2023年云南省景東高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

>>0

1.若實(shí)數(shù)羽)滿足的約束條件,》+丫-340,則z=2x+)，的取值范圍是()

2x-y>0

A.[4,+oo)B.[0,6]C.[0,4]D.[6,+co)

2.已知集合0=1<,A={y|y>0},3=卜卜=?+1},則4口《/=()

A.[0,1)B.(0,+oo)C.(1,+<?)D.[1,-KO)

3.已知加，〃是兩條不重合的直線，a,￡是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中錯(cuò)誤的是()

A.若加〃a,aH,則加//°或mu/3

B.若加〃〃，m//a,nga,則///a

C.若mJ_〃，,n工/3,則。

D.若〃？J_〃，mX.a,則〃〃a

4.如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC,ADA.DC,AD=DC=2AB,E為AO的中點(diǎn)，若卞=4而+〃麗(4〃eR),

則的值為()

5.為比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測(cè)驗(yàn)(指標(biāo)值滿分為5分，分

值高者為優(yōu))，根據(jù)測(cè)驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述正確的是()

數(shù)學(xué)抽象

A.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于甲

B.乙的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙

D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)據(jù)分析最差

6.已知S“是等差數(shù)列｛4,｝的前〃項(xiàng)和，q+4=g,/+。3=4,貝！!％=（）

8535

A.85B.一C.35D.一

22

22

7.已知雙曲線C:「一二=1（。>02>0）,點(diǎn)是直線法一效+4。=0上任意一點(diǎn)，若圓

ab“

（X—/）2+（y—%）2=1與雙曲線C的右支沒(méi)有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率取值范圍是（）.

A.(1,2]B.(1,4]C.[2,+00)D.[4,+00)

8.若復(fù)數(shù)2滿足z—6（1+Z）i=l,復(fù)數(shù)z的共轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)是三，貝!lz+W=（）

A.1B.（）C.-1D.——+—/

22

9.一個(gè)正三棱柱的正（主）視圖如圖，則該正三棱柱的側(cè)面積是（）

10.若實(shí)數(shù)X、J滿足貝!|z=x+2y的最小值是（）

y>x

A.6B.5C.2

11.已知K，K分別為雙曲線C：0—奈?=l（a>0/>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)6的直線/與雙曲線C的左、右兩支分別

交于A,8兩點(diǎn)，若ABBF?

A.V13D.百

12.已知數(shù)列｛4｝滿足：q=La的

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知〃x）=e'+*是偶函數(shù)，則“X）的最小值為.

22

14.已知雙曲線-2r=1（。>0/>0）的左右焦點(diǎn)分別為耳，居，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)“為雙曲線右支上一點(diǎn),

若忻閭=2|。W|,tan/MgK?2,則雙曲線C的離心率的取值范圍為.

15.已知復(fù)數(shù)z=1+2〃其中i為虛數(shù)單位，則z?的模為.

16.電影《厲害了，我的國(guó)》于2018年3月正式登陸全國(guó)院線，網(wǎng)友紛紛表示，看完電影熱血沸騰“我為我的國(guó)家驕

傲，我為我是中國(guó)人驕傲！”《厲害了，我的國(guó)》正在召喚我們每一個(gè)人，不忘初心，用奮斗書(shū)寫(xiě)無(wú)悔人生，小明想約

甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了，我的國(guó)》，并把標(biāo)識(shí)為AB,的四張電影票放在編號(hào)分別為1,2,

3,4的四個(gè)不同的盒子里，讓四位好朋友進(jìn)行猜測(cè)：

甲說(shuō)：第1個(gè)盒子里放的是3,第3個(gè)盒子里放的是。

乙說(shuō)：第2個(gè)盒子里放的是8,第3個(gè)盒子里放的是。

丙說(shuō)：第4個(gè)盒子里放的是。，第2個(gè)盒子里放的是C

丁說(shuō)：第4個(gè)盒子里放的是A,第3個(gè)盒子里放的是C

小明說(shuō)：“四位朋友你們都只說(shuō)對(duì)了一半”

可以預(yù)測(cè)，第4個(gè)盒子里放的電影票為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）在AABC中，M為BC邊上一點(diǎn),ZBAM=45°,cosZAMC=—.

