稱M是函數(shù)y=/(x)的最大值或最小值.

函數(shù)最值存在的兩條結(jié)論

(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)最值一定

在端點(diǎn)取到.

(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值.

二、常用結(jié)論

在公共定義域內(nèi)：

(1)函數(shù)式x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞增，則共x)+g(x)是增函數(shù);

(2)函數(shù)y(x)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞減，則大x)+g(x)是減函數(shù)；

(3)函數(shù)y(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞減，則;(x)—g(x)是增函數(shù)；

(4)函數(shù)兀r)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞增，則火x)—g(x)是減函數(shù)；

⑸若Q0,則軟x)與段)單調(diào)性相同；若A<0,則依x)與段)單調(diào)性相反;

(6)函數(shù)y=Ax)(/(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y=-/(x),、=六的單調(diào)性相反;

(7)復(fù)合函數(shù)y=/^(x)］的單調(diào)性與y=/(〃)和〃=g(x)的單調(diào)性有關(guān).簡(jiǎn)記：''同增異減”.

考點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間))

［典例］(1)求函數(shù)"r)=-x2+2|x|+l的單調(diào)區(qū)間.

⑵試討論函數(shù)危尸意3/。)在(7』)上的單調(diào)性.

—X2+2X+1,x20,

［解］⑴易知兀0=

—x2—2x+l,x<0

J-(X-1)2+2,X20,

j—(X+1)2+2,X<0.

畫出函數(shù)圖象如圖所示，可知單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,—1］和［0,1］,

單調(diào)遞減區(qū)間為和［1,+8).

⑵法一：定義法

設(shè)一,

於)="(W卜小+占)，

則AX>)-^2)=?0+七)一(+六F)

4(X2-X。

一(制一1)(初一1)，

由于一,

所以X2-*Xl>0,X1-1<0,%2—1<0,

故當(dāng)a>0時(shí)，1Ax1)一/2)>0,即危1)次X2),

函數(shù)y(x)在(一1,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)。<0時(shí)，犬X1)—/(及)<0,即/(X|)勺(及)，

函數(shù)/(X)在(一1,1)上單調(diào)遞增.

法二：導(dǎo)數(shù)法

,、(ax)'(x-l)-ax(x-i)'

f(X尸(x-

a(x-\)-axa

=(XT)2=~(X-1)2-

當(dāng)a>0時(shí)，fU)<0,函數(shù)1x)在(一1,1)上單調(diào)遞減;

當(dāng)。<0時(shí)，f'(x)>0,函數(shù)於)在(一1,1)上單調(diào)遞增.

［解題技法］判斷函數(shù)單調(diào)性和求單調(diào)區(qū)間的方法

(1)定義法：一般步驟為設(shè)元一作差一變形一判斷符號(hào)一得出結(jié)論.

(2)圖象法：如果/U)是以圖象形式給出的，或者7U)的圖象易作出，則可由圖象的上升

或下降確定單調(diào)性.

(3)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性及區(qū)間.

(4)性質(zhì)法：對(duì)于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)各初等函數(shù)的增減性及復(fù)

合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)進(jìn)行判斷；復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，可用同增異減來確定.

［題組訓(xùn)練］

1.下列函數(shù)中，滿足“\/即，》2@(0,+8)且X|#X2,—f(X2)］<0”的是()

A.危)=2*B.於)=|X一1|

c.J(x)=^-XD.ZU)=ln(x+l)

解析：選C由(Xi—X2>/(xi)—f(X2)］<0可知，兀V)在(0,+8)上是減函數(shù)，A、D選項(xiàng)

中，7U)為增函數(shù)；B中，於)=僅一1|在(0,+8)上不單調(diào)；對(duì)于兀)［：)=(一X,因?yàn)閥=:與y

=-X在(0,+8)上單調(diào)遞減，因此,/(X)在(0,+8)上是減函數(shù).

