2022湖南省衡陽市船山附屬中學高二數學理期末試題含解析

2022湖南省衡陽市船山附屬中學高二數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設函數在R上可導，導函數為圖像如圖所示，則(

)A.有極大值，極小值 B.有極大值，極小值C.有極大值，極小值 D.有極大值，極小值參考答案：C【分析】通過圖象判斷導函數的正負情況對應的的范圍，利用導數符號與單調性的關系及函數極值的定義可得結論.【詳解】當時，，當時，，由圖可知：當時，，，函數是減函數，當時，，，函數是增函數，當時，，，函數是增函數，當時，，，函數是減函數，并且有當或時，有，所以是函數的極小值點，2是函數的極大值點，所以有極大值，極小值，故選C.【點睛】該題考查的是有關根據圖象判斷函數的極大值與極小值的問題，涉及到的知識點有函數的極值與導數的關系，屬于簡單題目.2.已知i是虛數單位，則復數在復平面內對應的點位于]A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：A，所以位于第一象限。故選A。

3.右圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（

）A.6

B.8

C.16

D.24參考答案：D4.已知等比數列{an}滿足：a2=2，a5=，則公比q為(

)A．﹣ B． C．﹣2 D．2參考答案：B考點：等比數列的通項公式．專題：等差數列與等比數列．分析：利用等比數列通項公式求解．解答：解：∵等比數列{an}滿足：a2=2，a5=，∴2q3=，解得q=．故選：B．點評：本題考查等比數列的公比的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等比數列的通項公式的求法5.已知圓C與直線及都相切，圓心在直線上，則圓C的方程為（

）A.

B.C.

D.參考答案：B略6.設全集，集合，，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A7.已知函數，則是（

）A.奇函數，且在R上是增函數 B.偶函數，且在(0,+∞)上是增函數C.奇函數，且在R上是減函數 D.偶函數，且在(0,+∞)上是減函數參考答案：C【分析】先判斷定義域是否關于原點對稱，進而利用可得函數為奇函數，再由指數函數的單調性可判斷函數的單調性.【詳解】定義域為R，關于原點對稱，，有，所以是奇函數，函數，顯然是減函數.故選C.【點睛】本題主要考查了函數的奇偶性和單調性的判斷，屬于基礎題.8.設分別為的三邊的中點，則（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A9.已知方程，它們所表示的曲線可能是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B10.某單位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，為了調查他們的身體狀況的某項指標，需從他們中間抽取一個容量為42的樣本，則老年人、中年人、青年人分別應抽取的人數是（）A．7，11，18 B．6、12、18 C．6、13、17 D．7、14、21參考答案：D【考點】分層抽樣方法．【專題】計算題；方程思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】由題意，要計算各層中所抽取的人數，根據分層抽樣的規(guī)則，求出各層應抽取的人數即可選出正確選項．【解答】解：由題意，老年人、中年人、青年人比例為1：2：3．由分層抽樣的規(guī)則知，老年人應抽取的人數為×42=7人，中年人應抽取的人數為×42=14人，青年人應抽取的人數為×42=21人．故選：D．【點評】本題考查分層抽樣，解題的關鍵是理解分層抽樣，根據其總體中各層人數所占的比例與樣本中各層人數所占比例一致建立方程求出各層應抽取的人數，本題是基本概念考查題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在正方體中，P為對角線的三等分點，P到各頂點的距離的不同取值有_____________（個）.參考答案：412.設，，則虛數的實部為．參考答案：0略13.已知曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ，則曲線C上的點到直線（t為參數）的距離的最小值為．參考答案：﹣1

【考點】簡單曲線的極坐標方程；參數方程化成普通方程．【分析】曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐標方程：x2+y2=2x．配方可得圓心C，r．由曲線C上的點到直線（t為參數），消去參數t可得普通方程：2x﹣y+2=0，利用點到直線的距離可得圓心C到直線的距離d．即可得出曲線C上的點到直線（t為參數）的距離的最小值為d﹣r．【解答】解：曲線C的極坐標方程為ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，可得直角坐標方程：x2+y2=2x．配方為（x﹣1）2+y2=1．可得圓心C（1，0），r=1．由曲線C上的點到直線（t為參數），消去參數t可得普通方程：2x﹣y+2=0，∴圓心C到直線的距離d==．∴曲線C上的點到直線（t為參數）的距離的最小值為﹣1．故答案為：﹣1．14.15．設非負等差數列的公差，記為數列的前n項和，證明：