(1)求sin8：

——1——

(2)若MC=—BM,AC=4,求

2

18.（12分）在①〃=2,@a=b=2,③/?=c=2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，求△ABC的面積

的值（或最大值）.已知AAHC的內(nèi)角A，B,C所對(duì)的邊分別為a,b,C,三邊a,b,C與面積s滿足關(guān)系式:

4S=b2+c2-a2,且_____________,求△ABC的面積的值（或最大值）.

19.（12分）已知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列出｝的前"項(xiàng)和為7；,且4=4=1,%=53，4+a=15.

（1）求數(shù)列｛%｝與也｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛士的前〃項(xiàng)和.

20.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCr）P-ABCD中，△PAB是等邊三角形，BC±AB,BC=CD=2g,

AB=AD=2.

（1）若PB=3BE,求證：AE〃平面PCO;

（2）若PC=4,求二面角A—PC—3的正弦值.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=k+q.

(1)求不等式/(x)<4—|2x—3|的解集；

(2)若正數(shù)〃？、n滿足m+2n=mn,求證：f(m)+f(-2n)>8.

22.(10分)已知/(x)=|2x+3|-|2x-l|.

(1)求不等式/(x)<2的解集；

（2）若存在xeR,使得"x）＞|3a-2|成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

根據(jù)所給不等式組，畫(huà)出不等式表示的可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為直線方程，平移后即可確定取值范圍.

【詳解】

y>0

實(shí)數(shù)工，)’滿足的約束條件卜+y-3K0,畫(huà)出可行域如下圖所示：

2x-y>0

將線性目標(biāo)函數(shù)z=2x+)，化為y=-2x+z,

則將y=-2x平移，平移后結(jié)合圖像可知，當(dāng)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0(0,0)時(shí)截距最小，zmi?=0；

當(dāng)經(jīng)過(guò)8(3,0)時(shí)，截距最大值，zmax=2x3+0=6,

所以線性目標(biāo)函數(shù)z=2x+.y的取值范圍為[0,6],

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，線性目標(biāo)函數(shù)取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

求得集合B中函數(shù)的值域，由此求得進(jìn)而求得AC&B.

【詳解】

由y=6+121,得3=[1,一)，所以aB=所以AI43=[0,1).

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查函數(shù)值域的求法，考查集合補(bǔ)集、交集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，可判定A；由線面平行的判定定理，可判斷B；C中可判斷a,夕所成的二面角為

90°;D中有可能〃ua,即得解.

【詳解】

選項(xiàng)A：若切〃a,aH/3,根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，有加〃4或mu1,故A正確；

選項(xiàng)B：若加〃〃，mHa,naa,由線面平行的判定定理，有"〃a,故B正確；

選項(xiàng)C：若m±a,nV/3,故a,所成的二面角為90°,則故C正確；

選項(xiàng)D,若mA.a,有可能〃ua,故D不正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象能力，屬于中檔題.

4.B

【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示文，而，麗，利用畫(huà)=/1屈+〃)夙列出方程組求解即可.

【詳解】

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則0(0,0).

不妨設(shè)A8=l,則CD=AO=2,所以C(2,0),A(0,2),B(l,2),E(0,1),

CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2)

?/CA=ACE+/JDB

：.(~2,2)=2,1)+//(1,2),

_24+〃=_28

解得？則4+M

Z4-2//=25

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了由平面向量線性運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù)，屬于中檔題.

5.C

【解析】

根據(jù)題目所給圖像，填寫(xiě)好表格，由表格數(shù)據(jù)選出正確選項(xiàng).

【詳解】

根據(jù)雷達(dá)圖得到如下數(shù)據(jù)：

數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)據(jù)分析

甲454545

乙343354

由數(shù)據(jù)可知選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).

6.B

【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，求得4/,由此求得So.

【詳解】

L,5

2a.+d=-3371385

設(shè)公差為d,則《?2,所以2d=2，d=±,4=—,Sl0=10?l+-xl0x9x-=—.

2q+34=4248242

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

先求出雙曲線的漸近線方程，可得則直線bx-ay+2a=0與直線bx-ay=O的距離d,根據(jù)圓

（x—XoY+（y—yo）2=l與雙曲線。的右支沒(méi)有公共點(diǎn)，可得d21,解得即可.

