2023屆浙江省名校協(xié)作體高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.^A={x|0<x<4},B={x|X2-7X+10..0},則()

A.{x|2<x<4}B.{jd0<x<5}

C.{x|0<x<2}D.{x|4<x<5}

【答案】C

【分析】化簡(jiǎn)集合B,再利用交集的定義求解.

【詳解】解：由題得B={x[(x-2)(x—5)20}={x|xW5或x<2},

所以AA8={X|0<X42}.

故選：C

2.已知i為虛數(shù)單位，則，且在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()

2+1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，即可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)進(jìn)行求解.

【詳解】由空(l+2i)(2-i)_4+3i_4,3:

(2+i)(2-i)5551

所以在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限.

故選：A

3.設(shè)命題p:V〃wN/2<3〃+4,則〃的否定為()

A.V/2￡N,/>3〃+4B.VHGN,/?2<3n+4

C.BnGN,n2>3n+4D.BneN,z?2>3n+4

【答案】C

【分析】利用全稱命題的否定方法進(jìn)行求解.

【詳解】因?yàn)槊}P：D〃￡N,〃2<3〃+4,所以〃的否定為：3neN,n2>3n+4.

故選：C.

4.已知數(shù)列{%}為遞增數(shù)列，前〃項(xiàng)和力二川+勿+4，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是()

A.(-oo,2]B.(-oo,2)C.(—oo,0]D.(―<x>,0)

【答案】B

【分析】根據(jù)5“可求4,=2〃,(〃*2),要使｛6｝為遞增數(shù)列只需滿足外>4即可求解.

【詳解】當(dāng)2時(shí)，a”=Sa—=〃~+"+兄—-1)+(〃—1)+幾］=2〃，

故可知當(dāng)“22時(shí)，｛%｝單調(diào)遞增，故｛%｝為遞增數(shù)列只需滿足1>4,即

4>2+4n4v2

故選：B

5.已知a,bwR,則“a>b>2”是“a—2>物―2|”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及充分不必要條件的判斷，即可求解.

【詳解】若a>b>2時(shí)，則。-2>0,6-2>0,因此a-2>b-2=忸-2|,

若一2|時(shí)，比如a=5,b=l,但不滿足a>6>2,

因此“a>b>2”是“a-2>性-2|”的充分不必要條件.

故選：A

6.牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：e=(a-q)eY,+4,其中，為時(shí)間(單

位：min),%為環(huán)境溫度，4為物體初始溫度，。為冷卻后溫度.假設(shè)在室內(nèi)溫度為2(TC

的情況下，一杯飲料由100C降低到60C需要20min,則此飲料從60c降低到40"C需

要()

A.lOminB.20minC.40minD.30min

【答案】B

［分析"艮據(jù)已知條件，將已知數(shù)據(jù)代入即可求解左=罟，進(jìn)而將％=20,a=60,e=4(),

“=當(dāng)代入解析式中即可求解時(shí)間?

【詳解】由題意可得，%=20,4=100,6=6(),f=20代入O=(a-q)e"+%,

80e-2M+20=60,解得e*；,

故-20%=—ln2,解得火=——.

故當(dāng)為=20,4=60,"40,%時(shí),

將其代入—%）《"+%得40e*+20=40,解得f=20,

故選：B

22

7.已知不鳥分別為橢圓。:二+4=1（。＞人＞0）的左、右焦點(diǎn)，過”的直線與C交于

ab-

P,Q兩點(diǎn),若|P耳|=2|P閭=5山則C的離心率是（）

A.走B.立C.立D.亞

5443

【答案】D

【分析】由已知，畫出圖像,根據(jù)忸耳|=2忸閭=5|甲2|,可令忻1=f，然后表示出|P耳

歸周，然后利用橢圓定義找到t與a之間的關(guān)系,然后用a分別表示出\PQ\,\QFt\.\QF2\,

在“。工中，利用勾股定理判定NQPK=T，然后在△PKg中，可表示出c與。之間的

關(guān)系，從而求解離心率.

因?yàn)閨尸制=2|尸閭=5|60|,令忻。=￡,

所以仍用=5乙歸用=|r,由橢圓的定義可知|P"|+|P段=24=6+}=當(dāng)^

4494

所以好記a,所以伊耳|=§a,\PF2\=~a,\F^=-a,

|「°|=|明+照|=刎24=小，

由橢圓的定義可知制+|。6|=2a=|。用=,

在一。鳥中，|。用2=|QP『+|P『，所以/。叫=],

在APK瑪中,|胞|=%,所以閨閭2=1耳P『+|P閭2

所以3優(yōu)+二〃=在

99a9a3

所以C的離心率是好.

