2023年等比數(shù)列知識點并附例題及解析

等比數(shù)列知識點并附例題及解析1、等比數(shù)列的定義:，稱為公比2、通項公式：，首項：;公比:推廣:３、等比中項：（1)假如成等比數(shù)列,那么叫做與的等差中項,即：或注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項，并且它們的等比中項有兩個（（2）數(shù)列是等比數(shù)列4、等比數(shù)列的前項和公式:(１)當時,（2）當時,（為常數(shù))5、等比數(shù)列的鑒定方法:(1)用定義:對任意的，都有為等比數(shù)列（2)等比中項:為等比數(shù)列(３）通項公式：為等比數(shù)列6、等比數(shù)列的證明方法：依據(jù)定義:若或為等比數(shù)列7、等比數(shù)列的性質：（2）對任何,在等比數(shù)列中,有。(３）若,則。特別的,當時,得注：（4)數(shù)列,為等比數(shù)列，則數(shù)列，,，,(為非零常數(shù)）均為等比數(shù)列。（５）數(shù)列為等比數(shù)列,每隔項取出一項仍為等比數(shù)列(6)假如是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列(7）若為等比數(shù)列，則數(shù)列，，,成等比數(shù)列(8）若為等比數(shù)列，則數(shù)列，，成等比數(shù)列(9)①當時，②當時,③當時,該數(shù)列為常數(shù)列（此時數(shù)列也為等差數(shù)列);④當時,該數(shù)列為擺動數(shù)列.(１０）在等比數(shù)列中,當項數(shù)為時,二例題解析【例1】已知Sｎ是數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝pn(ｐ∈R,n∈N＊)，那么數(shù)列{an}.（)是等比數(shù)列Ｂ．當ｐ≠0時是等比數(shù)列C．當p≠０，ｐ≠1時是等比數(shù)列Ｄ．不是等比數(shù)列已知等比數(shù)列１,ｘ1，x２，…,ｘ2n，2,求x1·x2·x3·…·x2n．式;(2）已知a３·a4·a5=8，求ａ2a3ａ４ａ5ａ６的值.【例4】求數(shù)列的通項公式:(１）{an｝中，a1=2，ａｎ+1＝3ａn+２(2){aｎ｝中,a１=2,ａ2=５,且aｎ+2－3an＋１+2ａｎ＝0三、考點分析考點一:等比數(shù)列定義的應用1、數(shù)列滿足，，則＿______＿_.２、在數(shù)列中,若，，則該數(shù)列的通項____＿__＿___＿__.考點二:等比中項的應用1、已知等差數(shù)列的公差為,若，,成等比數(shù)列，則（)Ａ.Ｂ.C.D．２、若、、成等比數(shù)列,則函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)為(）A． B.C.?D.不擬定3、已知數(shù)列為等比數(shù)列，,，求的通項公式.考點三：等比數(shù)列及其前n項和的基本運算1、若公比為的等比數(shù)列的首項為，末項為,則這個數(shù)列的項數(shù)是（）A．B.C.Ｄ.2、已知等比數(shù)列中,，，則該數(shù)列的通項＿＿__＿_____＿__＿__＿．3、若為等比數(shù)列，且，則公比_＿＿_____．4、設,，,成等比數(shù)列,其公比為，則的值為（）?A.?B．Ｃ.Ｄ．５、等比數(shù)列{an｝中,公比q=且ａ２＋a4＋…+ａ１０0=30,則ａ1＋a2+…+a１0０=_________＿____．考點四：等比數(shù)列及其前n項和性質的應用1、在等比數(shù)列中,假如,,那么為（)Ａ．B.C.D.2、假如,，,,成等比數(shù)列，那么（）Ａ．，?B.,C．，D.,３、在等比數(shù)列中，，,則等于（)A．?B.?C. D.4、在等比數(shù)列中,,,則等于（）A.B．C．D.５、在等比數(shù)列中，和是二次方程的兩個根,則的值為（)A. B．?C. D.