【詳解】

22r

由題意，雙曲線C:5—與=19>0小〉0）的一條漸近線方程為丫=—乂，即bx—ay=0,

ab~a

丁P（x0,y0）是直線bx-ay+4a=0上任意一點(diǎn)，

.4a4a

則直線bx—ay+4a=0與直線bx—ay=0的距離dn-^^^二一，

yja+lrc

?.?圓（*一*0）2+（丫一丫0）2=1與雙曲線。的右支沒(méi)有公共點(diǎn)，則dNl,

：.—>1,即6=￡44,又e>I

ca

故e的取值范圍為（1,4],

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系，以及兩平行線間的距離公式，其中解答中根據(jù)圓與雙曲線C的右支沒(méi)有公

共點(diǎn)得出d21是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.C

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則求出z,再根據(jù)共甄復(fù)數(shù)的概念求解即可.

【詳解】

解：?：z-a=\,

.1+73/16

??Z=------r=~=----1----I9

1-V3z22

則建一工一烏，

22

z+z=-1>

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，考查共輯復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

根據(jù)正三棱柱的主視圖，以及長(zhǎng)度，可知該幾何體的底面正三角形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)矩形的面積公式，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：該幾何體的底面正三角形的邊長(zhǎng)為2

所以該正三棱柱的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)為2的正方形，

所以該正三棱柱的側(cè)面積為3x2x2=12

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查正三棱柱側(cè)面積的計(jì)算以及三視圖的認(rèn)識(shí)，關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長(zhǎng)，掌握一些常見(jiàn)的幾何體的三

視圖，比如：三棱錐，圓錐，圓柱等，屬基礎(chǔ)題.

10.D

【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函

數(shù)得答案

【詳解】

作出不等式組X+y>1所表示的可行域如下圖所示：

y>x

y=x1/11、

聯(lián)立「得x=y=「，可得點(diǎn)A不彳，

x+y=l2122)

由z=x+2)^y=—；x+z,平移直線y=-gx+z,

當(dāng)該直線經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)A時(shí)，該直線在)’軸上的截距最小，

113

此時(shí)2取最小值，即Zmi”=一+2x—=’.

222

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題.

11.A

【解析】

由已知得入，忸閭=4x,由已知比值得|Ag|=5x,|AB卜3x,再利用雙曲線的定義可用。表示出|然|,

\AF2\,用勾股定理得出c的等式，從而得離心率.

【詳解】

—?—?—.—.忸用4

???ABBF^Q,AB^O,BF^0,.-.ZABF=90°.又???r-er=-.一.可令忸閭=4x,則|你|=5卜朋=3x.設(shè)

222I|5

|A/j|=r,得=怛用-忸閭=2a,即5x-7=（3x+r）-4x=2a,解得/'=3a,x=a,

忸段=4a,忸用=|+|A耳|=6a,

由忸娟忸瑪「=|耳國(guó)2得(6a)2+(4a)2=(2c>,c2=l3a2，c=VHa，.,.該雙曲線的離心率e=：=屈.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點(diǎn)4B到

焦點(diǎn)的距離都用a表示出來(lái)，從而再由勾股定理建立a,c的關(guān)系.

12.C

【解析】

依次遞推求出4得解.

【詳解】

n=l時(shí)，a,=1+3=4,

n=2時(shí)，。3=2'4+1=9,

n=3時(shí)，%=9+3=12,

n=4時(shí)，%=2x12+1=25,

n=5時(shí)，％=25+3=28.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查遞推公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2

【解析】

由偶函數(shù)性質(zhì)可得=解得。=-1,再結(jié)合基本不等式即可求解

【詳解】

令/⑴=/(-1)得a=-l,所以17=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào).

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

考查函數(shù)的奇偶性、基本不等式，屬于基礎(chǔ)題

14.l<e<y/5

【解析】

法一:根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得/月4c2=|M￡『+|ME「，tan5片=電胃，又由雙曲線

2Mr2

2

局IMF=I年則e=1+―，十=—二令

的定義得|-|叫|=2。,將離心率表示成關(guān)于|嗎|,|咋|的式子，再令2,2,

+；,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)在［2,+8)上單調(diào)性，可求得離心率的范圍.

法二：令6|=、|明|=勺NM入耳=e,tan822,4=2csin8,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得

TT

ZFfMF2=-,將離心率表示成關(guān)于角。的三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的恒等變化轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan6的函數(shù)，可求得離

心率的范圍.