3

故選：D.

8.若不等式e'+i21nx+ln(x+l)+a(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，約為2.71828)對(duì)一

切正實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(F,e]B.C.卜8,：D.

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件將式子變形為ej』±ln(x2+x)+a,構(gòu)造函數(shù)

/(0=e,-fl-lnr-?,求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，進(jìn)而可求最值進(jìn)行求解.

【詳解】由e'+xWlax+In(x+1)+a得＞ln(x2+%)+?,

i己/(z)=e/-w-\x\t-a,由于工＞0,所以1＞0,

故1+『2底+皿》+1)+4對(duì)一切正實(shí)數(shù)才都成立等價(jià)于〃。之0對(duì)9＞0都成立.

/'(f)=ei-；,令r?)=0ne'F=；

在同一直角坐標(biāo)系中畫出X=ei,%=：的圖象，

由圖可知:存在八?0,物)滿足e'"-"=；，且當(dāng)fG(O/o)時(shí)，%＞其，即/'(0=夕"-1＜0,

當(dāng)fw/,+oo)時(shí)，上＜,，即/'(f)=e-"-；＞0,故/⑺在此(0,幻單調(diào)遞減，在

,(a

te&,內(nèi))單調(diào)遞增，故〃。而?=/(Z0)=e>--lnr0-?

因?yàn)閑'L"=；=￡0-。=-5，故=//)=e-"-1")-a=；+乙)-2a,

%*0

由于丁+:)22,^-+t0-2a>2-2a,

I。*o

因此2—2。20,解得aWl,

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，主要解決不等式恒成立問題，解決恒成立問題，可將

問題等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性，進(jìn)而可通過求最值方式求參數(shù)的范圍.

二、多選題

9.已知函數(shù)/（》）=5畝31一后：0$3工，則（）

A.丫=/（"的圖象可由函數(shù)〉=$出3》的圖象向右平移三個(gè)單位

■rrjr

B.y=/（x）在上遞減

C.y=/（x）的圖象關(guān)于直線戶-白對(duì)稱

18

D.當(dāng)XG時(shí)，/（X）的取值范圍是卜后,2]

【答案】BCD

【分析】根據(jù)輔助角公式得“x）=2sin（3x-W）,進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可逐一求

解.

【詳解】由/（x）=sin3x-Gcos3x得/'（x）=2sin（3x-g）,

對(duì)于A：y=sin3x向右平移g得到尸sin31x-=-sin3x,故錯(cuò)誤；

,,兀兀._兀27r7Tt7137r.._?\，.兀兀.、、，.八

對(duì)于B:當(dāng)五￡時(shí)，3x-—e—屋，故）=/（工）在上遞減，B

JZJJ30」|_ZZJ|_32_

正確;

對(duì)于：故是〃）的對(duì)稱軸;

C/-2=2sin3x—=-2,x故C對(duì);

\lo71O

對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，-,當(dāng)3x-g=[時(shí)，〃x）取最大值2,當(dāng)

乙DD。D乙

3x.=q時(shí)，“X）取最小值-石，故值域?yàn)椴肥?2],D正確;

故選：BCD

10.甲袋中有4個(gè)紅球，4個(gè)白球和2個(gè)黑球；乙袋中有3個(gè)紅球，3個(gè)白球和4個(gè)黑

球.先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，分別以A5C表示事件“取出的是紅球”、“取出

的是白球”、”取出的是黑球“；再從乙袋中隨機(jī)取出一球，以。表示事件“取出的是紅球”,

則下列的結(jié)論中正確的是（）

A.事件AB,C是兩兩互斥的事件

B.事件。與事件A相互獨(dú)立

4

C.P(D|A)=

TT

24

D.2(。)=不

【答案】AC

【分析】根據(jù)互斥事件和相互獨(dú)立事件即可判斷AB,由概率計(jì)算值即可判斷CD.

