向量學(xué)案 向量的概念

向量學(xué)案(1)向量的概念

1.理解向量的概念，掌握向量的兒何表示；

2.了解零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念，并會(huì)辨認(rèn)圖形中的相等向量或出

與某一已知向量相等的向量；

3.了解平行向量的概念.

.■含復(fù)習(xí)

在物理學(xué)科中有一個(gè)名詞叫矢量,那么矢量的定義是:

乩拼新課

1.向量的概念：________________________________________________

2.向量的表示方法：____________________________________________

3.向量的模：__________________________________________________

4.零向量:______________________________________

5.單位向量：__________________________________________________

6.平行向量：__________________________________________________

7.相等向量：__________________________________________________

6.共線向量與平行向量關(guān)系:

探究:

1.向量能比較大小嗎?

2.實(shí)數(shù)與向量能進(jìn)行運(yùn)算嗎?

3.向量與向量能進(jìn)行運(yùn)算嗎？

4.向量與有向線段的區(qū)別與聯(lián)系：

例1判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.

①向量而與而是共線向量，則4、B、a〃四點(diǎn)必在一直線上;

②單位向量都相等；

③任一?向量與它的相反向量不相等；

④四邊形1版是平行四邊形的充要條件是而=反；

⑤模為0是一個(gè)向量方向不確定的充要條件；

⑥共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同.

例2下列命題正確的是（）

A.不與B共線，B與5共線，則1與5也共線

B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)

C.向量2與B不共線，則不與B都是非零向量

D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行

《收占練習(xí)

1.平行向量是否一定方向相同？

2.不相等的向量是否一定不平行？

3.與零向量相等的向量必定是什么向量？

4.與任意向量都平行的向量是什么向量？

5.若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量?

6.兩個(gè)非零向量相等的充要條件是什么？

7.共線向量一定在同一直線上嗎？

8.如圖，設(shè)0是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量次、0B,反相等的向量.

轡也作業(yè)

1.下列各量中不是向量的是（）A.浮力R風(fēng)速C.位移D.密度

2.下列說法中第送的是（）

A.零向量是沒有方向的B.零向量的長度為0

C.零向量與任一向量平行D.零向量的方向是任意的

3.把平面上一切單位向量的始點(diǎn)放在同一點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是（）

A.一條線段B一段圓弧C.圓上一群孤立點(diǎn)D.一個(gè)圓

4.“兩個(gè)向量共線”是“這兩個(gè)向量方向相反”的條件.

5.已知非零向量若非零向量三〃鼠則3與3必定.

6.已知0、B是兩非零向量，且正與很不共線，若非零向量乙與之共線,則三與很必定.

7.在△49C中，49=”；。、月分別是4?、”1的中點(diǎn)，則（）

A.還與公共線B.而與而共線

C.而與荏相等I).而與麗相等

8.下列命題正確的是()

A.向量而與麗是兩平行向量

艮若a、B都是單位向量，則不=?

c.若麗=灰，則4B、a〃四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形

D.兩向量相等的充要條件是它們的始點(diǎn)、終點(diǎn)相同

9.在下列結(jié)論中，正確的結(jié)論為()

⑴萬〃3且I是萬的必要不充分條件

(2)2〃3且|2|=出I是2=3的既不充分也不必要條件

⑶二與B方向相同且21=1B|是不=5的充要條件

(4)心與B方向相反或*IrIBI是萬rB的充分不必要條件

A.⑴⑶8.⑵⑷C.⑶⑷D.⑴⑶⑷

10.把平行于某一直線的一切向量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)，則終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是;若這些向

量為單位向量,則終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是.

11.已知而1=1,IAC1=2,若/孫華60。，貝IJI前|=.

12.在四邊形力及力中，而=反，且|而=而則四邊形被力是—.

13.設(shè)在平面上給定了一個(gè)四邊形點(diǎn)從L、M、N分別是4氏BC、CD、加的中點(diǎn)，

求證：KL=NM.

14.某人從力點(diǎn)出發(fā)向西走了200m到達(dá)6點(diǎn)，然后改變方向向西偏北60°走了450m到達(dá)「點(diǎn),

最后又改變方向，向東走了200m到達(dá)D點(diǎn).

(1)作出向量A3、BC、CD(1cm表示200m).

(2)求方的模.

15.如圖，已知四邊形428是矩形，設(shè)點(diǎn)集/={4、B、C、￡>},求集合T={而|P、QGM,且尸、

Q不重合}.