【詳解】

法一:?.?忻閭閭，?，「

=2|0.?/6s=5.?.4c2=|MFf+|gtanZMF^

\MF2y

麗+皿

4c2_\MFf+\MFf________________________

???|崢1TM周=2a,2

22

4a~(\MFt\-\MF2\)~\MF^-2\MF^MF^\MF^'

r2+l,2

設(shè)黑h"貝/—............=1+——;-----

方-2'+1"12,

IH--------Z

令〃r）=r+；J⑺=1—"=M=（'+》'一”'所以/>2時(shí)，/'W>0,在［2,物）上單調(diào)遞增,

1^152r

.'.t+->2+-=—,：.\<e2<5>:A<e<^5-

t22

法二：耳巴|=2|QM|,令制=4,="ZMF2F^0,tan^>2,q=2csin6,

]

r2=2ccos6,2a=彳-r2=2c(sin6-cosO')

sin。一cos。

1_sin2+cos20_tan2^+12

<5

222

(sincossin0+cos-2sin^cos0tan^+1-2tantan0八H-----1----2c

tan。

:A<e<>j5-

故答案為：l<eK百.

【點(diǎn)睛】

本題考查求雙曲線的離心率的范圍的問(wèn)題，關(guān)鍵在于將已知條件轉(zhuǎn)化為與雙曲線的a/,c有關(guān)，從而將離心率表示關(guān)

于某個(gè)量的函數(shù)，屬于中檔題.

15.5

【解析】

利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解即可.

【詳解】

解：由z=l+2i,得z2=(l+2i『=—3+4i,

所以團(tuán)=》(—3)2+42=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.

16.A或D

【解析】

分別假設(shè)每一個(gè)人一半是對(duì)的，然后分別進(jìn)行驗(yàn)證即可.

【詳解】

解：假設(shè)甲說(shuō)：第1個(gè)盒子里面放的是B是對(duì)的，

則乙說(shuō)：第3個(gè)盒子里面放的是D是對(duì)的，

丙說(shuō)：第2個(gè)盒子里面放的是。是對(duì)的，

丁說(shuō)：第4個(gè)盒子里面放的是A是對(duì)的，

由此可知第4個(gè)盒子里面放的是A;

假設(shè)甲說(shuō)：第3個(gè)盒子里面放的是C是對(duì)的，

則丙說(shuō)：第4個(gè)盒子里面放的是。是對(duì)的，

乙說(shuō)：第2個(gè)盒子里面放的是8是對(duì)的，

丁說(shuō)：第3個(gè)盒子里面放的是C是對(duì)的，

由此可知第4個(gè)盒子里面放的是D.

故第4個(gè)盒子里面放的電影票為?；駻.

故答案為：A或。

【點(diǎn)睛】

本題考查簡(jiǎn)單的合情推理，考查推理論證能力、分析判斷能力、歸納總結(jié)能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)巫；(2)4

10

【解析】

(1)B=ZAMC-ZBAM,利用兩角差的正弦公式計(jì)算即可；

(2)設(shè)=在A/記M中，用正弦定理將AM用x表示，在AAC70中用一次余弦定理即可解決.

【詳解】

(1)vcosZAMC

5

2/c

5

所以，sinB=sin(ZAMC-ZBAM)

=sinZAMC-cosZBAM-cosZAMC-sinZBAM

_275叵72_Vio

一^rIF，

(2)?：MC=-BM,

2

.,.設(shè)MC=x,BM^2x,

.,,TAIMENBMAM

在AAHM中，由正弦定理得，-------=------,

sin45°sin3

2x_AM

:.叵一回，

vi(r

....2V5

??AM=--x，

5

VAC2=AM2+MC2-2AM-MC-cosZAMC，

._42,2?加V5

?A-24=-x+x-2--x*X*—

555

MC=x=4.

【點(diǎn)睛】

本題考查兩角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.

18.見(jiàn)解析

【解析】

若選擇①，結(jié)合三角形的面積公式，得4s=4x1歷sinA=〃+/-a2,化簡(jiǎn)得到A="十二一"二=cosA,則

22bc

tanA=l,又0°<A<180°,從而得到A=45。，

將a=2代入——=cosA,得〃+/=V^c+4.

2bc

X~j2bc+4=b2+c2>2bc>be<4+2x/2>當(dāng)且僅當(dāng)b=c="+2應(yīng)時(shí)等號(hào)成立.

S=ScsinAwgx(4+2夜)*孝=0+1,

故AABC的面積的最大值為0+1，此時(shí)b=c="+20.

.1222

若選擇②，a=方=2,結(jié)合三角形的面積公式，得4s=4x,"sinA=/?+,2-/,化簡(jiǎn)得到sinA=+’一"=cosA,

則tanA=L又0°<A<180°,從而得到A=45。，

則A=B=45°,此時(shí)△AHC為等腰直角三角形，S=-x2x2=2.