６、若是等比數(shù)列,且，若,那么的值等于考點五：公式的應用1、若數(shù)列的前n項和Ｓn=ａ1+a２＋…＋ａn,滿足條件lｏg2Sn=n,那么{an｝是（)A．公比為2的等比數(shù)列B．公比為的等比數(shù)列C.公差為2的等差數(shù)列D．既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列等比數(shù)列前n項和Sn=2ｎ-1,則前n項的平方和為()（2n－1)2B．(2n－1)2Ｃ.４ｎ-１D．(４n-１）設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sｎ=3n＋r,那么r的值為＿_________＿_＿_.一、等差和等比數(shù)列比較：等差數(shù)列等比數(shù)列定義遞推公式；;通項公式（）中項（）（)前項和重要性質二、等差數(shù)列的定義與性質定義：(為常數(shù))，通項:等差中項:成等差數(shù)列前項和:性質:是等差數(shù)列(1)若，則(2)數(shù)列仍為等差數(shù)列，仍為等差數(shù)列，公差為；（3）若是等差數(shù)列，且前項和分別為，則(4）為等差數(shù)列（為常數(shù),是關于的常數(shù)項為0的二次函數(shù),也許有最大值或最小值）(5)項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列,有,.(6)項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列,有,,.三、等比數(shù)列的定義與性質定義：（為常數(shù)，)，通項:．等比中項:成等比數(shù)列，或.前項和：(要注意q！)性質：是等比數(shù)列(1)若，則(2）仍為等比數(shù)列,公比為.四、數(shù)列求和的常用方法:解:①②②等比數(shù)列·例題解析

【例1】已知Sn是數(shù)列{ａn}的前n項和，Sn=pｎ(p∈Ｒ，ｎ∈N*),那么數(shù)列{an}．[]A．是等比數(shù)列Ｂ.當p≠0時是等比數(shù)列Ｃ.當p≠０，p≠1時是等比數(shù)列D.不是等比數(shù)列【例2】已知等比數(shù)列1，x1，x2，…，x2n，2,求x1·x2·x3·…·x2ｎ.式；(2)已知a３·a4·a5＝8,求a2a3a4a5a6的值.【例４】已知a>0，b>0且a≠b，在a，b之間插入n個正數(shù)x１,x2，…，xｎ,使得a，ｘ1,ｘ２，…，ｘn，b成等比數(shù)列,求設a、b、c、d成等比數(shù)列，求證：(b－c)2＋(c-ａ)2＋(d－b)２＝（a-d)2.【例6】求數(shù)列的通項公式:（1){an}中,a1=2，ａn＋１＝3an+2(2)｛an}中，a1=2,a2＝5,且an+2-３an+1+２an＝０若a、b、ｃ成等差數(shù)列,且a+１、ｂ、c與a、ｂ、c+２都成等比數(shù)列，求b的值.【例９】已知等差數(shù)列{an｝的公差和等比數(shù)列{ｂn｝的公比都是d，又知ｄ≠1,且a４=b４,a１0=ｂ1０:（1）求a1與d的值;(2）ｂ1６是不是{ａｎ}中的項?三個數(shù)成等比數(shù)列,若第二個數(shù)加4就成等差數(shù)列，再把這個等差數(shù)列的第３項加３2又成等比數(shù)列,求這三個數(shù)．有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列,并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12,求這四個數(shù).已知三個數(shù)成等差數(shù)列,其和為１26;此外三個數(shù)成等比數(shù)列,把兩個數(shù)列的相應項依次相加，分別得到8５,76，8４.求這兩個數(shù)列.已知在數(shù)列｛an}中,a1、a2、ａ3成等差數(shù)列,a2、a3、ａ4成等比數(shù)列,a３、a4、a5的倒數(shù)成等差數(shù)列,證明：a1、a3、a5成等比數(shù)列．【例15】已知(ｂ－ｃ)lｏgmx+(c-ａ)ｌogｍy＋(a－b)logmｚ＝０.(1)設ａ,b，ｃ依次成等差數(shù)列，且公差不為零，求證：x，y,z成等比數(shù)列.(２）設正數(shù)x，ｙ，z依次成等比數(shù)列,且公比不為1，求證：a,ｂ，c成等差數(shù)列.等比數(shù)列·例題解析

