高三數(shù)學(xué)函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

考綱導(dǎo)讀

（-）函數(shù)

1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，了解映射的概念，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域.

2.理解函數(shù)的三種表示法：解析法、圖象法和列表法，能根據(jù)不同的要求選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū?/p>

示簡(jiǎn)單的函數(shù)。

3.了解分段函數(shù)，能用分段函數(shù)來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

4.理解函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)討論和證明一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的單調(diào)性；理解函數(shù)奇偶性的含義，會(huì)

判斷簡(jiǎn)單的函數(shù)奇偶性。

5.理解函數(shù)的最大（小）值及其幾何意義，并能求出一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的最大（?。┲?

6.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).

（二）指數(shù)函數(shù)

1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景。

2.理解有理指數(shù)基的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)暴的意義，掌握基的運(yùn)算。

3.理解指數(shù)函數(shù)的概念，會(huì)求與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題。

4.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。

（三）對(duì)數(shù)函數(shù)

1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù);

了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用。

2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念；會(huì)求與對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題.

3.知道對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.

4.了解指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（）。

（四）幕函數(shù)

1.了解累函數(shù)的概念。

2.結(jié)合函數(shù)的圖像，了解它們的變化情況。

（五）函數(shù)與方程

1.了解函數(shù)零點(diǎn)的概念，結(jié)合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系。

2.理解并掌握連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法。能利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)判別函

數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（六）函數(shù)模型及其應(yīng)用

1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及塞函數(shù)的增長(zhǎng)特征。知道直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等

不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義。

2.了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、基函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函

數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用。

3.能利用給定的函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

i元二次函數(shù)

L一元二次不等式

指

根式一分?jǐn)?shù)指數(shù)

數(shù)

函

數(shù)指數(shù)方程

指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

對(duì)數(shù)方程

-對(duì)數(shù)的性質(zhì)

積、商、哥與

根的對(duì)數(shù)

對(duì)數(shù)

對(duì)數(shù)恒等式

對(duì)和不等式

數(shù)

函

數(shù)常用對(duì)數(shù)

自然對(duì)數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

高考導(dǎo)航

根據(jù)考試大綱的要求，結(jié)合2009年高考的命題情況，我們可以預(yù)測(cè)2010年集合部分在選擇、

填空和解答題中都有涉及，高考命題熱點(diǎn)有以下兩個(gè)方面：一是集合的運(yùn)算、集合的有關(guān)述

語(yǔ)和符號(hào)、集合的簡(jiǎn)單應(yīng)用等作基礎(chǔ)性的考查，題型多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)；二是以

函數(shù)、方程、三角、不等式等知識(shí)為載體，以集合的語(yǔ)言和符號(hào)為表現(xiàn)形式，結(jié)合簡(jiǎn)易邏輯

知識(shí)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)能力，題型常以解答題的形式出現(xiàn).

函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，函數(shù)的觀點(diǎn)和思想方法貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的全過(guò)程，包

括解決幾何問(wèn)題.在近幾年的高考試卷中，選擇題、填空題、解答題三種題型中每年都有函數(shù)

試題，而且?？汲Ｐ?以基本函數(shù)為模型的應(yīng)用題和綜合題是高考命題的新趨勢(shì).

考試熱點(diǎn)：①考查函數(shù)的表示法、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)和函數(shù)的圖

象.②函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列是相互關(guān)聯(lián)的概念，通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的抽象分析，建立相應(yīng)

的函數(shù)模型并用來(lái)解決問(wèn)題，是考試的熱點(diǎn).③考查運(yùn)用函數(shù)的思想來(lái)觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和

解決問(wèn)題，滲透數(shù)形結(jié)合和分類討論的基本數(shù)學(xué)思想.

第1課時(shí)函數(shù)及其表示

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

一、映射

1.映射：設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系F,對(duì)于集合A中的元素，在集

合B中都有元素和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)叫做到的映射，記

作.

2.象與原象：如果FA-B是一個(gè)A到B的映射，那么和A中的元素a對(duì)應(yīng)的叫做

象，叫做原象。

二、函數(shù)

1.定義：設(shè)A、B是,F:AfB是從A到B的一個(gè)映射，則映射/IA-B叫做A到B

的,記作.

2.函數(shù)的三要素為、、,兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)分別相同時(shí)，二者才

能稱為同一函數(shù)。

3.函數(shù)的表示法有、、o

典型例題

例1.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是().