而雅學(xué)多⑵癡下的加法芻減注(-)

一與會(huì)月標(biāo)

(1)掌握向量加法的定義；

(2)會(huì)用向量加法的三角形法則和向量的平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量;

(3)掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算.

10復(fù)習(xí)

1.向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量.

2.向量的表示方法：

①用有向線段表示；

②用字母萬、B等表示；

③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：而；

④向量而的大小——長度稱為向量的模，記作I而I.

3.零向量、單位向量概念：

①長度為0的向量叫零向量，記作0.6的方向是任意的.

②長度為1個(gè)單位長度的向量，叫單位向量.零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確

定方向.

4.平行向量定義：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；7/

②我們規(guī)定6與任一向量平行.向量不、B、不平行,記作

萬〃B//c.

5.相等向量定義：

長度相等且方向相同的向量叫相等向量.

(1)向量2與3相等，記作2=6；

（2）零向量與零向量相等；

（3）任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).

6.共線向量與平行向量關(guān)系：

平行向量就是共線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上.

（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；

（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.

7.對向量概念的理解

麗的字母是有順序的，起點(diǎn)在前終點(diǎn)在后，所以我們說有向線段有三個(gè)要素：起點(diǎn)、方

向、長度；既有大小又有方向的量，我們叫做向量，有二個(gè)要素：大小、方向.向量不能比較

大小；實(shí)數(shù)與向量不能相加減，但實(shí)數(shù)與向量可以相乘.

向量與有向線段的區(qū)別：向量是自由向量，只有大小和方向兩個(gè)要素；與起點(diǎn)無關(guān)：只要

大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量；有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起

點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.

一金—新遽

1.向量的加法：____________________________________________________

2.向量加法的交換律：_____________________

3.向量加法的結(jié)合律：______________________

=例題.如圖，一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以2瓶用//2的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時(shí)河水的

流速為2km/h，求船的實(shí)際航行的速度的大小與方向（用與流速間的夾角表示）.

AB

壯區(qū)練習(xí)

1.一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以2/能/力的速度向垂直于對岸的方向行駛，船的實(shí)際航行的速度的大

小為4而//?,求水流的速度.

2.一艘船距對岸46km,以2百人機(jī)/〃的速度向垂直于對岸的方向行駛，到達(dá)對岸時(shí)，船的

實(shí)際航程為8km,求河水的流速.

3.一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以》的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為V2,船的實(shí)際

航行的速度的大小為4如J//Z,方向與水流間的夾角是60。，求力和V?.

4.一艘船以5km/h的速度在行駛，同時(shí)河水的流速為2km/h,則船的實(shí)際航行速度大小最大是

km/h,最小是km/h.

d區(qū)作業(yè)

1.已知兩個(gè)力F1,F2的夾角是直角，且已知它們的合力F與F1的夾角是60。，|F|=10N求F1和

F2的大小.

2.用向量加法證明：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

而量孽多⑶而量的加注芻減注(二)

一與會(huì)月標(biāo)

(1)了解相反向量的概念；

(2)掌握向量的減法，會(huì)作兩個(gè)向量的減向量.

/\肅復(fù)習(xí)

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二個(gè)要素：大小、方向.

2.向量的表示方法：

①用有向線段表示；

②用字母2、3等表示；

③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：而；

④向量而的大小一一長度稱為向量的模，記作|AB.

3.零向量、單位向量概念：

①長度為0的向量叫零向量，記作0.6的方向是任意的.

②長度為1個(gè)單位長度的向量，叫單位向量.零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確

定方向.

4.平行向量定義：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我們規(guī)定。與任一向量平行.向量d、B1平行，記作。〃B.

5.相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.

6.共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量.

7.向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.

幾何中向量加法是用幾何作圖來定義的，一般有兩種方法，即向量加法的三角形法則(“首尾

相接，首尾連”)和平行四邊形法則.

8.向量加法的交換律：a+b=h+a

9.向量加法的結(jié)合律：（N+B）+0=5++1）

2新課

向量的減法：

例L已知向量1、b、c.d,求作向量。-3、c-d.

例2.平行四邊形ABC。中，而=0,AD^b,用2,B表示向量衣、DB.

