三角函數(shù)的應(yīng)用北師大版數(shù)學(xué) 九年級下冊 直角三角形的邊角關(guān)系 課件

三角函數(shù)的應(yīng)用北師大版數(shù)學(xué)九年級下冊第一章直角三角形的邊角關(guān)系1.正確理解方位角、仰角和坡角的概念；（重點）2.能運用解直角三角形知識解決方位角、仰角和坡角的問題.(難點)學(xué)習(xí)目標(biāo)情境引入

我們已經(jīng)知道輪船在海中航行時，可以用方位角準(zhǔn)確描述它的航行方向.

那你知道如何結(jié)合方位角等數(shù)據(jù)進行計算，幫助輪船在航行中遠(yuǎn)離危險嗎？引例如圖，一船以20nmile/h的速度向東航行，在A處測得燈塔C在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1h到達(dá)B處，再測得燈塔C在北偏東30°方向上.已知燈塔C四周10nmile內(nèi)有暗礁，問這船繼續(xù)向東航行，是否安全？ACB60°與方位角有關(guān)的實際問題一講授新課D【分析】這船繼續(xù)向東航行是否安全，取決于燈塔C到AB航線的距離是否大于10nmile.北東解：由點C作CD⊥AB,設(shè)CD=x,則在Rt△ACD中，在Rt△BCD中，解得所以，這船繼續(xù)向東航行是安全的.ACBD30°60°北東由AB=AD-BD,得如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（精確到0.01海里）？65°34°PBCA試一試解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91=72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向時，它距離燈塔P大約130.23海里．65°34°PBCA利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：（1）將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題）；（2）根據(jù)條件的特點，適當(dāng)選用銳角三角形函數(shù)等去解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問題的答案；（4）得到實際問題的答案．方法歸納如圖,小明想測量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂,測得仰角為30°,再往塔的方向前進50m至B處,測得仰角為60°,那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計,結(jié)果精確到1m).現(xiàn)在你能完成這個任務(wù)嗎?用心想一想要解決這問題,我們?nèi)孕鑼⑵鋽?shù)學(xué)化.請與同伴交流你是怎么想的?準(zhǔn)備怎么去做?數(shù)字化答:該塔約有43m高.解:如圖,根據(jù)題意可知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.設(shè)CD=x,則∠ADC=600,∠BDC=300,老師期望:這道題你能有更簡單的解法.這個圖形與前面的圖形相同,因此解答如下:DABC┌50m300600例2如圖，飛機A在目標(biāo)B正上方1000m處，飛行員測得地面目標(biāo)C的俯角為30°，則地面目標(biāo)B，C之間的距離是________．解析：由題意可知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m，【方法總結(jié)】解此類問題，首先要找到合適的直角三角形，然后根據(jù)已知條件解直角三角形．用心做一做某商場準(zhǔn)備改善原有樓梯的安全性能,把傾角由原來的40°減至35°,已知原樓梯的長度為4m,調(diào)整后的樓梯會加長多少?樓梯多占多長一段地面?(結(jié)果精確到0.01m).現(xiàn)在你能完成這個任務(wù)嗎?請與同伴交流你是怎么想的?準(zhǔn)備怎么去做?ABCD┌如圖,根據(jù)題意可知,∠A=35°,∠BDC=40°,DB=4m.求(1)AB-BD的長,(2)AD的長.ABCD┌4m350400答:調(diào)整后的樓梯會加長約0.48m.解：(1)解（2）ABCD┌4m350400答:樓梯多占約0.61m一段地面.建筑物BC上有一旗桿AB，由距BC40m的D處觀察旗桿頂部A的仰角為54°，觀察底部B的仰角為45°，求旗桿的高度（精確到0.1m）.ABCD40m54°45°ABCD40m54°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m.在Rt△ACD中，∴AB=AC－BC=55.2－40=15.2答：旗桿的高度為15.2m.練一練利用坡角解決實際問題二一段路基的橫斷面是梯形，高為4米，上底的寬是12米，路基的坡面與地面的傾角分別是45°和30°，求路基下底的寬（精確到0.1米,）.

45°30°4米12米ABCD解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為E、F．由題意可知

DE＝CF＝4（米），

CD＝EF＝12（米）．在Rt△ADE中，

在Rt△BCF中，同理可得因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．答：路基下底的寬約為22.93米．45°30°4米12米ABCEFD1.如圖1，在高出海平面100米的懸崖頂A處，觀測海平面上一艘小船B，并測得它的俯角為45°，則船與觀測者之間的水平距離BC=______米.2.如圖2，兩建筑物AB和CD的水平距離為30米，從A點測得D點的俯角為30°，測得C點的俯角為60°，則建筑物CD的高為______米.100當(dāng)堂練習(xí)圖1圖2BCBC3.如圖3，從地面上的C，D兩點測得樹頂A仰角分別是45°和30°，已知CD=200米，點C在BD上，則樹高AB等于

（根號保留）．4.如圖4，將寬為1cm的紙條沿BC折疊，∠CAB=45°，則折疊后重疊部分的面積為

（根號保留）．圖3圖45.如圖，港口A在觀測站O的正東方向，OA=4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離（即AB的長）為________.解：如圖，過點A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，∴AD=OA=2km．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，∴BD=AD=2km，∴AB=AD=km．即該船航行的距離為km．6.如圖，一架飛機從A地飛往B地，兩地相距600km.飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從機場起飛以后，就沿與原來的飛行方向成30°角的方向飛行，飛行到中途，再沿與原來的飛行方向成45°角的方向繼續(xù)飛行直到終點．這樣飛機的飛行路程比原來的路程600km遠(yuǎn)了多少？解：過點C作CD⊥AB于點D，∵AD＋BD＝AB，∴在Rt△BCD中，∴AC＋BC＝

在Rt△ACD中，750－600＝150(km)．答：飛機的飛行路程比原來的路程600km遠(yuǎn)了150km.【方法總結(jié)】求一般三角形的邊長或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．7.如下圖，在一次數(shù)學(xué)課外活動中，測得電線桿底部B與鋼纜固定點O的距離為4米，鋼纜與地面的夾角∠BOA為60o，則這條鋼纜在電線桿上的固定點A到地面的距離AB是多少米（結(jié)果保留根號）．解：在Rt△ABO中，

∵tan∠BOA==tan60°=

∴AB=BO?tan60°=4×=4（米）答：這條鋼纜在電線桿上的固定點A到地面的距離AB是4米.8.水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度為1∶3，斜坡CD的坡度為1∶2.5，求：（1）壩底AD與斜坡AB的長度（精確到0.1m）;

（2）斜坡CD的坡角α（精確到1°）.EFADBC1:2.5236α解：(1)分別過點B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為點E、F,由題意可知BE=CF=23m，EF=BC=6m.EFADBC1:2.5236α在Rt△ABE中在Rt△DCF中，同理可得=69+6+57.5=132.5m在Rt△ABE中，由勾股定理可得(2)斜坡CD的坡度為tanα=1：2.5=0.4，由計算器可算得