A.y=l,y=—B.y=Jx-1Jx+1,y=y/x2

x

C.y=x,y=V?D.y=1x1,y=(Vx)2

解：C

變式訓(xùn)練1：下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x相同的函數(shù)是()

A.y=_B.y=(4)2C.y=lglOxD.y=2toS2X

x

解：C

例2,給出下列兩個(gè)條件：(1)f(GD=x+24；(2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.

試分別求出f(x)的解析式.

解：(1)令t=4+l,???t21,x=(t-1)2.

則f(t)=(t-l)2+2(tT)=t?T,即f(x)=x?T,x￡[1,+°°).

(2)設(shè)f(x)=ax'+bx+c(a#0),

:.f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,則f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.

.?.-4,???卜一?,又f(0)=3=>c=3,；?f(x)=X2-X+3.

[4a+2b=2[/?=-!

變式訓(xùn)練2：(1)已知f(2+1)=lgx,求f(x)；

(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)；

(3)已知f(x)滿足2f(x)+f(-)=3x,求f(x).

x

解：(1)令2+i=t,則奸衛(wèi)，

???f(t)=lg—,Af(x)=lg2,x￡(l,+8).

r-1x-1

(2)設(shè)f(x)=ax+b,則

3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a_2b=ax+b+5a=2x+17,

a=2,b=7,故f(x)=2x+7.

(3)2f(x)+f(-)=3x,①

X

把①中的X換成L,得2f(')+f(x)=3②

XXX

①X2-②得3f(x)=6x--,/.f(x)=2x~—.

xx

例3.等腰梯形ABCD的兩底分別為AD=2a,BC=a,NBAD=45°,作直線MN±AD交AD于M,交折線ABCD

于N,記AM二x,試將梯形ABCD位于直線MN左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù)，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域.

解：作BH_LAD,H為垂足，CG±AD,G為垂足，

依題意，則有AH=-,AG=-a.

22AAf|H~|MG|MD

(1)當(dāng)M位于點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，N￡AB,

由于AM=x,ZBAD=45°./.MN=x.x'(OWxW—).

2

(2)當(dāng)M位于HG之間時(shí)，由于AM=x,???MN二:BN=x4.

/.y=SAMNB=--[x+(x--)]=-ax--(—<x<-a).

2222822

(3)當(dāng)M位于點(diǎn)G的右側(cè)時(shí)，由于AM=x,MN=MD=2a-x.

-x)2——g(4屋-4ax+x2)=~~x：+2ax<x<2a).

??y=SABCD-SAMDN=—,—(26/+a)——(2t?

H]422

1

—x2xe

2

(a3_

綜上：y=*-ax--xe

28(22」

12c5。'(3_-

—x+2at---------xE\—a,2a

24

2

x>0,

變式訓(xùn)練3：已知函數(shù)f(x)='1,x=0,

x<0.

X

(1)畫(huà)出函數(shù)的圖象；(2)求f(l),f(T),f[/(-3的值.

解：(1)分別作出f(x)在x>0,x=0,xV0段上的圖象，如圖所示,作法略.

(2)f(l)=l2=l,f(-l)=--=l,f[/(-l)]=f(l)=l.

-------------_1

小結(jié)歸納

1.了解映射的概念，應(yīng)緊扣定義，抓住任意性和唯一性.

2.函數(shù)的解析式常用求法有：待定系數(shù)法、換元法(或湊配法)、解方程組法.使用換元法

時(shí)，要注意研究定義域的變化.

3.在簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中建立函數(shù)式，首先要選定變量，然后尋找等量關(guān)系，求得函數(shù)的解析式,

還要注意定義域.若函數(shù)在定義域的不同子集上的對(duì)應(yīng)法則不同，可用分段函數(shù)來(lái)表示.

第2課時(shí)函數(shù)的定義域和值域

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

一、定義域：

1.函數(shù)的定義域就是使函數(shù)式的集合.

2.常見(jiàn)的三種題型確定定義域：

①已知函數(shù)的解析式，就是.

②復(fù)合函數(shù)/l[g(x)]的有關(guān)定義域，就要保證內(nèi)函數(shù)g(x)的域是外函數(shù)/'(X)的—

域.

③實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的定義域，就是要使得有意義的自變量的取值集合.

二、值域：

1.函數(shù)尸f(X)中，與自變量X的值_______的集合.

2.常見(jiàn)函數(shù)的值域求法，就是優(yōu)先考慮,取決于,常用的方法有：

①觀察法；②配方法；③反函數(shù)法；④不等式法；⑤單調(diào)性法；⑥數(shù)形法；⑦判別式法；⑧

有界性法；⑨換元法(又分為法和法)

例如：①形如y=—1^,可采用法；②尸衛(wèi)％工_2),可采用法或

法③尸a[F(x)『+"(x)+c,可采用法④y=x—Vl-x，可采用法；

⑤y=x-&7,可采用________法；⑥尸上」可采用________法等.