練習(xí):

L下列等式:①方+。=1②B+G=G+B(§)-(-a)=a?a+(-a)=0⑤彳+(-3)=”3

正確的個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

2.下列等式中一定能成立的是()

A.AB+AC=BCB.AB-AC=~BC

C.AB+AC=CBD.AB-AC=CB

3.化簡歷-行+麗+豆的結(jié)果等于（）

A.QPB.OQC.SPD.SQ

4.已知OA=1,OB,若|OA|=12,|OB\=5,且//吩90。，貝ij|2|=.

5.在正六邊形四刎尸中，AE=m,而=萬，則而=.

6.已知萬、b是非零向量，則|=|a|+|b|時(shí)，應(yīng)滿足條件.

作業(yè)

1.在中，BC=a,則族等于（）

A.a+bB.-G+（-B）C.a-bD,h-a

2.0為平行四邊形力版平面上的點(diǎn)，設(shè)刀=鼠OB^h,OC=c,OD=乙則（）

A.a+b+c+d=6B.a-b+c-d=0

C.a+b-c-d-（）D.a-b~c+d=0

3.在下列各題中，正確的命題個(gè)數(shù)為（）

⑴若向量2與3方向相反，且I。II,則。+B與。方向相同

⑵若向量5與3方向相反，且121AB，則與辦行方向相同

⑶若向量。與3方向相同，且I。|<4I,則。與。方向相反

⑷若向量。與B方向相同，且|十<|3,則萬與彳+很方向相反

AC

ab

B

a+/?+c-rf=.

5.一艘船從4點(diǎn)出發(fā)以2jikm/h的速度向垂直于對岸的方向行駛,而船實(shí)際行駛速度的大小

為4km/h,則河水的流速的大小為.

6.若I、B共線且京+分＜\a-b|成立，則G與彼的關(guān)系為.

7.在五邊形碗'中，設(shè)A8=1,AE=b,BC-c,ED=2,用G、B、0、2表示CD.

8.已知0是矩形力國力的對角線〃'與做的交點(diǎn)，若麗=。，BC^b,歷=口試證

明：1B=OB.

而整孽拿（4）窕敷⑨而雅的獨(dú)（一）

1.掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義，理解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義；

2.掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律；

3.理解兩個(gè)向量共線的充要條件，能夠運(yùn)用共線條件判定兩向量是否平行.

'■就復(fù)習(xí)

1.向量的概念：

2.向量的表示方法：

3.零向量、單位向量概念：

4.平行向量定義：

5.相等向量定義：

6.共線向量與平行向量關(guān)系：

7.向量的加法：

8.向量加法的交換律：

9.向量加法的結(jié)合律

10.向量的減法:

11.差向量的意義：

’3新課

1.已知非零向量不，試作出不+1+。和(一3)+(-))+(-))

2.實(shí)數(shù)與向量的積:

3-5-

3.試作出士a與26

23

4.運(yùn)算定律:

5.向量共線的充要條件

例1.若3比+2”=1,in—3?=b,其中三，B是已知向量，求而，n.

例2.凸四邊形4及力的邊AD、a'的中點(diǎn)分別為E、F,求證:

EF=~(ZB+DC).

2

咎幺練習(xí)

1.判斷向量萬=-22與B=2?是否共線?

2.如圖，網(wǎng)，是△48C的中位線，求證：網(wǎng)―工8G魚MN〃BC.

2

等以作業(yè)

1.當(dāng)人EZ時(shí)，驗(yàn)證：X(a+b)=X5+X.

2.在aABC中，AB=a,~BC=b,AD為邊BC的中線，G為aABC的重心，求向量衣.

3.在。ABCD中，設(shè)對角線前=2,而=6試用鼠B表示而，BC.

4.設(shè)不，心是兩個(gè)不共線向量，已知而=24+嗚，而=4+3司，麗=24-a,若三點(diǎn)

A,B,D共線，求k的值.

孽拿（5）數(shù)與命/的窗（二）

目標(biāo)

1.了解平面向量基本定理；

2.掌握平面里的任何?個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示，理解這是應(yīng)用向量解

決實(shí)際問題的重要思想方法；

3.能夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達(dá).

復(fù)習(xí)

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二個(gè)要素：大小、方向.

2.向量的表示方法：①用有向線段表示；②用字母彳、5等表示；

3.零向量、單位向量概念：①長度為0的向量叫零向量，

②長度為1個(gè)單位長度的向量，叫單位向量；

4.平行向量定義：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我們規(guī)定0與任一向量平行晌量B5平行，記作〃乙

5.相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.