【詳解】由題意可得P（A）瑞4，P（8）瑞4，A?O磊，

443432344416

P(D)=P(DA)+P(DB)+P(￡)C)=—X—+—X—+—X—=—P(AD)=一x—

111011101110110'f1011Ho

事件A,民。是兩兩互斥的事件，故A正確,

尸（A。）wP（A）P（。）,故事件D與事件A不是相互獨(dú)立，故B錯(cuò)誤,

16

尸（。|4）=?黑=乎=白，故C選項(xiàng)正確，

尸（A）411

10

尸（0=孟34=/,17故口錯(cuò)誤，

故選：AC

11.已知/（x）是定義在｛x|XKO｝上的奇函數(shù)，當(dāng)西＞西＞0時(shí),

玉々［/（石）-/（々）］+玉一W＞0恒成立，則（）

A.y=〃x）在（7,0）上單調(diào)遞增

B.y=.f（x）-（在（0,+8）上單調(diào)遞減

C-/（2）+/（-3）＞1

O

D./（2）-/（-3）＞1

O

【答案】BC

【分析】由己知，結(jié)合題意給的不等關(guān)系，兩邊同除X/得到

X\X2

然后根據(jù)々＞士＞0,即可判斷/（內(nèi)）與/（W）兩者的大小，從而判斷選項(xiàng)A,選項(xiàng)B由

前面得到的不等關(guān)系，通過放縮，即可確定與/（W）一止的大小，從而確

定函數(shù)的單調(diào)性，選項(xiàng)C和選項(xiàng)D,可利用前面得到的不等式，令占=2,々=3帶入,

然后借助/（x）是奇函數(shù)進(jìn)行變換即可完成判斷.

【詳解】由已知，馬＞士＞0,占馬［，（%）-/（/）］+西一*2＞0,

所以/（占）-4*2）+^---^＞。，即/（Xi）-'＞/（七）一~-,

?入］AT2

11八

因?yàn)楣?>玉>。，所以—>一>。，

百x?

所以/(王)一，(工2)>^---->0,

X]x2

因?yàn)檎?gt;玉>0,所以一￡〈一為〈0,

因?yàn)椤癤)是定義在例XX。｝上的奇函數(shù)，所以=X),

所以f(占)一，(2=一f(F)+f(一*2)>，---，>0,所以/(一巧)>/(-5),

XX2

因?yàn)?xSfVO,所以y=〃x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

因?yàn)?(%)-->/(X2)---—>0.所以;>/->0,

X]x2x]x22xt2X2

所以/(王)一~-+y-=/(xi)_y_>/(x2)---+y->/(x2)一~=f(士)一;，

xt2xt2x,x22x,x22X22X2

即/(%)-；>/(々)-土,又因?yàn)槿?gt;占>0,

所以y=/(x)-1-在(。，+8)上單調(diào)遞減，選項(xiàng)B正確；

因?yàn)楣?>%>0時(shí)，/($)-(>/(/)一時(shí)恒成立，

所以令玉=2,々=3代入上式得〃2)-；>〃3)-3,即/(2)-〃3)>g-g=：,

又因?yàn)椤▁)是定義在｛HXX。｝上的奇函數(shù)，所以〃3)=-/(-3),

所以〃2)+/(-3)>，，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

O

故選：BC.

12.如圖，矩形ABC。中，AD=2,AB=3,AE=2EB,將A4)E沿直線￡>E翻折成

△AQE,若M為線段AC的點(diǎn)，滿足兩=2函，則在AADE翻折過程中(點(diǎn)A不在

A.8M//平面ADE

B.點(diǎn)〃在某個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)

C.存在某個(gè)位置，使。E，AC

D.線段BA的長(zhǎng)的取值范圍是（退,3）

【答案】ABD

【分析】由已知，選項(xiàng)A,在。C上取一點(diǎn)N,令函=2而，可通過面面平行的判定

定理證明平面〃平面AQE,從而證明〃平面AQE；選項(xiàng)B,可通過

ZAtDE=ZMNB=-,

4

NM=~,EB=2血，借助余弦定理可知為定值，從而確定”點(diǎn)的軌跡；選項(xiàng)C,

可先假設(shè)。E,A?成立，然后借助線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到DELS,然

后在A￡）”C中，利用勾股定理驗(yàn)證是否滿足，即可做出判斷；選項(xiàng)D,可通過點(diǎn)A運(yùn)行

軌跡，分別找出最大值和最小值點(diǎn)，然后求解即可做出判斷.

