2023年點(diǎn)線面位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)加典型例題

２.１空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn):空間直線、平面的位置關(guān)系。難點(diǎn):三種語言（文字語言、圖形語言、符號(hào)語言）的轉(zhuǎn)換2、三個(gè)公理：(１)公理1：假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)符號(hào)表達(dá)為L(zhǎng)A·αALA·αB∈L=>Lα,A∈α，Ｂ∈αC·C·B·A·α(2）公理2:過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表達(dá)為：Ａ、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個(gè)平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。公理２作用:擬定一個(gè)平面的依據(jù)。推論：=1\＊GB3①一條直線和其外一點(diǎn)可擬定一個(gè)平面＝2\＊GB３②兩條相交直線可擬定一個(gè)平面=3\*GB3③兩條平行直線可擬定一個(gè)平面P·αLP·αLβ符號(hào)表達(dá)為：Ｐ∈α∩β＝＞α∩β=L，且Ｐ∈L公理3作用:鑒定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)(4）公理４：平行于同一條直線的兩條直線平行等角定理：假如一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．2、空間兩條不重合的直線有三種位置關(guān)系：相交、平行、異面3、異面直線所成角θ的范圍是00<θ≤９002．1．２空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系:共面直線相交直線:同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn);共面直線平行直線：同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)；異面直線:不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)。2公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表達(dá)為:設(shè)a、ｂ、ｃ是三條直線=>a∥ca=>a∥cｃ∥b強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都合用。公理4作用:判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。３等角定理:空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別相應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)４注意點(diǎn)：①a'與b'所成的角的大小只由a、b的互相位置來擬定，與O的選擇無關(guān),為簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上;②兩條異面直線所成的角θ∈(0，);③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí),我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作ａ⊥ｂ；④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。2.1．3—2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1、直線與平面有三種位置關(guān)系:(１)直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（2）直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3)直線在平面平行——沒有公共點(diǎn)指出:直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表達(dá)ａαa∩α＝Ａa∥α針對(duì)性練習(xí):１.若直線a不平行于平面,則下列結(jié)論成立的是()A.內(nèi)所有的直線都與a異面；B.內(nèi)不存在與a平行的直線；C.內(nèi)所有的直線都與a相交;D.直線a與平面有公共點(diǎn).2.已知兩個(gè)平面垂直,下列命題①一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的任意一條直線；②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無數(shù)條直線;③一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面;④過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線,則垂線必垂直于另一個(gè)平面.其中對(duì)的的個(gè)數(shù)是()A.3B.2C.１Ｄ．０３.空間四邊形ＡＢCＤ中，若，則與所成角為Ａ、Ｂ、Ｃ、D、4．給出下列命題：（1）直線a與平面不平行，則a與平面內(nèi)的所有直線都不平行；（2）直線a與平面不垂直，則ａ與平面內(nèi)的所有直線都不垂直;(3)異面直線a、ｂ不垂直，則過a的任何平面與b都不垂直；(４)若直線a和b共面,直線b和c共面，則a和c共面其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為()(A)0（B）１(C)2（D）3５．正方體ABCD-Ａ1B1C1D1中，與對(duì)角線AC1異面的棱有()條A3Ｂ４C6.點(diǎn)P為ΔＡBC所在平面外一點(diǎn),ＰO⊥平面AＢC，垂足為O，若PA=PB=PC，則點(diǎn)Ｏ是ΔAＢC的(）(A)內(nèi)心（B）外心(C)重心(D）垂心ABCDA1B1ABCDA1B1C1D1C1—ＢＤ—C的大小為()（A)３0０（B)450（C)６00（Ｄ)9０08.直線a,ｂ,c及平面α，β,γ,下列命題對(duì)的的是（）A、若aα，bα,ｃ⊥a,c⊥b則c⊥αB、若bα,ａ//ｂ則a//αC、若a／/α,α∩β=b則a／／bD、若a⊥α，b⊥α則a/／b9.平面與平面平行的條件可以是（）A.內(nèi)有無窮多條直線與平行;Ｂ.直線a//,ａ//Ｃ．直線a,直線b,且ａ//，b／/D.內(nèi)的任何直線都與平行10、ａ,b是異面直線,下面四個(gè)命題：＝1\＊GB３①過a至少有一個(gè)平面平行于b；=2\＊GB3②過a至少有一個(gè)平面垂直于b；=3\*GＢ3③至多有一條直線與a,ｂ都垂直；=4\＊GB３④至少有一個(gè)平面與ａ,b都平行。其中對(duì)的命題的個(gè)數(shù)是(）Ａ0B１C２Ｄ3二、填空題（本大題共4小題，每小題5分,共20分）1１.已知直線ａ//平面,平面//平面，則a與的位置關(guān)系為.12．已知直線a⊥直線ｂ,ａ//平面,則b與的位置關(guān)系為．１3如圖，ＡBC是直角三角形，ACB=，ＰA平面AＢＣ，此圖形中有個(gè)直角三角形ABCP14.α、β是兩個(gè)不同的平面,m、n是平面αABCP給出四個(gè)論斷:①ｍ^n②α^β③m^β④n^α以其中三個(gè)論斷作為條件,余下一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為對(duì)的的一個(gè)命題：_＿_(dá)＿_(dá)_____＿＿_(dá)_＿＿_(dá)_＿＿_(dá)__＿_(dá)_____＿_(dá)_____＿.三、解答題（本大題共3小題,每小題10分，共３0分）1５.如圖,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC求證:AB⊥BCPPABC16.在三棱錐S-ABC中，已知ＡB=ＡC,O是BＣ的中點(diǎn),平面SＡＯ⊥平面AＢCABOCS求證：ABOCS １7.如圖,PA⊥平面ABC，AE⊥PB,AB⊥ＢC,AＦ⊥PＣ,PA=AB＝BC＝2(1）求證:平面AEＦ⊥平面PＢC；（2）求二面角P—ＢC—A的大??；(3）求三棱錐P—AEF的體積．AABCPEF參考答案1.D；２.C；3.D;4.D；５.Ｃ；6.Ｂ;7.Ａ；8.D;９.D；1０．C11.平行或在平面內(nèi)；１2．平行或在平面內(nèi);１3．４；1４.若②③④則①17.（2）45°2.2．直線、平面平行的鑒定及其性質(zhì)直線與平面平行的鑒定１、直線與平面平行的鑒定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行。簡(jiǎn)記為:線線平行，則線面平行。符號(hào)表達(dá):aαbβ=>a∥αa∥b2．2.2平面與平面平行的鑒定1、兩個(gè)平面平行的鑒定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表達(dá)：aβａ∩ｂ=Pβ∥αbβａ∥αb∥α2、判斷兩平面平行的方法有三種:(１)用定義；(２)鑒定定理；(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。2.2.３—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理:一條直線與一個(gè)平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。符號(hào)表達(dá):a∥αaβa∥bα∩β＝b作用：運(yùn)用該定理可解決直線間的平行問題。2、定理：假如兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行。符號(hào)表達(dá)：α∥βα∩γ=aa∥ｂβ∩γ=b作用:可以由平面與平面平行得出直線與直線平行練習(xí)鞏固:1、若兩個(gè)平面互相平行,則分別在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線(