2.函數(shù)大笛=102(/一4)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(0,+°°)B.(—8,0)

C.(2,+8)D.(-8,-2)

解析：選D令f=/—4,則y=log|f.因?yàn)?，=10成/在定義域上是減函數(shù)，所以求原函

數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t=jc-4的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)

間為(一8,—2).

3.判斷函數(shù)y(x)=x+*tf>0)在(0,+8)上的單調(diào)性.

解：設(shè)X］,X2是任意兩個(gè)正數(shù)，且》142,

則貝方)_/2)=(兌+3-(》2+9=毛潦(為及一。).

當(dāng)0<￥142與6時(shí)，0<JC]X2<〃，X]—X2<0,

所以I/Ui）-/（x2）>o,即y（xi）次及），

所以函數(shù),/（x）在（0,y［（i］上是減函數(shù)；

當(dāng)，"Wxi〈X2時(shí)，XlX2>a,X1-%2<0,

所以段1）一/2）<0,即人為）勺8），

所以函數(shù)?r）在［、口，+8）上是增函數(shù).

綜上可知，函數(shù)y（x）=x+f（a>0）在（0,y［a］上是減函數(shù)，在［g,+8）上是增函數(shù).

考點(diǎn)二求函數(shù)的值域（最值））

［典例］（1）（2019?深圳調(diào)研）函數(shù)y=|x+l|+|x-2|的值域?yàn)?

⑵若函數(shù)外）=一芯+/〃>0）在假2上的值域?yàn)?，2，則“=,b=.

⑶函數(shù)式功=;二''的最大值為________.

sinx,x>0

［解析］⑴圖象法

―2x+l,-1,

函數(shù)丁=<3,—l<r<2,

2x—1,x22.

作出函數(shù)的圖象如圖所示.

根據(jù)圖象可知，函數(shù)了=卜+1|+僅一2|的值域?yàn)椋?,+8）.

⑵單調(diào)性法

?.?於）=一"+伏。>0）在5，2上是增函數(shù)，

.\Ax)min=_/g)=4,犬X)max=/(2)=2.

\—2a+b—^,

即《解得a=l,b=￡.

[—介b=2,

（3）當(dāng)xWO時(shí)，火x）=-f—4X=-（X+2A+4,而一2G（—8,0］,此時(shí)代外在》=一2處

取得最大值，且穴-2）=4:當(dāng)x>0時(shí)，_/（x）=sinx,此時(shí)/（x）在區(qū)間（0,+8）上的最大值為

1.綜上所述，函數(shù)式x）的最大值為4.

5

-

[答案](1)[3,+8)(2)12)4

［提醒］（1）求函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域.

（2）求分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先求出每一段上的最值，再選取其中最大的作為分段函數(shù)

的最大值，最小的作為分段函數(shù)的最小值.

[題組訓(xùn)練]

1.函數(shù)1"=一的值域?yàn)?

4

解析：當(dāng)x>0時(shí)，y（x）=x+->4,

當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)；

當(dāng)x<0時(shí)，一犬+（一?），4,

4

即式x）=x+^W—4,

當(dāng)且僅當(dāng)犬=-2取等號(hào)，

所以函數(shù)y（x）的值域?yàn)椋ㄒ?,—4]U[4,+°°）.

答案：（-8,-4]U[4,+8）

2.若聿，爭(zhēng)],則函數(shù)y=4sin2%—12sinx-1的最大值為,最小值為

解析：令尸sinx,因?yàn)橛茫?/p>

■11

所以fG—2，1,y=/⑺=4產(chǎn)-12r—1,

因?yàn)樵摱魏瘮?shù)的圖象開口向上，且對(duì)稱軸為z=1,所以當(dāng)ZG一；，”時(shí)，函數(shù)人。

單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，ymax=6；

當(dāng)f=l時(shí)，ymin=-9.