如上圖所示，在0c上取一點(diǎn)N,令函=2而，連接N8,

在矩形ABC。中，鉆=8且又因?yàn)橥?2萬，CN=2ND，

所以EB=ND且EB//ND,所以四邊形EB而為平行四邊形，所似NB//ED,

又因?yàn)槠矫鍭QE,DEu平面A￡>E,所以NB〃平面ADE,

又因?yàn)槲?2而，CM=2M\,所以MW-A。，

又因?yàn)镸W平面ADE,"u平面ADE,所以NM〃平面ADE,

又因?yàn)镹MCNB=N且NM、NBu平面8MN,所以平面BMV〃平面ADE,

又因?yàn)镸3u平面8MN,所以8M〃平面AOE,選項(xiàng)A正確；

jr

由NB]/ED,NM"A、D,AD=AE=2,可得“DE=NMNB=二,

4

______24

由函=2而，@7=24^可知，NM=-A,D=~,而EB=ND=2短,

由余弦定理可知，BM為定值，而8為定點(diǎn)，故M在以5為圓心，BM為半徑的圓上運(yùn)

動(dòng)，故選項(xiàng)B正確；

取EO的中點(diǎn)H,連接“A、HC,在aAOE中，AD=AE=2,

所以。假設(shè)。ELAC成立，A”、ACu平面A”c,所以。平面A”C,

又因?yàn)镃〃u平面A"C，所以DELS,

而，在AD〃C中，DH=4i，DC=3,CH=45,所以NO”CH］,故0ELCH不成

立，所以假設(shè)不成立，該選項(xiàng)c錯(cuò)誤；

在0c上取一點(diǎn)&,令國(guó)=2而，

在AADE翻折過程中，線段BA的最大值是A與A點(diǎn)重合，此時(shí)84=3,

線段BA的最小值是A與4點(diǎn)重合，此時(shí)%=石，又因?yàn)辄c(diǎn)A不在平面。EBC內(nèi)，

所以線段8A的長(zhǎng)的取值范圍是（有,3）,選項(xiàng)D正確；

故選：ABD.

三、填空題

13.（1+6嚴(yán)的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和是.（用數(shù)字作答）

【答案】1024

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理的二項(xiàng)式系數(shù)和性質(zhì)即可求解.

【詳解】由于〃=10,所以二項(xiàng)式系數(shù)的和為2"=2'"=1024,

故答案為：1024

4——1―.1—

14.在AABC中，A8=3,AC=5,cos/8AC=—,若AO=-A3+-AC,貝ij

532

DBDC=.

9

【答案】--

4

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可用通,AC表示DB.DC，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.

____2___1_____________i___i___

［詳解］DB=AB-AD=-AB--AC,DC=AC-AD=--AB+-AC,

所以而灰=（抑-g可信而+g呵=-押+；福正-；宓

=——2x9c+—1x3-x5x-4---1x5<2=——9.

92544

9

故答案為:

4

15.如圖，拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為居C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)A,過點(diǎn)F斜率

則\A身M\

為G的直線與C交于點(diǎn)M,N(M在x軸上方),

【答案】3

【分析】根據(jù)題意可得直線MN方程，聯(lián)立直線與拋物線方程可解M,N坐標(biāo)，進(jìn)而根

據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可求解.

【詳解】由題意可知P(5,0),4-],()),直線方程為：y=

y==>12x2-20px+3p2=0,解得玉=亞,占=3

聯(lián)立方程

26

y2=2px

由于〃在X軸上方做可得M(2,6p),N(K,-3p),

263

\AM\

=3

因此14Vl一2、2

「+(6

故答案為：3

16.己知實(shí)數(shù)x，y滿足f+2孫一3y2=4,則2x2-y?的最小值是.

【答案】如+77+g

22

【分析】利用換元法，將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布，即可求解.

【詳解】令2/-y2=風(fēng)貝廳=2/-機(jī)，

由x2+2xy-3y2=4^2xy=4+3y2-x2,兩邊平方得4x);/=(4+3J-/J,

化簡(jiǎn)得：17/+(40-26皿+(3機(jī)-4)2=0,

令f=Y,則17r+(40-26優(yōu))/+(3機(jī)-4)2=0(X)有正的實(shí)數(shù)根,

因?yàn)楫?dāng)，=0時(shí)，-3y2=4不成立,

（34『

單2>0,

17

則滿足：A=（40-26w）2-4xl7（3w-4）2>0,且乙+馬=----3"〉0,

即川-7m+820,且40-26mv0

解得機(jī)±z±姮，

2

當(dāng)/n=g+7時(shí),△=?,此時(shí)（※）式的根為工F="竺膽=2生叵，即

2123434

X-1+13后,廣源一=9折-17,故〃，的最小值為姮12

34342

故答案為：止dbu

2

四、解答題

17.已知A/U?C的內(nèi)角ARC所對(duì)的邊分別為a,6,c,且滿足acos8-Zx2sA=a-c.