【例１】已知Sn是數(shù)列{an｝的前n項和，Sn＝ｐｎ(p∈Ｒ，n∈N*),那么數(shù)列{ａｎ}．[]A．是等比數(shù)列B．當ｐ≠0時是等比數(shù)列C.當p≠０，ｐ≠１時是等比數(shù)列D.不是等比數(shù)列分析由Sn=pｎ(n∈N*)，有a1＝S１＝ｐ，并且當n≥２時,aｎ=Sn－Sn-1＝pn－ｐn-1＝(p-1)ｐn-1但滿足此條件的實數(shù)p是不存在的，故本題應選Ｄ．說明數(shù)列{ａn｝成等比數(shù)列的必要條件是ａn≠0（n∈N*）,還要注【例２】已知等比數(shù)列1,x1，x2,…，ｘ2ｎ，2，求x１·x２·ｘ３·…·ｘ2n．解∵1,x1，x２,…，x2n,2成等比數(shù)列,公比q∴2=1·q2n+1x1x2ｘ3…x2n＝ｑ·ｑ2·q３…q２n＝ｑ1+2+３＋…+2ｎ式；(2)已知a３·a4·a5＝8，求ａ2a3a４ａ5ａ6的值.∴a4＝2【例4】已知a>0，b＞0且a≠ｂ,在a，b之間插入n個正數(shù)x1,x2,…，xn,使得a，x1，x2,…，ｘｎ，b成等比數(shù)列，求證明設這n＋2個數(shù)所成數(shù)列的公比為q,則ｂ=aqｎ＋1【例5】設a、ｂ、ｃ、d成等比數(shù)列,求證:(b-ｃ)2+（c-a)2+(d-ｂ)2＝(a－d)２．證法一∵a、b、c、ｄ成等比數(shù)列∴ｂ2=ａc，c2＝ｂｄ,ａd＝bc∴左邊＝b2－２ｂc+c2+c2-2ac＋a2+d２－2ｂｄ＋b２=２（b2－ａc)+2(ｃ２－bd)＋(a2-2bc＋d2)=a2－2ad＋ｄ2=(a－d)2＝右邊證畢．證法二∵ａ、b、c、ｄ成等比數(shù)列,設其公比為q，則:b＝aq,c＝aq２，d=ａｑ3∴左邊=(aq-aq2)2+(aｑ2－ａ)２+(ａq3－aq)2＝a2-2a2q3＋a2q6=（a－ａｑ３）２＝(a-d)2=右邊證畢.說明這是一個等比數(shù)列與代數(shù)式的恒等變形相綜合的題目．證法一是抓住了求證式中右邊沒有b、c的特點，走的是運用等比的條件消去左邊式中的b、ｃ的路子．證法二則是把a、ｂ、c、d統(tǒng)一化成等比數(shù)列的基本元素ａ、q去解決的．證法二稍微麻煩些，但它所用的統(tǒng)一成基本元素的方法,卻較證法一的方法具有普遍性.【例６】求數(shù)列的通項公式：(1){aｎ}中，a1＝2，an+1=３aｎ+2(2)｛aｎ}中,ａ１=2，a２=5，且an＋2-3aｎ+1+２an=0思緒:轉化為等比數(shù)列.∴｛aｎ+1}是等比數(shù)列∴ａn＋1=3·3n-1∴an=3n－1∴｛an+1－an｝是等比數(shù)列，即aｎ+1-aｎ=(a2－a１)·2ｎ-1=3·2n-1再注意到a2－ａ1=3，ａ3-ａ２=3·21，ａ4-ａ3＝3·22,…,an－an－１=３·２n-２,這些等式相加，即可以得到說明解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)一個等比數(shù)列,即化生疏為已知．（1）中發(fā)現(xiàn){an＋1｝是等比數(shù)列，(２)中發(fā)現(xiàn){ａn＋1－an｝是等比數(shù)列,這也是通常說的化歸思想的一種體現(xiàn)．證∵a１、ａ２、a3、ａ4均為不為零的實數(shù)∴上述方程的判別式Δ≥0，即又∵ａ１、a2、a3為實數(shù)因而a１、a2、ａ3成等比數(shù)列∴a４即為等比數(shù)列a1、a2、a3的公比.【例8】若ａ、b、ｃ成等差數(shù)列,且a+1、ｂ、ｃ與a、b、ｃ+2都成等比數(shù)列,求ｂ的值．