6.共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量.

7.向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.

向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.

8.向量加法的交換律：a+b=b+a

9.向量加法的結(jié)合律：(之+日)+1=d+(3+1)

10.向量的減法向量方加上的B相反向量，叫做彳與B的差.即：a-b=a+(-b)

11.差向量的意義：04=a,OB=則BA=)一B

即)-B可以表示為從向量日的終點(diǎn)指向向量彳的終點(diǎn)的向量.

12.實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)人與向量不的積是一個(gè)向量，記作：Xa

(1)|Xa|=|X||a|；

(2)A>0時(shí)入。與2方向相同；入<0時(shí)入5與2方向相反；入=0時(shí)人行=0

13.運(yùn)算定律結(jié)合律：入3菊=(入㈤之

分配律：(X+|i)6z=Xaa入(2+b尸入G+入b

14.向量共線定理向量在與非零向量2共線的充要條件是：有且只有個(gè)非零實(shí)數(shù)入，

使B=入a.

2新課

(共面向量定理)

平面向量基本定理：如果不，馬是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這?.平面內(nèi)的

任一向量不，有且只有一對實(shí)數(shù)人”入2使入14+入2%

探究：(1)我們把不共線向量不、當(dāng)叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底;

(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；

(3)由定理可將任向量值在給出基底不、馬的條件下進(jìn)行分解；

(4)基底給定時(shí)，分解形式惟一.3是被石，不，當(dāng)唯一確定的數(shù)量.

例1已知向量不，&，求作向量-2.5R+3a.

例2如圖OABCD的兩條對角線交于點(diǎn)M,且而=萬，而"用G,B表示話，MB,

砒和麗

例3己知口ABCD的兩條對角線AC與BD交于E,0是任意一點(diǎn),

求證：0A+0B+0C+0D=40E

例4如圖，0A,無不共線，AP=tAB（teR）用次，而表示而.

1.設(shè)R、瓦是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有（）

A.R、e2一定平行

B.0、e2的模相等

C.同一平面內(nèi)的任一向量2都有2=44+（八、〃eR）

D.若a、&不共線，則同一平面內(nèi)的任-向量,都有0+〃當(dāng)（兒UGR）

2.已知矢量,=4-2&,5=2R+a,其中不、&不共線，則5+祝與m=64-2&的關(guān)系（）

A.不共線B.共線C.相等D.無法確定

3.已知向量不、02不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足（3尸4月不+（2『3y）e2=6et+3e2,則尸y的值等于（）

A.3B,-3C.0D.2

4.若萬、B不共線，且15+=6（X,〃GR）則4=,〃=

5.已知萬、b不共線，且己=4百+九3（3,九CR）,若了與3共線，則兒=__

6.已知3>0,乙>0,不、&是一組基底，且方=入4+4應(yīng)，則2與42與

耳（填共線或不共線）.

作業(yè)

1.下面向量2、b共線的有（）

⑴萬=24，/?=-2瓦(2)a=ei-e2,b=-2ex+2e2

2-1-

⑶1=40-《■馬,匕=4-歷馬⑷彳=4+&，8=24-25.(0、&不共線)

A.(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(1)(3)(4)D.⑴⑵⑶⑷

2.設(shè)一直線上三點(diǎn)/、A/滿足衣=4而(4W±D,0是空間一點(diǎn)，則而用而、麗表

示式為()

A.OP^OA+AOBB.04+(1-A)OB

ck;OA+^OB―-1―-1一

C.0P=----------D.OP=-OA+——OB

41-2

3.若B是不共線的兩向量，且48=九,+日，AC=a+A2b（九、/heR）,則力、B、C三

點(diǎn)共線的充要條件為（）

A.Ai=A2——1B.Ai=Ak1C.4142+1—0D.4?42~1—0

4.若萬=-R+3&,b=4R+2&,干=-3R+12&,則向量方寫為八防+，干的形式是

5.已知兩向量0、&不共線，之=2R+&,B邙4-24a,若窗與B共線,則實(shí)數(shù)A=

6.設(shè)平面內(nèi)有四邊形4及力和點(diǎn)。0A=a,OB^b,0C=c,

0D=d,萬+1=B+才，則四邊形｛定力的形狀是

―?—■-1

7.如圖，平行四邊形46（力中，AB=a,AD=b,H、M是AD、之中點(diǎn)，F(xiàn)梗_BF=-BC,

3

以1、B為基底分解向量麗7與而.