ｄ)A.平行

B.異面

C.相交

D.平行或異面2、下列結(jié)論中,對(duì)的的有(

ａ

)①若aα,則a∥α ?????②a∥平面α,bα則a∥b③平面α∥平面β，ａα,bβ,則a∥ｂ ④平面α∥β,點(diǎn)Ｐ∈α，a∥β,且P∈a,則aαA.１個(gè)? ?B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)３、在空間四邊形AＢCD中，Ｅ、F分別是AB和ＢC上的點(diǎn)，若AE∶EＢ=CF∶FＢ=１∶3，則對(duì)角線AC和平面ＤEF的位置關(guān)系是(

）Ａ.平行

Ｂ.相交

C.在內(nèi)

D.不能擬定4、ａ，b是兩條異面直線,A是不在ａ，b上的點(diǎn)，則下列結(jié)論成立的是(

d)A．過Ａ有且只有一個(gè)平面平行于a,b? ?B.過A至少有一個(gè)平面平行于a,bC.過A有無數(shù)個(gè)平面平行于a,ｂ? ???Ｄ.過A且平行a,ｂ的平面也許不存在５、已知直線a與直線ｂ垂直,a平行于平面α,則b與α的位置關(guān)系是(

）A.b∥α

B.bαC.b與α相交

D.以上都有也許6、下列命題中對(duì)的的命題的個(gè)數(shù)為(

a

)①直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,則l∥α;②若直線ａ在平面α外,則a∥α;③若直線a∥ｂ,直線ｂα,則a∥α;④若直線ａ∥b，ｂ平面α，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線.Ａ.1

