基于新知識背景的2022高考數(shù)學試題研析

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課標課程背景下，數(shù)學教學日益提防思維才能的培養(yǎng)和思想方法的滲透.為了測驗學生數(shù)學才能以及學習潛能，高考數(shù)學試題越來越提防以“新學識”為背景來命制試題.2022年的高考試題中不乏基于“新學識”為背景的試題.這類試題通過創(chuàng)設別致的學識情境測驗學識遷移才能，通常沒有固定形式化的解法，強調多思少算，以學識為載體側重測驗思維才能和思想方法，突出試題“立意鮮明，背景別致，設問生動，層次明顯”的特色．

本文將對新學識背景下的2022高考數(shù)學試題舉行一些初步的研析．

1基于圖論學識的高考試題研析

例1（2022高考福建卷·文16）某地圖規(guī)劃道路創(chuàng)辦，考慮道路鋪設方案，方案設計圖中，點表示城市，兩點之間連線表示兩城市間可鋪設道路，連線上數(shù)據(jù)表示兩城市間鋪設道路的費用，要求從任一城市都能到達其余各城市，并且鋪設道路的總費用最小.例如：在三個城市道路設計中，若城市間可鋪設道路的路線圖如圖1，那么最優(yōu)設計方案如圖2，此時鋪設道路的最小總費用為10．

現(xiàn)給出該地區(qū)可鋪設道路的線路圖如圖3，那么鋪設道路的最小總費用為．

評析試題命制背景源于數(shù)學的一個分支——圖論.圖論以圖為研究對象.其中的圖是由若干給定的點及連結兩點的線所構成的圖形，這種圖形通常用來描述某些事物之間的某種特定關系，用點代表事物，用連接兩點的線表示相應兩個事物間具有這種關系．

此題以實際問題為背景測驗學生應用意識，以圖論學識為載體測驗學生分析問題和解決問題的才能.該題內涵深刻，思想豐富.它既測驗了學生自然語言與數(shù)學語言的互譯才能，又測驗了學生合情揣摩與推理才能．

2基于分析學學識的高考試題研析

例2（2022高考福建卷·理7）設函數(shù)D（x）=1，x為有理數(shù)0，x為無理數(shù)，那么以下結論錯誤的是（）

A.D（x）的值域為｛0，1｝

B.D（x）是偶函數(shù)

C.D（x）不是周期函數(shù)

D.D（x）不是單調函數(shù)

評析此題以分析學學識——狄利克雷函數(shù)為背景來命制.試題以“新函數(shù)”為媒介，以函數(shù)相關學識為依托，在測驗學識的同時側重測驗才能.它要求學生對函數(shù)單調性和周期性等根本性質有較深刻的熟悉，在理解的根基上分析“目生”函數(shù)并解決問題.此題側重測驗對學識的理解、應用以及分析解決問題的才能，從而檢測學生個體思維的廣度和深度以及進一步學習的潛能．

例3（2022高考福建卷·理10）函數(shù)f（x）在［a，b］上有定義，若對任意x1，x2∈［a，b］，有f（x1+x22）≤12［f（x1）+f（x2）］，那么稱f（x）在［a，b］上具有性質P．設f（x）在［1，3］上具有性質P．現(xiàn)給出如下命題：

①f（x）在［1，3］上的圖像是連續(xù)不斷的；

②f（x2）在［1，3］上具有性質P；

③若f（x）在x=2處取得最大值1，那么f（x）=1，x∈［1，3］；

④對任對意x1，x2，x3，x4∈［1，3］，有f（x1+x2+x3+x44）≤14［f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）］．

其中真命題的序號是

A.①②B.①③C.②④D.③④

評析試題背景源于分析學學識中凸函數(shù)的定義.設f為定義在區(qū)間I的函數(shù)，若對I上的任意兩點x1，x2和任意實數(shù)λ∈（0，1）總有f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），那么稱f為I上的凸函數(shù).題中性質P就是當λ=12時的凸函數(shù)性質．

此題主要以函數(shù)相關學識為載體來測驗學生的各種數(shù)學才能，充分表達了高考命題“以才能立意”的指導思想.它通過較長的題干測驗閱讀理解才能，憑借“新性質P”創(chuàng)設別致情境測驗學識遷移及應用才能，借助函數(shù)學識以及“新性質P”測驗學生的分析和推理才能．

例4（2022高考湖北卷·理22）

（1）已知函數(shù)f（x）=rx-xr+（1+r）（x>0），其中r為有理數(shù)，且00（i=1，2，…，n），∑ni=1λi=1，有f（∑ni=1λixi）≤∑ni=1λif（xi）（f（∑ni=1λixi）≥∑ni=1λif（xi））．

