2018版數(shù)學二輪復習大題規(guī)范練7“20題、21題”24分練理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE5學必求其心得，業(yè)必貴于專精大題規(guī)范練(七)“20題、21題”24分練(時間:30分鐘分值：24分)解答題(本大題共2小題,共24分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）20．已知函數(shù)f（x）＝2lnx＋ax－eq\f（4f′2，x)（a∈R)的圖象在x＝2處的切線經(jīng)過點(－4，2ln2）．（1)討論函數(shù)f（x)的單調(diào)性;(2)若不等式eq\f(2xlnx，1－x2）＞mx－1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．[解](1）由題意得f′(x）＝eq\f(2,x）＋a＋eq\f（4f′2，x2），x＞0，∴f′(2）＝1＋a＋f′（2），∴a＝－1,∴f（x)的圖象在x＝2處的切線方程為y－f（2)＝f′（2）(x－2），即y＝f′（2)x＋2ln2－2－4f∵點(－4，2ln2）在該切線上，∴f′（2）＝－eq\f（1，4),∴f′(x）＝eq\f（2，x)－1－eq\f(1,x2）＝－eq\f（x－12,x2)≤0,∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．(2)由題意知x＞0，且x≠1，原不等式eq\f（2xlnx,1－x2)＞mx－1等價于eq\f（1,1－x2)(2lnx－x＋eq\f（1，x））＞m。設g（x）＝eq\f（1,1－x2）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(2lnx－x＋\f（1,x)））＝eq\f（1,1－x2）f(x)，由(1）得f(x)在（0，＋∞）上單調(diào)遞減,且f(1)＝0，∴當0＜x＜1時，f（x)＞0,g（x）＞0；當x＞1時，f（x）＜0，g（x)＞0，∴在（0，＋∞)上，g(x）＞0恒成立．假設存在正數(shù)b，使得g（x)＞b＞0，若0＜b≤1，當x＞eq\f（1，b)時，g（x)＝eq\f（2lnx，1－x2）＋eq\f（1,x）＜eq\f(1,x）＜b；若b＞1，當eq\f（1,b)＜x＜1時，g(x）＝eq\f(2lnx,1－x2)＋eq\f(1，x）＜eq\f（1,x)＜b?！嗖淮嬖谶@樣的正數(shù)b，使得g(x)＞b＞0，∴g(x）的值域為(0，＋∞），∴m的取值范圍為(－∞,0]．21．已知橢圓C：eq\f（x2,a2)＋eq\f(y2，b2)＝1(a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P在橢圓上（異于橢圓C的左、右頂點），過右焦點F2作∠F1PF2的外角平分線L的垂線F2Q，交L于點Q，且|OQ|＝2（O為坐標原點），橢圓的四個頂點圍成的平行四邊形的面積為4eq\r(3)。(1)求橢圓C的方程;（2)若直線l：x＝my＋4（m∈R)與橢圓C交于A,B兩點，點A關于x軸的對稱點為A′，直線A′B交x軸于D，求當三角形ADB的面積最大時，直線l的方程．［解]（1)由橢圓的四個頂點圍成的平行四邊形的面積為4×eq\f（1，2）ab＝4eq\r(3），得ab＝2eq\r（3）.延長F2Q交直線F1P于點R（圖略）,因為F2Q為∠F1PF2的外角平分線的垂線,所以|PF2|＝|PR|，Q為F2R的中點,所以｜OQ|＝eq\f(|F1R｜,2)＝eq\f（|F1P｜＋|PR｜，2)＝eq\f(|F1P|＋|PF2|，2）＝a，所以a＝2，b＝eq\r（3)，所以橢圓C的方程為eq\f(x2，4)＋eq\f(y2，3）＝1.（2)將直線l和橢圓的方程聯(lián)立得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋4，,\f（x2,4)＋\f(y2,3）＝1,))消去x,得(3m2＋4）y2＋24my＋36＝0，所以Δ＝(24m）2－4×36（3m2＋4)＝144（m2－4）＞0，即m設A（x1，y1),B(x2,y2)，則A′（x1,－y1）,由根與系數(shù)的關系,得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y1＋y2＝\f(－24m，3m2＋4)，,y1y2＝\f(36,3m2＋4)，))直線A′B的斜率k＝eq\f(y2－－y1,x2－x1）＝eq\f(y2＋y1,x2－x1)，所以直線A′B的方程為y＋y1＝eq\f(y2＋y1，x2－x1)（x－x1）,令y＝0得xD＝eq\f(x1y2＋x2y1,y1＋y2）＝eq\f(my1＋4y2＋y1my2＋4,y1＋y2)＝eq\f（2my1y2＋4y1＋y2，y1＋y2）＝eq\f（2my1y2，y1＋y2)＋4，故xD＝1，所以點D到直線l的距離d＝eq\f（3,\r（1＋m2))，所以S△ADB＝eq\f(1,2)｜AB｜d＝eq\f（3,2)eq\r（y1＋y22－4y1y2）＝18·eq\f（\r（m2－4)，3m2＋4）.令t＝eq\r(m2－4)(t＞0)，則S△ADB＝18·eq\f（t，3t2＋16)＝eq\f（18，3t＋\f(16,t）)≤eq\f（18，2\r（3×16))＝eq\f（3\r（3）,4），當且僅當3t＝eq\f（16，t)，即t2＝eq\f(16,3)＝m2－4，即m2＝eq\f（28,3）＞4,m＝±eq\f（2\r（21),3)時，三角形ADB的面積最大，所以直線l的方程為3x＋2eq\r