2-cosx

典型例題

例1.求下列函數(shù)的定義域:

(2)y=1+V5-x-(3)y=Jx+lJx-1.

⑴*V/-3

解：⑴由題意得：:一化簡(jiǎn)得：：二

[IxI-x>0[lxl>x

即卜”二！故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x<0且x#T}.

x<0

（2）由題意可得卜“3"0,解得卜吃“

[5-x*>0-V5<x<>/5

故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|-行<xW后且xr±Vi}.

（3）要使函數(shù)有意義，必須有

二黑即故函數(shù)的定義域?yàn)榭?+8）-

變式訓(xùn)練1：求下列函數(shù)的定義域：

(1)y=IgQr)+(x-i)。；(2)y=-^—+(5x-4)°;(3)y=V25-x2+lgcosx;

Vl2+x-x2lg(4x+3)

[2-x>0(x<2

解：(1)由h2+x-/>o,得3Vx<4,所以-3VxV2且xWL

x-lwOxwl

故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?3,1）U（l,2）.

4x+3>0

(2)由4x+3w1,得,..?函數(shù)的定義域?yàn)榱顔崽铮?

5x-4w04

XX一

5

-5<x<5

(3)由[25Q。,得

[cosx>02k兀--<x<2k兀GZ)'

22

借助于數(shù)軸，解這個(gè)不等式組，得函數(shù)的定義域?yàn)椴诽?hào)）U（ggu既5

例2.設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇0,1],求下列函數(shù)的定義域.

(1)y=f(3x);(2)y=f(-);

X

⑶y=f(x+L)+〃x-L);(4)y=f(x+a)+f(x-a).

33

解：(1)0W3x〈l,故OWxWLy=f(3x)的定義域?yàn)閇0,1].

33

（2）仿（1）解得定義域?yàn)閇1,+8）.

(3)由條件，y的定義域是f(x+g)與(x-g)定義域的交集.

0<%+i<1

2

列出不等式組3n33=>—<x<—,

33

O<x--<1

333

故y=f(x+_L)+f(X__L)的定義域?yàn)?2.

33\_33_

(4)由條件得悴*+"'1=廣"d,討論：

[0<x-a<l[a<x<l+a

①當(dāng)卜Vl-d即OWaWL時(shí)，定義域?yàn)?

[\-a<1+?,2

②當(dāng)卜v-a'即一J.WaWO時(shí)，定義域?yàn)閇-a,1+a].

[-a<1+a,2

綜上所述：當(dāng)OWaW，時(shí)，定義域?yàn)閇a,1-a]；當(dāng),WaWO時(shí)，定義域?yàn)镽a,1+a].

22

變式訓(xùn)練2：若函數(shù)f(x)的定義域是[0,1],則f(x+a)-f(x-a)(0<a<l)的定義域是()

2

A.0B.[a,1-a]C.[-a,1+a]D.[0,1]

解：B

例3.求下列函數(shù)的值域：

⑴尸'""；(2)y=x-71-2x;(3)y=^-^-.

F-戈+1e*+1

解：(1)方法一(配方法)

Y=l----,而X2-AT+1=(X--)2+—,

x-x+1244

—4，?.值域?yàn)镮'M」].

x-x+1333)

方法二(判別式法)

由~^―,得(y-l)x2+(l-y)x+y=0.

x-x+l

Vy=l時(shí),xe0,.-.y^l.XVXGR,???必須△=(l—y)2—4y(yT)20.

.?.-夫”1.；尸1,...函數(shù)的值域?yàn)棰品椒ㄒ?單調(diào)性法)

定義域卜以411,函數(shù)y=x,y=-Jl-2x均在(-8.；上遞增，

故y^--Jl-2x-=-.

2V22

二函數(shù)的值域?yàn)?-8,；,

方法二(換元法)

令Jl-2x=t,則t20,且x二士Ay=--(t+1)2+l^-(t20),

222

，y￡(-8,1］.

2

(3)由尸上1得，e*二匕』.???/>(),即上工>0,解得一IVyVI.

e"+11-y\-y

二函數(shù)的值域?yàn)椋鹹|T<y<l｝.

變式訓(xùn)練3：求下列函數(shù)的值域：

(l)y=上土；(2)y=|x|>11-x2.