答案：6-9

f+2x+ci

3.已知人工）=~——，xe[l,+oo）,且〃<1.若對(duì)任意x￡[l,+8）,1x）>o恒成立,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：對(duì)任意x￡[l,+8）,次戲>0恒成立等價(jià)于f+2x+a>0在x￡[l,+8）上恒成

立，即。>—x2-2x在工￡[1,+8）上恒成立.

又函數(shù)y=-X2—2%在[1,+8）上單調(diào)遞減，

，（―X2—2x）max=-3,故a>—3,

又?.ZWl,

答案：（一3,1］

考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

考法（一）比較函數(shù)值的大小

［典例］設(shè)偶函數(shù)./U）的定義域?yàn)镽，當(dāng)xd［O,+8）時(shí)，式x）是增函數(shù)，則八-2）,犬兀）,

.八一3）的大小關(guān)系是（）

A.4兀）4一3）/—2）

B.大兀）次—2）/-3）

C.犬兀）勺（一3）勺（一2）

D.大兀）勺（_2）勺（一3）

［解析］因?yàn)閨x）是偶函數(shù)，所以八-3）=負(fù)3）,—2）=貝2）.

又因?yàn)楹瘮?shù)式工）在［0,+8）上是增函數(shù).

所以犬火）43）/2）,即火兀）刁（一3）4一2）.

［答案］A

［解題技法］比較函數(shù)值大小的解題思路

比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化

到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行比較，對(duì)于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解.

考法（二）解函數(shù)不等式

2'x＜2,

''若1a+1）》2a—1），則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

{xr，xl*2.

A.（-8,1］B.（-8,2］

C.［2,6］D.［2,+8）

［解析］易知函數(shù)＜x）在定義域（-8,+8）上是增函數(shù)，電2°—1）,

：.a+\^2a~\,解得aW2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（一8,2J.

［答案］B

［解題技法］求解含了'的函數(shù)不等式的解題思路

先利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為4g（x））次力（x））的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉

T，得到一般的不等式g（x）＞〃（x）（或g（x）＜〃（x））.

考法（三）利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍（或值）?

［典例］（2019?南京調(diào)研）已知函數(shù)兀V）=L：+?在（1,+8）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃的

取值范圍是.

［解析］設(shè)1<X1<X2,

???函數(shù)?r)在(1,+8)上是增函數(shù)，

.?孫尸危2)=制一彳+>(初一言+()

=3f)(l+旨<0.

"."xi—%2<0,1+-^->0,BPa>~xtX2.

X］X2

1<X|<X2.X1%2>1,-XlX2<-1,?-d^—X.

二.a的取值范圍是［-1,+8).

［答案］［-1,+8)

［解題技法］

利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的方法

(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單

調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；

(2)需注意若函數(shù)在區(qū)間［a,b］上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.

［題組訓(xùn)練］

1.己知函數(shù)火X)的圖象向左平移1個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)尤2>X|>1時(shí)，［f(X2)-f(Xl)］?(X2

—?)<o恒成立，設(shè)。=(一；),b=fl,2),c=/3),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>a>c

解析：選D由于函數(shù)4x)的圖象向左平移1個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于)，軸對(duì)稱，故函

數(shù)y=/U)的圖象關(guān)于直線X=1對(duì)稱，所以.當(dāng)X2>X|>1時(shí)，［f(X2)—f(Xl)］(X2—

X|)<O恒成立，等價(jià)于函數(shù)y(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以b>a>c.

小一X」XV1

2.已知函數(shù)人x)=J4，是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

Jog<Ar-1,x>\

()

-

11

--

A.4-4

1

o-

2

解析：選B由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可得a>0,且aWl.

又函數(shù)次用在R上單調(diào)，而二次函數(shù))，=加一》一：的圖象開口向上,

所以函數(shù)4。在R上單調(diào)遞減，

ro<a<l,

故有〈五》L即<0<a^y

2

aXl—1—|>log(,l—I,a*.

,rin

所以aG不2.