B.2

C．３

Ｄ.47、下列命題對(duì)的的個(gè)數(shù)是（

a)(１)若直線ｌ上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在α內(nèi)，則l∥α(2)若直線ｌ與平面α平行,l與平面α內(nèi)的任意一直線平行(3)兩條平行線中的一條直線與平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行(4)若一直線a和平面α內(nèi)一直線b平行，則ａ∥αA．0個(gè)??B.1個(gè)

Ｃ.２個(gè)

D.３個(gè)8、已知m、n是兩條不重合的直線,α、β、γ是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命題:其中真命題是d①若m⊥α，m⊥β,則α∥β;? ②若α⊥γ,β⊥γ，則α∥β;③若mα,nβ,m∥n,則α∥β;? ④若m、n是異面直線，mα，m∥β,nβ,n∥α，則α∥β.A．①和②

B.①和③

Ｃ.③和④

D．①和④9、長(zhǎng)方體ABCD－A１Ｂ1C1D１中,E為AＡ1中點(diǎn),F為BB１中點(diǎn),與ＥF平行的長(zhǎng)方體的面有（cA．1個(gè)

B．2個(gè)

C.３個(gè)

Ｄ.4個(gè)１0、對(duì)于不重合的兩個(gè)平面α與β，給定下列條件：①存在平面γ,使得α、β都垂直于γ;②存在平面γ，使α、β都平行于γ;③α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到β的距離相等;④存在異面直線l，Ｍ,使得ｌ∥α，l∥β，M∥α,Ｍ∥β.其中可以判斷兩個(gè)平面α與β平行的條件有（b)A．1個(gè)