2x+5

解：(1)(分離常數(shù)法)丫=-4+；；；［；,

22(2x+5)2(2x+5)

...yr-L故函數(shù)的值域是｛y|yWR,且yW」｝.

22

(2)方法一(換元法)

Vl-x2^0,令x=sin?,則有y=|sin?cosa|=-sin2a|,

2

故函數(shù)值域?yàn)椋?,.

2

方法二y=|x?7T7=7-X4+X2=J-(r-l)2+l

...OWyWL即函數(shù)的值域?yàn)椤?」.

22_

例4,若函數(shù)f(x)='x2-x+a的定義域和值域均為［1,b］(b>l),求a、b的值.

2

解：*/f(x)=-(x-l)2+a--.

22

???其對(duì)稱軸為x=l,即［1,b］為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

Af(X)min=f(1)=a-y=l①

f(x)mux=f(b)=—b2-b+a=b②

2

._3

由①②解得"=5'

h=3.

變式訓(xùn)練4：己知函數(shù)f(x)=x2-4ax+2a+6(xeR).

(1)求函數(shù)的值域?yàn)椋?,+8)時(shí)的a的值；

(2)若函數(shù)的值均為非負(fù)值,求函數(shù)f(a)=2-a|a+的的值域.

解：(1),?,函數(shù)的值域?yàn)椋?,+8),

A=16a2-4(2a+6)=0=>2a2-a-3=0a=-l或a=3.

2

(2)對(duì)一切XWR,函I數(shù)值均非負(fù)，A=8(2a2-a-3)W0n-lWaW3,；.a+3>0,

2

f(a)-2~a(a+3)=-a'-3a+2=-(a+—)2+—(as-1,-1).

24L2」

,二次函數(shù)f(a)在-1,-上單調(diào)遞減，.，.f(a)?in=f(-)=-—,f(a)a=f(-1)=4,

L2j24011

??.f(a)的值域?yàn)?

4_

小結(jié)歸納

1.求函數(shù)的定義域一般有三類問(wèn)題：一是給出解釋式(如例1),應(yīng)抓住使整個(gè)解式有意義的

自變量的集合；二是未給出解析式(如例2),就應(yīng)抓住內(nèi)函數(shù)的值域就是外函數(shù)的定義域；

三是實(shí)際問(wèn)題，此時(shí)函數(shù)的定義域除使解析式有意義外，還應(yīng)使實(shí)際問(wèn)題或幾何問(wèn)題有意義.

2.求函數(shù)的值域沒(méi)有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法(如直接法、單調(diào)性法、有界

性法、配方法、換元法、判別式法、不等式法、圖象法)外，應(yīng)根據(jù)問(wèn)題的不同特點(diǎn)，綜合

而靈活地選擇方法.

第3課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

一、單調(diào)性

1.定義：如果函數(shù)尸f(X)對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值五、物

當(dāng)幾時(shí)，①都有,則稱F(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)，而這個(gè)區(qū)間稱函數(shù)的一

個(gè);②都有，則稱f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)，而這個(gè)區(qū)間稱函

數(shù)的一個(gè).

若函數(shù)/在整個(gè)定義域1內(nèi)只有唯一的一個(gè)單調(diào)區(qū)間，則AM稱為.

2.判斷單調(diào)性的方法：

(1)定義法，其步驟為：①；②；③.

(2)導(dǎo)數(shù)法，若函數(shù)y=F(x)在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上可導(dǎo)，①若,則/■(x)

在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；②若,則/?(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).

二、單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論

1.若f(x),g(x)均為增(減)函數(shù)，則/'(x)+g(x)函數(shù)；

2.若f(x)為增(減)函數(shù)，則一f(x)為；

3.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)有的單調(diào)性；

4.復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)相同，則f[g(x)]

為.若/'(X),g(x)的單調(diào)性相反，則/'[g(x)]為.

5.奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性，偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性.

典型例題

例1.已知函數(shù)f(x)=(a>l),證明：函數(shù)f(x)在(T,+8)上為增函數(shù).

X+1

證明方法一任取Xi,X2^(T,+8),

不妨設(shè)X1<X2,則X2-X1>O,>1且4>0,

/.“一=人(。"一1)>0,又Yxi+lX),x2+l>0,

?&-2_--2=(.-2)(.土+1)一(％—2)(工+1)=3(-一西)>.

x2+1xt+1(X］+1)(蒼+1)(X(+1)*2+1)

:

于是f(x2)-f(Xi)=?'-a">0,

x2+1+1

故函數(shù)f(x)在(-1,+8)上為增函數(shù).