PO——■

8.如圖，。是三角形46C內(nèi)一點(diǎn)，PQ//BC,且上=t,OA^a,OB

BC

=b,0C=c,求而與質(zhì).

9.已知平行四邊形力切9,E、尸分別是小和小的中點(diǎn)，求證：AE//CR

DEc

10.設(shè)雨、礪不共線,點(diǎn)夕在。、力、6所在的平面內(nèi)，且赤=(1T)OA+tOB(tGR),^

證力、B、尸三點(diǎn)共線.

11.當(dāng)不為零的兩個(gè)向量5、b不平行時(shí)，求使=6成立的充要條件.

向量學(xué)案(6)年百而皆的金杼色等(-)

(1)理解平面向量的坐標(biāo)的概念;

(2)掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；

(3)會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.

1.向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的力口法.

向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.

2.向量加法的交換律：a+b+a

3.向量加法的結(jié)合律：

(a+b)+c=a+(b+c)

4.向量的減法向量力加上的B相反向量，叫

做行與B的差.即：a-b=a+(-b)

5.差向量的意義：04=鼠0B=b,則氏4=萬-h

即。-B可以表示為從向量在的終點(diǎn)指向向量方的終點(diǎn)的向量.

6.實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)人與向量方的積是一個(gè)向量，記作：X5

(1)|人不|=|人||萬|；(2)人＞0時(shí)入屋與2方向相同；入＜0時(shí)入值與5方向相反；入=0時(shí)入不=0

7.運(yùn)算定律A.(pa)=(A,(x+|i)5=A.5+]i5,A.(a+b)=^a+A.b

8.向量共線定理向量B與非零向量。共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)入，使5=

Xa.

9.平面向量基本定理：如果不，&是同平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這?平面內(nèi)的

任一向量二有且只有一對實(shí)數(shù)%,“使方=人向+入2瓦

(1)我們把不共線向量身、&叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的?組基底;

(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線;

(3)由定理可將任響量不在給出基底0、弓的條件下進(jìn)行分解:

(4)基底給定時(shí)，分解形式惟二％,L是被2,當(dāng)唯一確定的數(shù)量?

2新課

i.平面向量的坐標(biāo)表示

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)若B(x2,y2),則而=

(2)若萬=(X1,yJ,b={x2,y2),則5+B=

a-b=___________

(3)若2=(x,y)和實(shí)數(shù)4,則21=

例1已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,1),B(-l,3),C(3,4),求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行

四邊形四個(gè)頂點(diǎn).

例2已知三個(gè)力耳=(3,4),F2=(2,-5),K(x,y)的合力6+工+K=。

求凡的坐標(biāo).

dW練習(xí)

1.若M(3,-2)N(-5,-l)J3.MP=-MN,求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

2

2.若A(0,1),B(l,2),C(3,4)則而-2死=

3.已知：四點(diǎn)A(5,1),B(3,4),C(l,3),D(5,-3)求證:四邊形ABCD是梯形.

f<(7)年而而詈的生杼運(yùn)算(二)

*3目標(biāo)

(1)理解平面向量的坐標(biāo)的概念;

(2)掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；

(3)會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.

復(fù)習(xí)

1.向量的加法：

2.向量加法的交換律：

3.向量加法的結(jié)合律：

4.向量的減法：

5.差向量的意義：

6.實(shí)數(shù)與向量的積：

7.運(yùn)算定律：

8.向量共線定理：

9.平面向量基本定理：

10.平面向量的坐標(biāo)表示：

11.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

心新課

試?yán)斫?3#6)的充要條件是%丫2—*2%=0

例1若向量。=(-l,x)與B=(-x,2)共線且方向相同，求x..