1）若，且，則；

2）若則。參考答案：解析：設非負等差數列的首項為，公差為。（1）因為，所以，，。從而有。因為，所以有

于是。（2）又因為，所以有15.若行列式中第一行第二列元素的代數余子式的值為4，則a=

．參考答案：2【考點】二階行列式的定義．【分析】本題直接根據行列式的代數余子式的定義進行計算，即可得到本題結論．【解答】解：∵行列式中第一行第二列元素的代數余子式的值為4，∴﹣=4，∴﹣（a﹣3a）=4，∴a=2．故答案為：2．16.將八進制數化為十進制的數是

；再化為三進制的數

．參考答案：454；121211，根據除k取余法可得下面的算式：余數為1；余數為1；余數為2；余數為1；余數為2；余數為1.所以。答案：，

17.若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等比數列，則此橢圓的離心率為．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【分析】設出橢圓的焦距、短軸長、長軸長分別為2c，2b，2a，通過橢圓的短軸長是長軸長與焦距的等比中項，建立關于a，b，c的等式，求出橢圓的離心率即可．【解答】解：設出橢圓的焦距、短軸長、長軸長分別為2c，2b，2a，∵橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等比數列，∴4b2=2a?2c，∴b2=a?c∴b2=a2﹣c2=a?c，由e=，兩邊同除以a2得：e2+e﹣1=0，解得：e=，由0＜e＜1，∴e=．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1⊥BB1，AC=BC=BB1，E為A1B1的中點，且C1E⊥BB1．（1）求證：A1C∥平面BEC1；（2）求A1C與平面ABB1A所成角的大?。畢⒖即鸢福骸究键c】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定．【分析】（1）連結B1C，交BC1于F，連結EF，推導出EF∥A1C，由此能證明A1C∥平面BEC1．（2）取AB中點D，連結DE，DA1，DC，推導出C1E∥CD，CD⊥平面ABB1A1，∠CA1D是A1C與平面ABB1A所成角，由此能求出A1C與平面ABB1A所成角的大小．【解答】（本小題12分）證明：（1）連結B1C，交BC1于F，連結EF，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1C1C是平行四邊形，∴F為B1C中點，∵E為A1B1的中點，∴EF∥A1C，∵EF?平面BEC1，A1C?平面BEC1，∴A1C∥平面BEC1．…解：（2）取AB中點D，連結DE，DA1，DC，∵E為A1B1中點，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1中，DE∥CC1，∴四邊形C1EDC是平行四邊形，∴C1E∥CD，∵C1E⊥A1B1，C1E⊥BB1，∴C1E⊥平面ABB1A1，∴CD⊥平面ABB1A1，∴∠CA1D是A1C與平面ABB1A所成角，∵CD=AC，A1C=，∴sin∠CA1D==，∴．∴A1C與平面ABB1A所成角的大小為．【點評】本題考查線面平行的證明，考查線面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．19.在四棱錐P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB與平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD.(1)求證：平面PCD⊥平面PAC；(2)設E是棱PD上一點，且PE＝PD，求異面直線AE與PB所成角的余弦值．參考答案：[解析]因為AB,AD,AP兩兩垂直，建立空間直角坐標系A－xyz.

……1分∵PA⊥平面ABCD，PB與平面ABC成60°，∴∠PBA＝60°.取AB＝1，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0，)，D(0,2,0)．……3分(1)∵＝(1,1,0)，＝(0,0，)，＝(－1,1,0)，∴·＝－1＋1＋0＝0，·＝0.∴AC⊥CD，AP⊥CD，

∴CD⊥平面PAC.CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC.

……6分(2)∵＝，∴E(0，，)，∴＝(0，，)．又＝(1,0，－)，∴·＝－2.∴cos〈·〉＝＝＝－.∴異面直線AE與PB所成角的余弦值.

……12分

略20.（本小題滿分10分）已知橢圓的焦點為，且過點．(Ⅰ