方法二f(x)=ax+l-—(a>l),

x+1

求導(dǎo)數(shù)得廣(x)=a」na+—--,■>1,?,?當(dāng)x>-l時(shí)，axlna>0,--—>0,

(x+1)2U+1)2

;(幻>0在(-1,+8)上恒成立，則f(x)在(-1,+8)上為增函數(shù).

方法三???a>l,???尸T為增函數(shù)，

又y=3=l+二，在(-1,+8)上也是增函數(shù).

x+lX4-1

...y=a'+忙2在(-1,+8)上為增函數(shù).

x+l

變式訓(xùn)練1：討論函數(shù)f(x)=x+-(a>0)的單調(diào)性.

x

解：方法一顯然f(x)為奇函數(shù)，所以先討論函數(shù)f(x)在(0,+8)上的單調(diào)性,

設(shè)Xi>X2>0,則

f(Xi)-f(x2)=(Xi+—)-(x2+—)=(X|-X2)?(1--^-).

X,X,xtx2

???當(dāng)0<X2〈xW后時(shí)，—>1,

卒2

則f(X1)-f(x2)<0,即f(X1)Vf(X2),故f(x)在(0,4a］上是減函數(shù).

當(dāng)Xi>X22小時(shí)，OV/-V1,則f(X。-f(x2)>0,即f(xi)>f(X2),

中2

故f(x)在［/，+8)上是增函數(shù).???f(x)是奇函數(shù)，

???f(X)分別在(-8,-標(biāo)］、［后，+8)上為增函數(shù)；

f(X)分別在［-后，0)、(0,行］上為減函數(shù).

方法二由r(x)=i-4=o可得x=土石

X'

當(dāng)x>/7或X<-石時(shí)，r(x)>O.,.f(x)分別在(石，+W、(-8,-后]上是增函數(shù).

同理0<xV&或-〃'<xVO時(shí)，f'(x)<0

即f(x)分別在(0,&]、0)上是減函數(shù).

例2.判斷函數(shù)f(x)=GT在定義域上的單調(diào)性.

解：函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸lxWT或x'l｝,

則f(x)=Vx2-1,

可分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù).

f(x)=y/u(x),u(x)=x“T的形式.當(dāng)x2l時(shí)，u(x)為增函數(shù)，“(X)為增函數(shù).

.?.f(x)=GT在[1,+8)上為增函數(shù).當(dāng)xW-1時(shí)，u(x)為減函數(shù)，師為減函數(shù)，

，f(x)=J/-l在(-8,-1]上為減函數(shù).

變式訓(xùn)練2：求函數(shù)丫=1。與(4x-d)的單調(diào)區(qū)間.

2

解：由4X-X2>0,得函數(shù)的定義域是(0,4).令t=4x-x:則y=log,t.

Vt=4x-x2=-(x-2)2+4,.?.t=4x-X?的單調(diào)減區(qū)間是[2,4),增區(qū)間是(0,2].

又y二logj在(0,+8)上是減函數(shù)，

2

???函數(shù)y=l0gl(4x-x?)的單調(diào)減區(qū)間是(0,2],單調(diào)增區(qū)間是[2,4).

例3.求下列函數(shù)的最值與值域：

(1)y=4-y/3+2x-x2;(2)y=x+—;(3)y=Jx2+1+J(2-x>+4.

X

解：⑴由3+2x-x?由0得函數(shù)定義域?yàn)閇-1,3],又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.

AtG[0,4],[0,2],

從而，當(dāng)x=l時(shí)，y.in=2,當(dāng)x=T或x=3時(shí)，丫皿=4.故值域?yàn)閇2,4].

(2)方法一函數(shù)y=x+&是定義域?yàn)椋鹸1x^0｝上的奇函數(shù),故其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故只討論

X

x>0時(shí)，即可知x<0時(shí)的最值.

???當(dāng)x>0時(shí),y=x+±22「^二4,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取得.當(dāng)xVO時(shí)，y<4,

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)戶-2時(shí)取得.綜上函數(shù)的值域?yàn)?-8,一4]U[4,+8),無(wú)最值.

方法二任取X1,X2,且X1<X2,

因?yàn)閒(x.)-f(x2)=x,+A-(x2+A)=,

X,Ax,x2

所以當(dāng)xW-2或x22時(shí)，f(x)遞增，當(dāng)-2<x<0或0<x<2時(shí)，f(x)遞減.