例2已知A(-l,-1),B(l,3),C(l,5),D(2,7),向量而與而平行嗎？直線AB與平行于

直線CD嗎？

練習(xí)

1.若。二(2,3),B=(4,T+y),且萬〃5，則y=()

A.6B.5C.7D.8

2.若夙1,3),C(2,5)三點(diǎn)共線，則x的值為()

A.-3B.-1C.1D.3

3?若而二:+2亍，5C=(3-%)7+(4-T)J(其中7、］的方向分別與X、y軸正方向相同且

為單位向量).而與加共線，則x、y的值可能分另U為()

A.1,2B.2,2C.3,2D.2,4

4.已知5=(4,2),B=(6,力，且五〃B,則y=

5.已知5=(1,2),B=(x,1),若2+2^與2口-3平行,則x的值為

6.已知口力奧四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為力(5,7),〃(3,x),C(2,3),〃(4,x),則尸

作業(yè)

1.若。=(刈，%),5=(X2,九)，且彳〃5,則坐標(biāo)滿足的條件為()

K.x\X2—y\y2=0B.xiyi-x2y2=0

C.x\y2+x2y\=0D.x\y2—x2y1=0

31

2.設(shè)五二(—,sina),h={cosa,—),且彳〃b,則銳角a為()

23

A.30°B.60°C.45°D.75°

3.設(shè)〃￡R,下列向量中，與向量之二(1,-1)一定不平行的向量是()

A.a,A)B.(-A,-A)

C.(k'+1,K+l)D.(A-2—1,k2—1)

4.若-1),27(1,3),以x,5)三點(diǎn)共線，則尸

5.已知打二⑶2),3二(2,-1),若42+5與之+力6(入￡R)平行，則A=

6.已知萬二(1,2),B二(-3,2),當(dāng)左為何值時(shí)左。+彼與彳-3?平行？

7.已知力、B、a〃四點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(1,0),以4,3),C(2,4),〃(0,2),試證明：四邊形力閱9

是梯形.

—?1--------1—

8.已知43、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-1,0）、（3,一1）、（1,2）,4七二一AC,8F=—5C,求證:

33

EF//AB.

府登厚廉（8）碳魚的定叨分點(diǎn)

目標(biāo)

1.掌握線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式及線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式;

2.熟練運(yùn)用線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式;

3.理解點(diǎn)P分有向線段五月所成比人的含義;

4.明確點(diǎn)P的位置及入范圍的關(guān)系.

2復(fù)習(xí)

1.向量的加法：

2.向量加法的交換律：

3.向量加法的結(jié)合律：

4.向量的減法：

5.差向量的意義：

6.實(shí)數(shù)與向量的積：

7.運(yùn)算定律：

8.向量共線定理：

9.平面向量基本定理：

10.平面向量的坐標(biāo)表示：

11.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

12.a//b的充要條件：

J新課

1.線段的定比分點(diǎn)及定比人

2.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式:

3.點(diǎn)P的位置與人的范圍的關(guān)系:

例1已知A(l,3),B(-2,0),C(2,1)為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，L、M、N分別是BC、CA、

AB上的點(diǎn)，滿足BL：BC=CM：CA=NA:AB=1：3,求L、M、N三點(diǎn)的坐標(biāo).

例2已知三點(diǎn)A(0,8),B(-4,0),C(5,一3),D點(diǎn)內(nèi)分而的比為1：3,E點(diǎn)在BC邊上,

且使ABDE的面積是aABC面積的一半，求DE中點(diǎn)的坐標(biāo).

練習(xí)

1.已知點(diǎn)A(—2,-3),點(diǎn)B(4,1),延長AB到P,使|AP|=3|PB|,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.已知兩點(diǎn)Pl(3,2),P,(-8,3),求點(diǎn)P(],y)分4鳥所成的比人及y的值.

作業(yè)

1.已知點(diǎn)A分有向線段前的比為2,則在下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

—?1—

A.點(diǎn)C分A6的比是--B.點(diǎn)C分員4的比是-3

3

―2—?

C.點(diǎn)B分AC的比是--D.點(diǎn)A分C6的比是2

3

7——.

2.已知兩點(diǎn)Pi(-1,-6)、P(3,0),點(diǎn)P(——,y)分有向線段所成的比為人，

2312

則入、y的值為()

A.——,8B.—,—8C.—,—8D.4,—

4448

3.4ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A(3,7)和B(-2,5),若AC的中點(diǎn)在x軸上，BC的中點(diǎn)在y軸上，則頂

點(diǎn)C的坐標(biāo)是()

A.(2,-7)B.(-7,2)C.(-3,-5)D.(-5,-3)

4.已知點(diǎn)A(x,2),B(5,l),C(-4,2x)在同一條直線上，那么x=

5.ZkABC的頂點(diǎn)A(2,3),B(-4,-2)和重心G(2,-1),則C點(diǎn)坐標(biāo)為

1-

6.已知M為4ABC邊AB上的?點(diǎn),且SAAMC=-SAABC,則M分AB所成的比為

7.已知點(diǎn)A(T,-4)、B(5,2),線段AB上的三等分點(diǎn)依次為P”P2,求P-P?點(diǎn)的坐標(biāo)以及

A、B分五月所成的比A.