2

若選擇③，b=c=2,則結(jié)合三角形的面積公式，^4S=4x^hcsinA=h2+c2-a2,化簡(jiǎn)得到

sinA二"、cosA,貝iJtanA=l,又0°<A<180°,從而得到A=45。，貝|S='x2x2xsin45°=血.

2bc2

+I

19.(1)a?=2n-l.bn=r~'(2)(H-1)X2"-^-^+2

【解析】

3x2

⑴設(shè)數(shù)列｛〃”｝的公差為d,由牝=$3可得,q+4d=3q+：-d,由％=4=1即可解得d=2,故=2〃-1,由

%+“=15，即可解得4=2，進(jìn)而求得“=2"-'.

(2)由(1)得，2口=叭三二)=〃.2"_〃,利用分組求和及錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)果.

nn

【詳解】

(1)設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,數(shù)列也｝的公比為g,

3x2

由%=S3可得，4+4d=3q+---d,

整理得2q=d,即d=2,

故a“=2n-l,

由%+%=15可得d=8,則如3=8,即4=2,

故a=2"T.

(2)由(1)得，S“=〃2,T?=T-i,

故、_^=二----^-=n-2"-n'

nn

所以，數(shù)列的前〃項(xiàng)和為(lx2i+2x22+-+〃x2")―(l+2+-+〃)，

設(shè)月=lx2l+2x22+…+(〃—l)x2"T+〃x2”①，

則2勺=1x2?+2x23+???+(〃-1)x2"+〃x2?i②，

②—①得匕=〃*2"+|_(2+22+23+...+2")=(〃_1)*2'用+2,

綜上，數(shù)列｛2子｝的前?項(xiàng)和為(〃一1)x2n+1-？(；1)+2.

【點(diǎn)睛】

本題考查求等差等比的通項(xiàng)公式，考試分組求和及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度一般.

20.(1)詳見(jiàn)解析(2)坡

5

【解析】

(1)如圖，作砂〃PC,交BC于F,連接AE.

因?yàn)镻B=3BE,所以E是PB的三等分點(diǎn)，可得8b=2叵.

3

因?yàn)锳B=AD=2,BC=CD=26，AC=AC,所以AABC會(huì)AWC,

因?yàn)?C_LA8,所以NA8C=9O°,

因?yàn)閠anNAC3=4g=三=迫，所以/4CB=zS4cz)=30。，所以NBC￡>=60°,

BC283

AB2rr

因?yàn)?'"=而二環(huán)='，所以NA「3=60°,所以A尸〃CD,

亍

因?yàn)锳Fo平面PCD,CDu平面PC。，所以平面PCD.

又所〃PC,EF,平面PCD,PCu平面PCD,所以政||平面PCD.

因?yàn)?AF>Ebu平面AM,所以平面AEF〃平面PC。，所以AE〃平面PCQ.

p,

(2)因?yàn)椤鱌A3是等邊三角形，AB=2,所以03=2.

又因?yàn)镻C=4,BC=26，所以PC?=m2+3。2,所以BCLPB.

又3CLAB，A氏P3u平面2LB,ABcPB=B,所以3C_L平面B鉆.

因?yàn)?Cu平面ABCD,所以平面PAB_L平面ABC￡>.在平面PAB內(nèi)作&_L平面ABCD.

以8點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以8c,84,&所在直線為x,?z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-肛z,

則C(26,0,0),40,2,0),P(0,l,我,

所以Bd=(2G,0,0),BA=(0,1,6),AC=(2x/3,-2,0),A戶=(0,-1,6).

m-BC=02'=0

設(shè)機(jī)=a，y,zj為平面BPC的法向量，則<_，即〈

m-BP-0j+&Z]=0

令Z]=—l,可得,"=(0,6,-1).

n-AC=Q2百%-2y2-0

設(shè)”=(±,%,22)為平面APC的法向量，貝卜,即《

n-AP=0-y2+^3z2=0

令Z2=l,可得77=(1,百,1).

3-1y/5

所以COS=貝!Jsin-(.~~T=—^―，

2x75-5

所以二面角A—PC-8的正弦值為述.

5

21.(1){x|0<x<2};(2)見(jiàn)解析

【解析】

X<c—1

(1)C(x)W4_|2x_3|等價(jià)于(I)或(H)<或(in)