江蘇省蘇州市鐵路中學2021年高三數(shù)學理期末試卷含解析

江蘇省蘇州市鐵路中學2021年高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于兩點,它們到直線的距離之和等于5,則這樣的直線

A．有且僅有一條

B．有且僅有兩條

C．有無窮多條

D．不存在參考答案：本題答案應(yīng)為D(試題提供的答案是B)拋物線的焦點坐標為，準線方程為。若直線AB的斜率不存在，則橫坐標之和等于6，不適合．故設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB為，代入拋物線y2=4x得，，所以。因為A,B到直線的距離之和等于5,即，即，所以，解得，顯然不成立，所以不存在這樣的直線，選D.2.復數(shù)的虛部為(

)A.－2i

B.－2

C.2

D.1

參考答案：B略3.在（x﹣）5的展開式中x3的系數(shù)等于﹣5，則該展開式項的系數(shù)中最大值為（）A．5 B．10 C．15 D．20參考答案：B【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】在（x﹣）5的展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于3，求得r的值，可得x3的系數(shù)．再根據(jù)x3的系數(shù)等于﹣5，求得r的值，可得該展開式項的系數(shù)中最大值．【解答】解：由于（x﹣）5的展開式的通項公式為Tr+1=?（﹣a）r?x5﹣2r，令5﹣2r=3，求得r=1，故x3的系數(shù)等于=﹣5，a=1．則該展開式項的系數(shù)中最大值為=10，故選：B．4.點A，B，C，D在同一球面上，，若四面體ABCD體積最大值為3，則這個球的表面積為A.2π

B.4π

C.8π

D.16π參考答案：D由體積最大得高為3，得5.對于函數(shù)，若存在區(qū)間，使得,則稱函數(shù)為“可等域函數(shù)”，區(qū)間為函數(shù)的一個“可等域區(qū)間”.給出下列4個函數(shù)：①；②；③；④.其中存在唯一“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”為（

）①②③

②③

①③

②③④參考答案：B6.某中學生在制作紙模過程中需要、兩種規(guī)格的卡紙，現(xiàn)有甲、乙兩種大小不同的卡紙可供選擇，每張卡紙可同時截得兩種規(guī)格的小卡紙的塊數(shù)如下表，今需、兩種規(guī)格的小卡紙分別為4、7塊，所需甲、乙兩種大小的卡紙的張數(shù)分別為、（、為整數(shù)），則的最小值為

（

）A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：B略7.為了解一片速生林的生長情況，隨機測量了其中100株樹木的底部周長（單位：cm）．根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖（如圖1），那么在這100株樹木中，底部周長小于110cm的株數(shù)是（

）．

A．30

B．60C．70

D．80參考答案：C8.已知F1,F2是雙曲線的兩焦點，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是()A.

B.

C.

D.參考答案：D9.A.所有實數(shù)的平方都不是正數(shù)

B.有的實數(shù)的平方是正數(shù)C.至少有一個實數(shù)的平方是正數(shù)

D.至少有一個實數(shù)的平方不是正數(shù)參考答案：D略10.閱讀右面的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出i的值為(

)

A．3

B．4

C．5

D．6參考答案：B第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)，；第三次循環(huán)，；第四次循環(huán)，，此時滿足條件，輸出，選B.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的最小值是__.參考答案：可行域如圖，顯然當直線過M(-2,1)時，.12.若直線與圓相交于兩點，若

的平分線過線段的中點，則實數(shù)參考答案：13.在等比數(shù)列中，若，則

。參考答案：略14.拋物線處的切線與拋物線以及軸所圍成的曲邊圖形的面積為參考答案：【知識點】定積分在求面積中的應(yīng)用；拋物線的簡單性質(zhì)．B13H7

解析：拋物線處的切線的斜率為2x|x=2=4，所以切線為y﹣4=4（x﹣2），即y=4x﹣4，此直線與軸的交點為（1，0），所以拋物線處的切線與拋物線以及軸所圍成的曲邊圖形的面積為；故答案為：．【思路點撥】首先求出拋物線在x=2處的切線方程，然后再利用導數(shù)的幾何意義的運用以及利用定積分求曲邊梯形的面積即可。15.（不等式選講）不等式的解集是

.參考答案：16.集合，，則_________．參考答案：.,所以.17.若是偶函數(shù)，則的遞增區(qū)間為_____________參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在中，角所對的邊分別為，且，（1）求的值；

（2）若，求的最大值。參考答案：解：(1)因為,所以原式==

==(2)由余弦定理得:

所以所以當且僅當時取得最大值.19.在梯形中，，，，，如圖把沿翻折，使得平面平面.（Ⅰ）求證:平面；（Ⅱ）若點為線段中點,求點到平面的距離．參考答案：（Ⅰ）證明:因為,，,,所以,,,所以.因為平面平面,平面平面,所以平面．…………6分(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知.以點為原點，所在的直線為軸,所在直線為軸，如圖建立空間直角坐標系.則,,,,．所以,,．設(shè)平面的法向量為,則且,所以令,得平面的一個法向量為所以點到平面的距離為．………………12分20.北京、張家港2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會，某公司為了競標配套活動的相關(guān)代言，決定對旗下的某商品進行一次評估．該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．（1）據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？（2）為了抓住申奧契機，擴大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定立即對該商品進行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元．公司擬投入萬作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用．試問：當該商品改革后的銷售量a至少應(yīng)達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價．參考答案：【考點】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型．【分析】（1）設(shè)每件定價為x元，可得提高價格后的銷售量，根據(jù)銷售的總收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定價；（2）依題意，x＞25時，不等式ax≥25×8+50+（x2﹣600）+x有解，等價于x＞25時，a≥+x+有解，利用基本不等式，我們可以求得結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)每件定價為t元，依題意得（8﹣）x≥25×8，整理得t2﹣65t+1000≤0，解得25≤t≤40．所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元．（2）依題意知當x＞25時，不等式ax≥25×8+50+（x2﹣600）+x有解，等價于x＞25時，a≥+x+有解．由于+x≥2=10，當且僅當=，即x=30時等號成立，所以a≥10.2．當該商品改革后的銷售量a至少達到10.2萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元．21.(本小題滿分10分)選修4—1：幾何證明選講

如圖，直線為圓的切線，切點為，直徑，連接交于點.（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求證：． 參考答案：證明：(1)∵直線PA為圓O的切線,切點為A∴∠PAB=∠ACB…………2分∵BC為圓O的直徑，∴∠BAC=90°∴∠ACB=90°-B∵OB⊥OP,∴∠BDO=90°-B……………4分又∠BDO=∠PDA,∴∠PAD=∠PDA=90°-B∴PA=PD…………………5分(2)連接OA,由(1)得∠PAD=∠PDA=∠ACO∵∠OAC=∠ACO∴ΔPAD∽ΔOCA………8分∴=

∴PA×AC=AD×OC………10分略22.（本小題滿分13分）已知數(shù)列的前項和為，對任意的，點都在直線的圖像上．（1）求的通項公式；（2）是否存在等差數(shù)列，使得對一切都成立？若存在，求出的通項公式；若不存在，說明理由．參考答案：解：（I）由題意得

…2分當時，得當時由

（1）得高考資源網(wǎng)w。w-w*k&s%5￥u

（2）（1）-（2）得即

…4分因為所以，所以是以2為首項，2為公比的