B.２個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)二、填空題【共4道小題】1、在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCＤ—A１B1C1D1中,M、Ｎ分別是棱A1B1、B1Ｃ1的中點(diǎn)，P是棱AD上一點(diǎn)，AP=參考答案與解析:解析:由線面平行的性質(zhì)定理知MN∥ＰQ(∵M(jìn)N∥平面AC，PQ=平面ＰMN∩平面AC，∴MN∥PQ)．易知DP=ＤQ＝.故.答案：2、假如空間中若干點(diǎn)在同一平面內(nèi)的射影在一條直線上,那么這些點(diǎn)在空間的位置是__＿_(dá)_＿_(dá)___.參考答案與解析:共線或在與已知平面垂直的平面內(nèi)3、若直線a和b都與平面α平行，則a和b的位置關(guān)系是_＿＿＿_(dá)__＿_(dá)_.參考答案與解析:相交或平行或異面４、正方體ABＣD-Ａ1B1C1D1中,E為DD１中點(diǎn)，則BD1與過點(diǎn)A,C，E參考答案與解析：解析:如圖所示，連結(jié)BD,設(shè)BD∩AC=Ｏ,連結(jié)ＢD1,在△BＤD1中，E為DＤ１的中點(diǎn),O為ＢD的中點(diǎn),∴ＯE為△ＢDD1的中位線．∴OＥ∥BD1.又平面ACE，OE平面AＣE,∴ＢＤ1∥平面ＡCE.答案：平行三、解答題【共3道小題】1、如圖，直線AＣ，DF被三個(gè)平行平面α、β、γ所截．①是否一定有AD∥BE∥CF;②求證：.參考答案與解析：解析：①平面α∥平面β,平面α與β沒有公共點(diǎn)，但不一定總有AＤ∥BE.同理不總有BＥ∥CF.②過A點(diǎn)作ＤF的平行線,交β，γ于Ｇ，Ｈ兩點(diǎn),AH∥DＦ.過兩條平行線AH，DF的平面,交平面α,β,γ于AD,GＥ，HF.根據(jù)兩平面平行的性質(zhì)定理,有AD∥GE∥ＨF.AGED為平行四邊形.∴AＧ=DE．同理GH＝EF.又過AC，AＨ兩相交直線之平面與平面β,γ的交線為BG，ＣH.根據(jù)兩平面平行的性質(zhì)定理，有BG∥ＣＨ．在△ACH中,．而AG＝DE,ＧＨ=EF,∴．2、如圖，ＡBCD是平行四邊形，Ｓ是平面ＡＢCＤ外一點(diǎn),M為SＣ的中點(diǎn).求證：ＳA∥平面MDB.參考答案與解析:解析：要說明SA∥平面ＭDＢ,就要在平面MDB內(nèi)找一條直線與ＳA平行,注意到Ｍ是ＳC的中點(diǎn)，于是可找ＡC的中點(diǎn),構(gòu)造與SA平行的中位線,再說明此中位線在平面MDB內(nèi)，即可得證．證明：連結(jié)AC交ＢＤ于N，由于ABCD是平行四邊形,所以N是AC的中點(diǎn).又由于Ｍ是SＣ的中點(diǎn)，所以MN∥SA.由于MN平面ＭDB，所以SA∥平面MDＢ.3、如圖,已知點(diǎn)M、Ｎ是正方體ＡBCD-A1B１C1D１的兩棱A1A與Ａ1B1的中點(diǎn)，P是正方形求證:ＭN∥平面ＰＢ１C．參考答案與解析：證明：如圖,連結(jié)AＣ，則Ｐ為AC的中點(diǎn)，連結(jié)ＡB1，∵M(jìn)、N分別是A１A與A1Ｂ1的中點(diǎn)，∴ＭN∥AＢ１又∵平面ＰB1C，平面ＰＢ1C，故MN∥面PＢ1C.4、如圖，在正方體中,,分別是棱，的中點(diǎn)，求證：平面.答案：證明:如圖，取的中點(diǎn)，連接,,?平行且等于，平行且等于, 平行且等于,則為平行四邊形，．平面，平面,平面.5、如圖，在四棱錐中，是平行四邊形，，分別是，的中點(diǎn)．求證:平面．答案：證明:如圖，取的中點(diǎn)，連接,,分別是,的中點(diǎn),，,可證明平面，平面．又，平面平面，又平面,平面．2．3．1直線與平面垂直的鑒定１、定義假如直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直,記作L⊥α,直線L叫做平面α的垂線,平面α叫做直線L的垂面。如圖,直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)Ｐ叫做垂足。Lpα2、鑒定定理:一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.３．２平面與平面垂直的鑒定1、二面角的概念：表達(dá)從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形A梭lβＢα２、二面角的記法:二面角α-ｌ-β或α-AB-β3、兩個(gè)平面互相垂直的鑒定定理:一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直。2.3．３—2.3．4直線與平面１、定理:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。一選擇題1.已知直線，和平面，有以下四個(gè)命題：若，，則;若，，則與異面;若，,則;若,,則．其中真命題的個(gè)數(shù)是(）A．? B．? C. D.2.已知直線,有以下幾個(gè)判斷:若,則;若,則;若,則；若，則.上述判斷中對(duì)的的是（)A.? Ｂ.? Ｃ．? D．３．已知兩個(gè)平面垂直,下列命題一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線．一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無數(shù)條直線.一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面．過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個(gè)平面.其中對(duì)的的個(gè)數(shù)是()A．3 ?Ｂ.2? C.１ ?Ｄ.0４．在正方形中,，分別是及的中點(diǎn),是的中點(diǎn),沿，及把,,折起使,,三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記作,那么在四周體中必有（）Ａ．面?B.面C．面?Ｄ.面5.直線不垂直于平面,則內(nèi)與垂直的直線有（）A．條 ?B.條? C.無數(shù)條 D．內(nèi)所有直線6.已知三條直線，,,三個(gè)平面，，．下面四個(gè)命題中，對(duì)的的是（）A.? Ｂ.Ｃ. ??Ｄ．7.在空間四邊形中，若，,為對(duì)角線的中點(diǎn)，下列判斷對(duì)的的是（)A.平面平面??Ｂ．平面平面Ｃ．平面平面? Ｄ．平面平面8.,,，是四個(gè)不同平面,若,,,，則()A.且Ｂ．或C．這四個(gè)平面中也許任意兩個(gè)都不平行Ｄ．這四個(gè)平面中至多有一對(duì)平面平行9.設(shè),是異面直線,下列命題對(duì)的的是(）Ａ.過不在,上的一點(diǎn)一定可以作一條直線和,都相交B．過不在，上的一點(diǎn)一定可以作一個(gè)平面和,垂直C．過一定可以作一個(gè)平面與垂直D.過一定可以作一個(gè)平面與平行10．設(shè)平面平面，且，直線，直線，且不與垂直，不與垂直,那么與（）A.也許垂直,不也許平行?Ｂ．也許平行,不也許垂直C．也許垂直，也也許平行?D.不也許垂直，也不能垂直二填空題1１已知直線,和平面,且,，則與的位置關(guān)系是__＿_(dá)_____＿_(dá).12.是兩個(gè)不同的平面,是平面及之外的兩條不同的直線，給出四個(gè)論斷:；;；．以其中三個(gè)論斷作為條件,余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為對(duì)的的一個(gè)命題_＿＿＿_(dá)_＿_(dá)__.13.設(shè)為平行四