故x=-2時(shí)，f(x)*A?=f(-2)=-4,x=2時(shí),f(x)黑*f(2)=4,

所以所求函數(shù)的值域?yàn)?-8,-4]U[4,+8),無(wú)最大(小)值.

(3)將函數(shù)式變形為y=7(X-O)2+(O-1)!+7(X-2):+(O+2):,

可視為動(dòng)點(diǎn)M(x,0)與定點(diǎn)A(0,1)、B(2,-2)距離之和，連結(jié)AB,則直線AB與x軸的交

點(diǎn)(橫坐標(biāo))即為所求的最小值點(diǎn).

yniin=|AB1=J(0-2f+(1+2『=->/l3>可求得X=1時(shí)，y?in=.

顯然無(wú)最大值.故值域?yàn)閇而，+8).

變式訓(xùn)練3：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月

最多生產(chǎn)100臺(tái)報(bào)警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x(x>0)臺(tái)的收入函數(shù)為R(x)=3000x-20x2(單位：元)，

其成本函數(shù)為C(x)=500x+4000(單位：元)，利潤(rùn)是收入與成本之差.

(1)求利潤(rùn)函數(shù)P(x)及邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)；

(2)利潤(rùn)函數(shù)P(x)與邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)是否具有相同的最大值？

解：(1)P(x)=R(x)-C(x)=(3000x-20x2)-(500x+4000)=-20x+2500x-4000

(xG[1,100]且xGN,)

MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)?+2500(x+1)-4000-(-20x2+2500x-4000)

=2480-40x(xG[1,1001且xdN).

(2)P(x)=-20(x-—)2+74125,當(dāng)x=62或63時(shí)，P(x)皿=74120(元).

2

因?yàn)镸P(x)=2480-40X是減函數(shù),所以當(dāng)x=l時(shí)，MP(x*2440(元).

因此，利潤(rùn)函數(shù)P(x)與邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)不具有相同的最大值.

例4.(2009?廣西河池模擬)已知定義在區(qū)間(0,+8)上的函數(shù)f(x)滿足f(五)=f(xi)-f(xz),且

x2

當(dāng)x>l時(shí)，f(x)<0.

(1)求f(D的值；

(2)判斷f(x)的單調(diào)性；

(3)若f(3)=-l,解不等式f(|x|)V-2.

解：(1)令x1=X2>0,代入得f(l)=f(x)-f(xJ=0,故f(1)=0.

(2)任取Xi,x?G(0,+8),且xi>xz,則上>1,由于當(dāng)x>l時(shí)，f(x)<0,

所以f(i)<0,即f(xJ-f(X2)<0,因此f(Xi)Vf(X2),

三

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+8)上是單調(diào)遞減函數(shù).

(3)由f(五)=f(x)-f6)得f(2)=f(9)-f(3),而f(3)=T,所以f(9)=-2.

占3

由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+8)上是單調(diào)遞減函數(shù)，

由f(|x|)Vf⑼，得|x|>9,；.x>9或xV-9.因此不等式的解集為{x|x>9或x<-9}.

變式訓(xùn)練4：函數(shù)f(x)對(duì)任意的a、bGR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)T,并且當(dāng)x>0時(shí),f(x)>l.

(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；

(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)V3.

解：⑴設(shè)X1,X2>R,且X1VX2,

則x2-Xi>0,/.f(x2-xi)>1.

f(x2)-f(Xi)=f((X2-X1)+Xi)-f(Xi)=f(X2-X1)+f(Xi)-1-f(Xi)=f(X2-X1)-1>0.

Af(x2)>f(xi).

即f(x)是R上的增函數(shù).

(2)Vf(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,

，f(2)=3,

?,?原不等式可化為f(3m2-m-2)<f(2),

???f(x)是R上的增函數(shù)，./-nr2V2,

解得-l<mV上故解集為(-1,1).

----------------------33

小結(jié)歸納

1.證明一個(gè)函數(shù)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)的方法有：(1)定義法.其過(guò)程是：作差一一變形

一判斷符號(hào)，而最常用的變形是將和、差形式的結(jié)構(gòu)變?yōu)榉e的形式的結(jié)構(gòu)；(2)求導(dǎo)法.其

過(guò)程是：求導(dǎo)一一判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)一一下結(jié)論.

2.確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法有：(1)觀察法；(2)圖象法(即通過(guò)畫(huà)出函數(shù)圖象，觀察圖

象，確定單調(diào)區(qū)間)；(3)定義法；(4)求導(dǎo)法.注意：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間一定要在定義域內(nèi).