［課時(shí)跟蹤檢測(cè)］

A級(jí)

1.下列四個(gè)函數(shù)中，在xe(0,+8)上為增函數(shù)的是()

A.y(x)=3—xB.j(x)—x2—3x

C.兀0=一巖D..Ax)=-|x|

解析：選C當(dāng)x>0時(shí)，段)=3—x為減函數(shù)；當(dāng)xG(O,習(xí)時(shí)，/U)=/-3x為減函數(shù)，

當(dāng)xcg,+8)時(shí)，式x)=f—3x為增函數(shù)；當(dāng)xG(O,+8)時(shí)，於)=一［^?為增函數(shù)；當(dāng)

xW(O,+8)時(shí)，?r)=一|尤|為減函數(shù).

2.若函數(shù)人》)=如+1在R上單調(diào)遞減，則函數(shù)g(x)=a(x2—4x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是

()

A.(2,+°°)B.(-8,2)

C.(4,+8)D.(一8,4)

解析：選B因?yàn)槿畑)=ox+l在R上單調(diào)遞減，所以“<0.

而g(x)=a(x2—4x+3)=a(x—2)2—a.

因?yàn)閍<0,所以g(x)在(一8,2)上單調(diào)遞增.

3.已知函數(shù)兀v)是定義在區(qū)間［0,+8)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足#2%

的x的取值范圍是()

A0DB?

I)

解析：選D因?yàn)楹瘮?shù)./(x)是定義在區(qū)間[0,+8)上的增函數(shù)，滿足八2X-1)<./(3)

112

所以0W2x—1解得爹

4.(2019?荷澤模擬)定義新運(yùn)算金：當(dāng)〃時(shí)，a?h=a；當(dāng)時(shí)，a^h=b2,則函

數(shù)7(x)=(l十x)x—(2十X)，JCG[—2,2]的最大值等于()

A.-1B.1

C.6D.12

解析：選C由題意知當(dāng)一2WxWl時(shí)，兀t)=x-2,當(dāng)1<%W2時(shí)，兀v)=V-2,又於)

=x—2,./(為二^3—2在相應(yīng)的定義域內(nèi)都為增函數(shù)，且11)=-1,42)=6,二兀0的最大值

為6.

5.已知函數(shù)7U)是R上的增函數(shù)，4。，-3),8(3,1)是其圖象上的兩點(diǎn)，那么不等式

-3</(x+l)<l的解集的補(bǔ)集是(全集為R)()

A.(-1,2)B.(1,4)

C.(-8,-1)U[4,+8)D.(-8,-1]U[2,+8)

解析：選D由函數(shù)式x)是R上的增函數(shù)，4(0,-3),8(3,1)是其圖象上的兩點(diǎn)，知不

等式一3<yu+i)<i即為犬o)<yu+i)<y(3),所以ovx+i<3,所以一1cx<2,故不等式

-3〈加+1)<1的解集的補(bǔ)集是(-8,-1JU[2,+8).

—%2—ax—5,xWl,

6.已知函數(shù)兀v)=，a是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

；，x>l

)

A.[-3,0)B.(—8,-2]

C.[-3,-2]D.(一8,0)

一注1,

解析：選c若y(x)是R上的增函數(shù)，則應(yīng)滿足'4Vo,解得一

-12rxi-5常,

-2.

7.已知函數(shù)2x—3,則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

解析：設(shè)2%—3,由f20,即x2—2x—320,解得xW—1或x23,所以函數(shù)/(x)

的定義域?yàn)?一8,—1JU[3,+°°).因?yàn)楹瘮?shù)t=/2—2%—3的圖象的對(duì)稱軸為x=l,所以

函數(shù)t=x2—2x—3在(-8,—1]上單調(diào)遞減，在[3,+8)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y(x)的單

調(diào)遞增區(qū)間為[3,+oo).

答案：[3,+°°)

一，Q1,

8.函數(shù)段)=x的最大值為________.

〔一f+2,x<l

解析：當(dāng)時(shí)，函數(shù)>(