⑴求B；

（2）若人=近,“=2,〃為邊4（7的中點(diǎn)，求8M的長(zhǎng).

【答案】（1）?

【分析】（1）根據(jù)余弦定理邊角互化，即可求解.

（2）根據(jù)余弦定理可求|/叫=3,由三角形中向量加法，由模長(zhǎng)公式即可求解.

、〃2+「2―62A2.2_2

【詳解】（1）因?yàn)閍cosB-bcosA=a-c,由余弦定理得a----------b----:-----

2ac2hc

化簡(jiǎn)得從=.2+02—“c,

所以COS5="-+L-"2=1,結(jié)合8?0,兀），得B=1：

2ac23

（2）設(shè)|AB|=x,根據(jù)cos8=?+°2-.=47=!,

2ac4x2

解得|AB|=x=3（負(fù)根舍去），

又麗=；（羽+㈣，所以麗卜;J（麗+南,=；,9+4+6=半.

18.已知數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S“，且4=1,S,=4+|-1,數(shù)列｛〃｝為等差數(shù)列，且

2a4=3b3+1,S6=lb5.

⑴求｛4｝與也｝的通項(xiàng)公式；

⑵記C“吟,求匕｝的前〃項(xiàng)和為人

【答案】（1）4=2"，bn=2n-\

⑵（=6一簧

【分析】（1）由已知，根據(jù)條件給的S,,與。用的關(guān)系，令“22,遞推作差得到“向與%

的關(guān)系，然后再令〃=1,驗(yàn)證q與生是否滿足，最后利用給等比數(shù)列的定義證明數(shù)列

｛4｝為等比數(shù)列，然后直接求解其通項(xiàng)公式，設(shè)出數(shù)列｛2｝的公差，然后根據(jù)題意列方

程解出公差和首項(xiàng)，即可利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式完成求解；

（2）將（1）問中數(shù)列｛%｝與也｝的通項(xiàng)公式帶入到%=%中，然后利用錯(cuò)位相減可

直接進(jìn)行求和.

【詳解】（1）〃22時(shí)，an=Sn-S?_,=a?+]-a?=>an+t=2an,

又q=S｝=a2—\=>a2=a]+1=2=2a],

所以也｝是首項(xiàng)是1,公比是｛a,,｝的等比數(shù)列，所以。"=2"一；

設(shè)也｝的公差為d，則由2為=34+1昌=74，得

16=3(〃+2d)+l,S6=%-1=63=7(4+41)

=>6+2d=5,4+4〃=9

=>々=l,d=2.

=>么=2〃-1

h2n-\

(2)由(1)知c〃=1n=2,1-1，

'_1352n-32n-\

"='+5+齊+…+^+尸」

1352〃-32/7-1

/=5+尹+尹+…+k+〒

1

-72H—1

2〃1+1+-+-+-

24T

4Hl一止=3.2,

]n"

1------22

2

所以（=6-蟹?

19.為調(diào)查某小學(xué)學(xué)生的視力情況，隨機(jī)抽取了該校150名學(xué)生（男生100人，女生

50人），統(tǒng)計(jì)了他們的視力情況，結(jié)果如下：男生中有60人視力正常，女生中有40人

視力正常.

（1）是否有99%的把握認(rèn)為視力正常與否與性別有關(guān)？

（2）如果用這150名學(xué)生中，男生和女生視力正常的頻率分別代替該校男生和女生視力正

常的概率，且每位學(xué)生視力正常與否相互獨(dú)立，現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人（2男1

女），設(shè)隨機(jī)變量X表示“3人視力正?！钡娜藬?shù)，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-be)2,,

附：/---------------r;---7,n=a+b+c+a

(a+6)(c+4)(q+c)(b+4)

*叫0.100.050.0250.010.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

【答案】⑴沒有99%的把握認(rèn)為視力正常與性別有關(guān)

（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：2

【分析】（1）根據(jù)題意，寫出列聯(lián)表，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式，可得答案：

（2）由題意，可得此為離散型分布，利用其概率公式和分布律的定義，結(jié)合均值計(jì)算

公式，可得答案.