3.含有參量的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，可分為兩類：一類是由參數(shù)的范圍判定其單調(diào)性：一類是

給定單調(diào)性求參數(shù)范圍，其解法是由定義或?qū)?shù)法得到恒成立的不等式，結(jié)合定義域求出參

數(shù)的取值范圍.

第4課時(shí)函數(shù)的奇偶性

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.奇偶性：

①定義：如果對(duì)于函數(shù)f(X)定義域內(nèi)的任意X都有,則稱f(X)為奇函數(shù)；

若,則稱f(X)為偶函數(shù).如果函數(shù)f(X)不具有上述性質(zhì)，則f5)不具

有.如果函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，則/?(,?.

②簡(jiǎn)單性質(zhì):

1)圖象的對(duì)稱性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于對(duì)稱；一個(gè)函數(shù)

是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于對(duì)稱.

2)函數(shù)/Xx)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于對(duì)稱.

2.與函數(shù)周期有關(guān)的結(jié)論：

①已知條件中如果出現(xiàn)了(x+。)=一/(x)、或/(x+a)/(x)=m(.a>m均為非零常數(shù)，

a>0),都可以得出/(x)的周期為；

②y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0),(i?,0)中心對(duì)稱或y=/(x)的圖象關(guān)于直線》=a,x=b

軸對(duì)稱，均可以得到/(x)周期

典型例題

例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性.

(1)f(x)=Vx2-I-Vl-x!；

!

(2)f(x)=log2(x+Vx+1)(xGR);

(3)f(x)=lg|x-2|.

解：(1)7-120且IT》。,.”=±1,即f(x)的定義域是｛-1,1｝.

Vf(1)=0,f(-l)=0,.*.f(l)=f(-l),f(-l)=-f(l))

故f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(2)方法一易知f(x)的定義域?yàn)镽,

X*.'f(-x)=log2[_-x++1]=log?---1==-log2(x++1)=-f(x),

；.f(x)是奇函數(shù).

方法二易知f(x)的定義域?yàn)镽,

:

又Yf(-x)+f(x)=log2[-x+7(-x)+l]+log2(x++1)=log2l=0,即f(-x)=-f(x),

/.f(x)為奇函數(shù).

(3)由|x-2|>0,得x#2.

Af(x)的定義域(x|x#2｝關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù).

變式訓(xùn)練1：判斷下列各函數(shù)的奇偶性：

(1)f(x)=(x-2)，叵

x+2

(3)f(x)二0(lxl<l),

—x+2(x>1).

解：(1)由"得定義域?yàn)閇-2,2),關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù).

2-x

(2)由1丁)°'得定義域?yàn)?-1,0)U(0,1).

[Ix2-2l-2^0.

這時(shí)f(X)=聯(lián)1一二..=_幽二工

-，-2)-2/

Vf(-x)=-巫印=-嗎蟲(chóng)=小)，(X)為偶函數(shù).

(-X)'X-

(3)x<-l時(shí)，f(x)=x+2,-x>l,：.f(-x)=-(-x)+2=x+2=f(x).

x>l時(shí)，f(x)=-x+2,-x<-l,f(-x)=x+2=f(x).

TWxWl時(shí)，f(x)=0,TW-x〈l,f(-x)=0=f(x).

.??對(duì)定義域內(nèi)的每個(gè)x都有f(-x)=f(x).因此f(x)是偶函數(shù).

例2已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,yGR時(shí),恒有f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；

(2)如果xeR\f(x)V0,并且f(1)=-工，試求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最值.

2

(1)證明：：函數(shù)定義域?yàn)镽,其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

Vf(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x,/.f(0)=f(x)+f(-x).x=y=O,

Af(0)=f(0)+f(0),Wf(0)=0.Af(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x),

.?.f(x)為奇函數(shù).

(2)解：方法一設(shè)x,yGR,(x+y)=f(x)+f(y),

f(x+y)-f(x)=f(y).".,xGR,f(x)<0,

...f(x+y)-f(x)<0,，f(x+y)<f(x).

Vx+y>x,；.f(x)在(0,+8)上是減函數(shù).又Ff(x)為奇函數(shù),f(0)=0,

：.f(x)在(-8,+8)上是減函數(shù)..1f(-2)為最大值，f(6)為最小值.

Vf(1)=-1,.\f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f(2)]=-3.

2

工所求f(x)在區(qū)間E-2,6]上的最大值為1,最小值為-3.

方法二設(shè)xi<x2,且xi,X2^R.

則f(X2-Xi)=f[x2+(-X1)]=f(x2)+f(-X1)=f(X2)-f(Xi).