此題主要測驗多項式函數(shù)的求導，應用導數(shù)求函數(shù)的最值，證明不等式等學識.它從學科整體意義和思想價值立意，側重測驗對學識的理解和綜合生動應用，在學識理解應用過程中測驗學生運算求解才能、推理論證才能以及分類議論的思想方法.對數(shù)學才能和思想方法的測驗務必以數(shù)學學識為載體.因此，試題暗藏在測驗學識的表象下，其實是著重測驗蘊涵在數(shù)學學識應用過程中的思維才能和思想方法．

3基于數(shù)論學識的高考試題研析

例5（2022高考湖北·文17）傳聞古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家常在沙灘上畫點或用小石子表示數(shù).他們研究過如下圖所示的三角形數(shù)：

將三角形數(shù)1，3，6，10，…記為數(shù)列｛an｝，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的依次組成一個新數(shù)列｛bn｝．可以揣測：

（Ⅰ）b2022是數(shù)列｛an｝中的第______項；

（Ⅱ）b2k-1=______．（用k表示）

評析試題設計背景源于出名的三角形數(shù).此題主要測驗數(shù)列學識，要求學生能在概括的問題情境中識別數(shù)列的遞推關系并能用相關學識解決相應問題.此題分外符合“立意鮮明，背景別致，設問生動，層次明顯”的特色.它將學識置于新情境中，側重測驗抽象概括才能、歸納推理才能以及特殊與一般的思想方法.這樣將學識、才能以及思想方法融入一題舉行測驗便于有效地檢測學生的數(shù)學素養(yǎng)．

例6（2022高考湖北卷·理13）回文數(shù)是指從左到右讀和從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22，121，3443，94249等.鮮明2位回文數(shù)有9個：11，22，33，…，99．3位回文數(shù)有90個：101，111，121，…，191，202，…，999．那么

（Ⅰ）4位回文數(shù)有＿＿＿＿個；

（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文數(shù)有_______個．

評析試題以好玩的回文數(shù)為背景來舉行命制.此題通過直接給出回文數(shù)概念來測驗排列組合學識以及數(shù)學學習和理解才能，側重測驗學生利用排列組合學識分析解決問題的才能.它通過創(chuàng)設別致好玩的背景，進而在新的學識背景中測驗排列組合學識的掌管以及應用，使得對相關學識的測驗變得更加深入．

4基于新定義學識的高考試題研析

例7（2022高考福建卷·理15）對于實數(shù)a和b，定義運算“*”：a*b=a2-ab，a≤b

b2-ab，a>b，設f（x）=（2x-1）*（x-1），且關于x的方程為f（x）=m（m∈R），恰有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3，那么x1x2x3的取值范圍是_______．

評析試題背景源于抽象的代數(shù)運算.此題主要測驗函數(shù)綜合學識及應用，以學識為載體測驗思維才能以及蘊含于其中的思想方法.它通過定義新運算“*”，測驗數(shù)學符號的理解運用才能和學識遷移才能；通過在分析解決問題中測驗運算求解才能以及分類議論、數(shù)形結合、函數(shù)與方程、化歸與轉化的思想方法，從而檢測學生對數(shù)學學識中所蘊涵的思想方法的掌管程度．

例8（2022高考江西卷·理21）若函數(shù)h（x）得志：

（1）h（0）=1，h（1）=0；

（2）對任意a∈［0，1］，有h（h（a））=a；

（3）在（0，1）上單調遞減．

那么稱h（x）為補函數(shù).已知函數(shù)h（x）=（1-xp1+λxp）1p（λ>-1，p>0）．

（1）判斷h（x）是否為補函數(shù)，并證明你的結論；

（2）若存在m∈［0，1］，使得h（m）=m，若m是函數(shù)h（x）的中介元，記p=1n（n∈N+）時h（x）的中介元為xn，且Sn=∑ni=1xi，若對任意的n∈N+，都有Sn<12，求λ的取值范圍；

（3）當λ=0，x∈（0，1）時，函數(shù)y=h（x）的圖像總在直線y=1-x的上方，求p的取值范圍．

評析試題通過直接給出補函數(shù)的概念，賦予背景別致性.此題主要測驗利用函數(shù)、導數(shù)、不等式等相關學識解決問題的才能以及函數(shù)與方程、分類與議論和等價與轉化的思想方法.它提防數(shù)學學科的內在聯(lián)系和學識綜合性，在函數(shù)與不等式交匯處設計試題，使對數(shù)學學識的測驗達成必要的深度．

縱觀2022年高考數(shù)學試題，可謂精彩紛呈.以新學識為背景的高考試題為高考添加了新的血液，使高考試題更加豐富多樣，更具創(chuàng)新性.別致獨特的試題不僅是甄別學生數(shù)學才能和數(shù)學素養(yǎng)的有效工具，同時也是測驗學生應用意識和創(chuàng)新意識的有力手段.因此，命制與研析以新學識為背景命制的試題具有確