【詳解】（1）由已知得150名學(xué)生男女、視力正常與否的2x2列聯(lián)表為：

視力正常視力不正常總計(jì)

男生6040100

女生401050

總計(jì)10050150

150(600-1600)2

所以/==6<6.635

100x50x50x100

所以沒有99%的把握認(rèn)為視力正常與性別有關(guān).

34

（2）由已知得該小學(xué)男、女生視力正常的概率分別為

X的取值有0,1,2,3,

92,P(X=1)=C；x|x*2jx力空

且尸(X=0)=

515125

324喂小=3闋436

X—X—X—x—=---

5555125

即X的分布列為

X0123

4285736

P

125而-125125

28+114+108

從而X的均值E（X）=2

125

3

20.如圖，在三棱柱—中，A3=AC=BC=AA=AC=1，AB=],點(diǎn)N為BG

的中點(diǎn).

⑴求8G的長(zhǎng);

⑵求直線AN與平面48G所成角的正弦值.

【答案】（1）姮

2

3>/i02

68

【分析】（1）根據(jù)線線垂直可證明AC，平面OA/,進(jìn)而線面垂直得線線垂直，在直角三

角形GAB中，即可由勾股定理進(jìn)行求解.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量運(yùn)算求解平面法向量和直線方向向量，根據(jù)向量

的夾角求線面角.

【詳解】(1)取AC中點(diǎn)。，連4。,。8.

因?yàn)锳A=4C,8A=8C,所以AC_LOA,AC_LO8,

又OACO8=O,OA,O8U平面。43,

所以AC_L平面。4了,

因?yàn)锳C_LA8，AC1〃AC,所以NGA8=9(r,

所以BQ=JAC；+A\B2=

(2)以。為原點(diǎn)，。8,。。所在的直線為軸，如圖建立直角坐標(biāo)系,

因?yàn)?。A軸，故可設(shè)4(x,0,z),

根據(jù)[4。|=6+z2=[用，且|A@=JX-去+Z2=(|),可得中京

J33

因?yàn)槎?福，所以G-jq

因?yàn)橥?隔，所以4手，；，；，故N(O，|，￡|所以麗=(o，%j,

設(shè)平面AfG的法向量元=(a,6,c),4B=^,0,--J,Aq=(0,l,0)

3-_3

所以〃_LA3,〃_LAG，所以，44，取。=1,貝ijc=6，b=0

h=0

所以平面ABG的法向量為=(i,o,g),

設(shè)直線AN與平面^BC,所成角為e,

nn3G

0+0+

則《電麻卜,麗)卜端!4'__3V102

3468

2x

16

2

21.如圖，已知雙曲線C:5-V=l,經(jīng)過點(diǎn)T(Ll)且斜率為2的直線/與C交于A8兩

點(diǎn)，與C的漸近線交于M,N兩點(diǎn)(從左至右的順序依次為AM,N,8),其中上e0,9

(1)若點(diǎn)7是腦V的中點(diǎn)，求k的值；

(2)求4OBN面積的最小值.

【答案】⑴g

(2)"一夜

4

【分析】(1)聯(lián)立直線/與雙曲線方程，根據(jù)點(diǎn)T是MN的中點(diǎn)，列方程求解即可.

(2)聯(lián)立直線/與雙曲線方程，表示出怛叫的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出三角

形的高，從而得到三角形面積表達(dá)式，即可求得結(jié)果.

【詳解】⑴設(shè)4(先,乂),8(々,%)

|y=Z(x-l)+l

聯(lián)立直線/與雙曲線方程f,消去)得

(1_2/卜2_4?1_少_2(—)2=0,

由韋達(dá)定理可知，取片一片々二七

y=^(x-l)+l_l-k

聯(lián)立直線/與其中一條漸近線方程72，解得％=&,

產(chǎn)丁—~k

1Z乙

l—k

即心6,,同理可得與

------K

2

4k-4k2

則4+4==Xj+x,

1-2公2

則可知A8的中點(diǎn)與MN中點(diǎn)重合.

由于7(1,1)是MN的中點(diǎn)，所以鵠2)=2,解得A=：；

(2)y=Z(x-l)+l與片-丁=1聯(lián)立，消去》得

(1-2公卜2