Vx2-Xi>0,Af(X2-Xi)<0.Af(x2)-f(Xi)<0.即f(x)在R上單調(diào)遞減.

：.f(-2)為最大值，f(6)為最小值.(1)=-L

2

：.f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2[f(1)+f⑵]=-3.

所求f(x)在區(qū)間[-2,6]上的最大值為1,最小值為-3.

變式訓(xùn)練2：己知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xG(-8,0)時(shí),f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.

解：(x)是奇函數(shù)，可得f(0)=-f(0),.??f(0)=0.

當(dāng)x>0時(shí)，-x<0,由已知f(-x)=xlg(2+x),.，.-f(x)=xlg(2+x),

)

即f(x)=-xlg(2+x)(x>0)..,.f(x)=Hlg(2-JCU<0),

l-xlg(2+x)(x>0).

即f(x)=-xlg(2+|x|)(xSR).

例3已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足f(x+2)=-f(x).

(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；

(2)若f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)OWxWl時(shí)，f(x)='x,求使f(x)=-,在[0,2009]上的所有x的個(gè)

22

數(shù).

(1)證明：Vf(x+2)=-f(x),

：.f(x+4)=-f(x+2)=-L-f(x)]=f(x),

???f(x)是以4為周期的周期函數(shù).

(2)解：當(dāng)OWxWl時(shí),f(x)=~x,

2

設(shè)TWxWO,貝！JO〈-xWl,'f(-x)=—(-x)-x.

22

?；f(x)是奇函數(shù),Af(-x)=-f(x),

A-f(x)=--x,即f(x)=—x.

22

故f(x)二—x(-l^x^l)

2

又設(shè)1VxV3,則TVx-2V1,

f(x-2)=—(x-2),

2

XVf(x-2)=-f(2-x)=-f((-x)+2)=-[-f(-x)J=-f(x),

.\-f(x)=—(x-2),

2

/.f(x)(x-2)(l<x<3).

2

-x(-1<X<1)

：.f(x)=2

-yU-2)(1<X<3)

由f(x)=-L解得x=T.

2

Vf(x)是以4為周期的周期函數(shù).故f(x)二-工的所有x=4n-l(nGZ).

2

令0W4n-l<2009,則

42

XVnSZ,，lWnW502(nSZ),

在［0,2009］上共有502個(gè)x使f(x)=-L

2

變式訓(xùn)練3：已知函數(shù)f(x)=x'+|x-a|+l,aWR.

(1)試判斷f(x)的奇偶性；

(2)若--求f(x)的最小值.

22

解：(1)當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(-x)=(-x)z+|-x|+l=f(x),

此時(shí),f(x)為偶函數(shù).當(dāng)aWO時(shí),f(a)=a2+l,f(-a)=a2+2|a|+l,

f(a)Wf(-a),f(a)#-f(-a),此時(shí)，f(x)為非奇非偶函數(shù).

(2)當(dāng)xWa時(shí)，f(x)=x2-x+a+l=(x--)2+a+—,

24

TaWL故函數(shù)f(x)在(-8,a］上單調(diào)遞減，

2

從而函數(shù)f(x)在(-co,a］上的最小值為f(a)=1+1.

當(dāng)x2a時(shí)，函數(shù)f(x)=x2+x-a+l=(x+—)2-a+—,

24

故函數(shù)f(x)在［a,+8)上單調(diào)遞增，從而函數(shù)f(x)在［a,+8)上的

2

最小值為f(a)=a2+l.

綜上得，當(dāng)-時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為a2+l.

22

小結(jié)歸納

1.奇偶性是某些函數(shù)具有的一種重要性質(zhì)，對(duì)一個(gè)函數(shù)首先應(yīng)判斷它是否具有這種性質(zhì),判

斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)首先檢驗(yàn)函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后根據(jù)奇偶性的定義判斷(或

證明)函數(shù)是否具有奇偶性.如果要證明一個(gè)函數(shù)不具有奇偶性，可以在定義域內(nèi)找到一對(duì)

非零實(shí)數(shù)a與一a,驗(yàn)證f(a)±f(—a)W0.

2.對(duì)于具有奇偶性的函數(shù)的性質(zhì)的研究，我們可以重點(diǎn)研究y軸一側(cè)的性質(zhì)，再根據(jù)其對(duì)稱

性得到整個(gè)定義域上的性質(zhì).

3.函數(shù)的周期性：第一應(yīng)從定義入手，第二應(yīng)結(jié)合圖象理解.

第5課時(shí)指數(shù)函數(shù)

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.根式：

⑴定義：