解設a、b、ｃ分別為b-ｄ、b、b+d,由已知b－ｄ+1、b、ｂ＋ｄ與b-d、ｂ、b+ｄ＋2都成等比數(shù)列，有整理,得∴b＋d=2b-2d即b=3d代入①,得9d2=(3d－d＋１)（3d+d)9d2=(2d+1)·4d解之,得d=4或d＝０(舍)∴b＝１2【例９】已知等差數(shù)列｛ａｎ}的公差和等比數(shù)列{bn}的公比都是d，又知d≠1，且ａ4=b4,a10＝b10:(1）求a1與d的值；（2）ｂ16是不是｛aｎ｝中的項？思緒：運用通項公式列方程(2）∵ｂ1６=ｂ1·ｄ15=－3２b1∴b1６=-32ｂ１=－３2a１，假如b1６是{ａn}中的第k項,則－32ａ1=a1＋(k－1)d∴（k－1)ｄ＝-33a１＝３3d∴k=34即b16是｛an}中的第３4項．解設等差數(shù)列｛ａｎ}的公差為d,則an=a1+(n－1)d解這個方程組,得∴a1＝－１,d=２或a1=3,d=－2∴當a1=-1,d＝2時，aｎ=ａ1＋(n－１）d=2ｎ－3當a１＝3，d＝2時,an=a1+(ｎ－1)ｄ＝5-2n【例11】三個數(shù)成等比數(shù)列,若第二個數(shù)加４就成等差數(shù)列,再把這個等差數(shù)列的第3項加32又成等比數(shù)列,求這三個數(shù)．解法一按等比數(shù)列設三個數(shù),設原數(shù)列為a，ａq,aq2由已知:a,aq＋4，aｑ2成等差數(shù)列即:2（aq＋４）=a＋aｑ2?①ａ，ａｑ+4,ａq2＋３2成等比數(shù)列即：(aq+4）２＝a(aq2+３2)解法二按等差數(shù)列設三個數(shù),設原數(shù)列為b-d,ｂ-4,b＋d由已知:三個數(shù)成等比數(shù)列即：(b－4)2=(b-d)(b＋d)b-d,ｂ，ｂ＋d+3２成等比數(shù)列即b２＝(b-d)(b＋ｄ+32)解法三任意設三個未知數(shù),設原數(shù)列為a1,a2,ａ3由已知：a１,a2,a3成等比數(shù)列a1，a2＋4，a3成等差數(shù)列得：2（ａ2＋4）＝a１＋a3?②a１，a2+4,a3+3２成等比數(shù)列得：(ａ2+4)２=ａ１（ａ3+3２) ③說明將三個成等差數(shù)列的數(shù)設為a-d,ａ，a+d；將三個成簡化計算過程的作用．【例12】有四個數(shù),其中前三個數(shù)成等差數(shù)列,后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是1６,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù)．分析本題有三種設未知數(shù)的方法方法一設前三個數(shù)為a－ｄ,a，ａ+d，則第四個數(shù)由已知條方法二設后三個數(shù)為ｂ，ｂｑ,bq2,則第一個數(shù)由已知條件推得為2b-bq．方法三設第一個數(shù)與第二個數(shù)分別為x，y，則第三、第四個數(shù)依次為1２－y,16－ｘ.由這三種設法可運用余下的條件列方程組解出相關的未知數(shù),從而解出所求的四個數(shù)，所求四個數(shù)為:0，4，8，16或15,9，3,1．解法二設后三個數(shù)為：ｂ,bq，bq2，則第一個數(shù)為:2b－bq所求四個數(shù)為:0，4，８，１６或15,9,3,1.解法三設四個數(shù)依次為x,ｙ，１2-y，16－x.這四個數(shù)為0,４，8，１6或1５,9,3,１.【例13】已知三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為126；此外三個數(shù)成等比數(shù)列，把兩個數(shù)列的相應項依次相加，分別得到８5，７6,84．求這兩個數(shù)列.解設成等差數(shù)列的三個數(shù)為b－d,ｂ,b+d，由已知，b-d+ｂ+b＋d＝126∴b=42這三個數(shù)可寫成４2-d,42，42+d.再設另三個數(shù)為a,ａq，ａq2．由題設，得解這個方程組