28——

8.過R(1,3)、P2(7,2)的直線與一次函數(shù)y=1x+《的圖象交于點(diǎn)P,求P分所

成的比值.

9.已知平行四邊形ABCD一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(-2,l),一組對邊AB、CD的中點(diǎn)分別為M(3,

0)、N(-l,-2),求平行四邊形的各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo).

孽多(9)年而癡雅的故*犯A也算律(一)

1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；

2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；

3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題;

4.掌握向量垂直的條件.

1G復(fù)習(xí)

I.向量共線定理：

2.平面向量基本定理：

3.平面向量的坐標(biāo)表示

4.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

5.a//b的充要條件是：

6.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：

，J新課

1.兩個(gè)非零向量夾角：

2.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義:

3.投影:

4.向量的數(shù)量積的兒何意義:

5.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì):

例1判斷正誤，并簡要說明理山.

①萬?0=6；②0?a=0；③0—AB=BA；?\a?b\=\a\h\；⑤若2W6,

則對任一非零彼有萬?bWO；?a?h=0,則萬與B中至少有一個(gè)為6；⑦對任意向量I,

b,1都有（萬?征）?=萬（6?1）；⑧a與B是兩個(gè)單位向量，則方=廬

例2已知IaI=3,IbI=6,當(dāng)①萬//b,②5±b,③五與B的夾角是60°時(shí)，分別

求）?h.

魚量孽有（10）羊而而登的盆?衣.艮也第律（二）

1.掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律;

2.能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問題；

3.掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題.

‘一&^復(fù)習(xí)

1.兩個(gè)非零向量夾角的概念

2.平面向量數(shù)量積(內(nèi)枳)的定義：

3.“投影”的概念：

4.向量的數(shù)量積的幾何意義：

5.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

6.判斷下列各題正確與否：

⑴若五=6,則對任一向量B,有石石=0.()

(2)若萬則對任一非零向量3,有GBw0.()

(3)若萬aB=o,則()

(4)若I3=0,則萬、B至少有一個(gè)為零.()

(5)若石工6,萬B，則3=?.()

(6)若,ac,則B=1當(dāng)且僅當(dāng)萬時(shí)成立.()

⑺對任意向量萬、〃、？，有(13)七wa\hc).()

(8)對任意向量萬，有12=|萬|2.()

￡J新課

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

1.試證明：交換律：ab=ba

2.試證明：數(shù)乘結(jié)合律：(Xd)b=X[ab)=a(Xb)

3.試證明：分配律：（1bye=鼠c+bc

例1已知h都是非零向量，且萬+33與71-5b垂直，a-43與7l-2b垂直，求

五與B的夾角.

例2求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和.

d區(qū)練習(xí)

1.下列敘述不正確的是（）

A.向量的數(shù)量積滿足交換律B.向量的數(shù)量積滿足分配律

C.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律D.a?b是一個(gè)實(shí)數(shù)

2.已知Z=6,|=4,2與彼的夾角為60°,則（1+2彼）?（2-3B）等于（）

A.72B.-72C.36D.-36

3.Ia|=3,h-|=4,向量萬+?3b—與G-二3b—的位置關(guān)系為（）

44

TT

A.平行B.垂直C.夾角為一D.不平行也不垂直

3

4.已知5|=3,|ft|=4,且萬與B的夾角為150°,則（。+5）2=

5.已知I5|=2,I|=5,a?b=-3,則G+B|=,\a-h|=

6.設(shè)b1=5,且M+43與彳-XB垂直，則久=

作業(yè)

1.已知l=JL且（］-3）與5垂直，則之與6的夾角是（）

A.60°B30°C.135°D.45°

—,—?7/—?

2.已知a|=2,%|=1,2與b之間的夾角為一，那么向量沅=4-4匕的模為（）

3

A.2B.2舊C.6D.12

3.已知二B是非零向量，則|a=舊I是（萬+B）與（,不）垂直的（）

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

—?TT———?

4.已知向量不、人的夾角為一，1行|=2,Ib1=1,則|I+Z??a-b\=

3

5.已知之+5=2;-87，之-3=-87+16,，其中7、］是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單

位向量，那么5?B=

6.已知彳、G與2、b的夾角均為60°,且11|=1,|B|=2,|c|=3,則

（"21）2=

7.已知1=1,|3|=拒，⑴若之〃3,求之?B;⑵若2、b的夾角為60°,求12+5|；

（3）若彳-B與G垂直，求之與B的夾角.

8.設(shè)玩、元是兩個(gè)單位向量，其夾角為60°,求向量。=2而+元與B=2元-3成的夾角.

9.已知IaI—2,IbI=5,a,b=-3,求Ia+hI,Ia-b\.

尊繇（11）年而癡/敵量他的儻杼表5

（1）掌握平面向量數(shù)量枳的坐標(biāo)表示:

（2）掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件，及平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式:

（3）能用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)綜合問題.

舄。復(fù)習(xí)

1.兩個(gè)非零向量夾角的概念（范圍）

2.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義:

3.向量的數(shù)量積的幾何意義：

4.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

5.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

'Q新課

1.平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：

2.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式：

3.向量垂直的判定：

4.兩向量夾角的余弦（0＜。＜萬）

例1設(shè)5=(5,-7),b=(-6,-4),求Gb.

例2已知2(1,2),b(2,3),c(-2,5),求證：△ABC是直角三角形.

例3已知2=(3,-1),b=(1,2),求滿足工4=9與1Z=-4的向量工.

例4已知日=(1,V3),b=(V3+1,V3-1),則a與B的夾角是多少?

例5(選講)如圖，以原點(diǎn)和A(5,2)為頂點(diǎn)作等腰直角△ABC,使NB=90。，求點(diǎn)B和向量

AB的坐標(biāo).

例6在AABC中，48=(2,3),AC=(1,k),且AABC的一個(gè)內(nèi)角為直

角，求k值.

練習(xí)

1.若。=（-4,3）,3=（5,6）,則3|G|—4ab—（）

A.23B.57C.63D.83

2.已知A(l,2),B(2,3),C(-2,5),則AABC為()

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.不等邊三角形

3.已知々=(4,3),向量B是垂直口的單位向量，則B等于()

34、.,43、.,34、_/34、

A.（一,一）或（一,一）B.（一,一）或（_一,）

55555555

0/34.?.43、

D.（―）^4（--,—）

55555555

4.彳=(2,3),加=(-2,4),則(d+B)?(a-b)=.

-1-

5.已知。(3,2),b(-1,-1),若點(diǎn)尸(工,-一)在線段。6的中垂線上，則產(chǎn)

2

6.已知A(l,0),A(3,1),A(2,0),且4=就，3=亂，則々與B的夾角為一

作業(yè)

1.已知々=(2,3),3=(-4,7),則日在3方向上的投影為()

A.V13B.姮C.運(yùn)D.V65

55

2.已知〃二(4,2),B二(-3,5)且值與B的夾角為鈍角，則H的取值范圍是(

,10,、10,10一10

A.4>—B.4'—c.4<—D.aw—

3333

3.給定兩個(gè)向量值二⑶4),b=(2,-1)且(M+茄)±),則x等于()

23「2323

A.23B.—C.—D.—

234

4.已知Ia|=V10,B=(1,2)且萬〃B,則值的坐標(biāo)為.

5.已知萬二(1,2),b(1,1),c-ft-ka，若？_L2,則？=.

__37r

6.已知々=(3,0),匕=(左5)且々與人的夾角為一，則4的值為________.

4

7.已知2=(3,T),3=(1,2),求滿足條件々=9與b=-4的向量x.

8.已知點(diǎn)A(l,2)和B(4,-1),問能否在y軸上找到一點(diǎn)C,使/ABC=90°,若不能，說明

理山；若能，求C點(diǎn)坐標(biāo).

9.四邊形ABC〃中而=(6,1),而=(%力，麗=(-2,-3),

(1)若前〃萬X,求x與y間的關(guān)系式；

(2)滿足(1)問的同時(shí)又有尼，麗，求x,y的值及四邊形ABCD的面積.

而?學(xué)多(12)手卷

*J目標(biāo)

1.理解向量平移的幾何意義；

2.掌握平移公式，并能熟練運(yùn)用平移公式簡化函數(shù)解析式.

課

1.平移的概念：____________________________________________________

2.平移公式：

例1(1)把點(diǎn)A(-2,1)按口=(3