第6課時對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（解析版）-挑戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【考點題型歸納講練】導(dǎo)學(xué)案

第6課時對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

【回歸教材】

1.對數(shù)式的運算

（1）對數(shù)的定義：一般地，如果/=N（a>0且axl）,那么數(shù)x叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=log“N,讀

作以。為底N的對數(shù)，其中〃叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù).

（2）常見對數(shù)：

①常用對數(shù)：以10為底，記為IgN；②自然對數(shù)：以e為底，記為InN；

（3）對數(shù)的性質(zhì)和運算法則：

①log：=0；log>l；其中。>0且awl；②"（其中a>0且awl，N>0）；

③對數(shù)換底公式」。g6部;

④log“(MN)=log“M+log“N；

M77

⑤log"—=log,,M-log”；⑥logbn=—log.b(m,〃￡/?)；

m

⑦小,"=%和log?ab=b⑧l(xiāng)og"6="j------;

log/

2.對數(shù)函數(shù)的定義及圖像

⑴對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)y=bg“x（”>0且。=1）叫做對數(shù)函數(shù).

a＞\0＜。＜1

圖象

o\^1(1,0)7

定義域：（0,+8）

值域：R

性質(zhì)過定點（1，0）,即x=l時，y=0

在（0,+?））上增函數(shù)在（0,+8）上是減函數(shù)

當(dāng)0<x<l時，y<0,當(dāng)xNl時，y>0當(dāng)0cx<1時，y>0,當(dāng)時，y?0

【方法技巧與總結(jié)】

“增大

1.對數(shù)函數(shù)常用技巧

在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)。>1時，隨。的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近X軸;

a增大

當(dāng)0＜。＜1時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠(yuǎn)離x軸.(見右圖)

【典例講練】

題型一對數(shù)式的運算

【例1-1】(I)(log32+log92)-(log23+log43)+ln9-lgl；

⑵(IgS)?+lg21g5+glg4-log34xlog23；

32

(3)21og32—log?—+log38-5啕*；

【答案】⑴!

4

⑵-1

⑶一1

【解析】

31g231g3,9.1

----------------乙=—z=一

21g321g244,

2

(2)(lg5)+Ig21g5+1lg4-log34xlog23=lg5(lg5+lg2)+lg4；—譬x罟=lg5+lg2-2=1_2=-1

乙IgDIgZ

(3)原式=21og32—51og32+2+3k)g32—3=-1.

【例1?2】(1)B^llog23=a,3"=7,試用?力表示log]256；

一49

(2)已知1O&32=。，log7=Z?,試用〃泊表示log28M

38

3+ab2b-3a

【答案】(1)(2)

〃+22a+h

【解析】

【分析】

(1)(2)同類型題，根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的互化及換底公式即可求解.

【詳解】

h

(1)-,-3=7,：.b=\og}7,

?：log,3=a,log,2=-,

a

__—3八

..x_log,56_31og,2+log,1_-3+H

喻56=底方=]+2抽2a=

a

(2)log23=a,log37=ft,

,49

.1049_og38_log349-log38_21og37-31og32_2b-3a.

??°g"&logs28log,4+log37210g32+logs72a+b

歸納總結(jié)：

【練習(xí)1-1】計算下列各題：

(1)已知2"=5"=屈，求」+工的值；

ab

(2)^<(21og43+log83)(log,2+log,2)的值.

【答案】(1)2

⑵2

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的關(guān)系，將指數(shù)式化為對數(shù)式，再根據(jù)換底公式及對數(shù)的運算性質(zhì)計算可得;

(2)根據(jù)換底公式及對數(shù)的運算性質(zhì)計算可得；

(1)

解：因為2"=5〃=屈，所以a=log2，i5、/?=log5Vi(j,

所以<=l°g加2,1log加5,

^^^+^=log7i55+log7I52=log7iU(5x2)=log7[510=log^IO=21og1()10-2；

(2)

解：(21哨3+幅3)械32+1。892)

=(21og2；3+log,,3)(log,2+log3,2)

=^|log23+llog2

2+-log32

4,c3,0

=3°g23,20832

=2妲叱=2

Ig2lg3

【練習(xí)1-2](1)若10、=3,10)=4,求102s的值;

(2)設(shè)Ig2=o,lg3=/j,用a,。表示logsl2.

9b+2a

【答案】⑴*⑵

i-a

【解析】

【分析】

(1)利用指數(shù)幕的運算性質(zhì)求解；

(2)利用換底公式以及對數(shù)的運算性質(zhì)求解.

【詳解】

(1)；10'=3,10'=4,

..心"=回=￡，

10'10'44

(2)Ig2=a,lg3=5,根據(jù)換底公式,

lg12Ig3+21g2Z?+2a

logs12=

l-lg2-\-a

題型二對數(shù)函數(shù)的圖像

【例2-1】畫出下列函數(shù)的圖象：

(1)y=log2|x+l|；

(2)y=log,x.

3

【答案】(1)作圖見解析；(2)作圖見解析；

【解析】

【分析】

(1)將y=log2》圖象向左平移1個單位，作出關(guān)于x=-l軸對稱圖象，即可求得答案;

(2)畫出〉=l°g1x的圖象中負(fù)數(shù)部分沿X軸翻折，即可求得y=log/.

35

【詳解】

(1)將y=iog2》圖象向左平移1個單位，做出關(guān)于X=-1軸對稱圖象

y=log?|x+l|的圖象如圖所示;

(2)畫出)'=l°gl》的圖象中負(fù)數(shù)部分沿x軸翻折,

3

【點睛】

本題考查作對數(shù)函數(shù)圖象，解題關(guān)鍵是掌握對數(shù)圖象畫法，考查了分析能力，屬于基礎(chǔ)題.

【例2-2］當(dāng)時，4v<log?x,則”的取值范圍是

A.(0,—)B.(4，1)C.(1,72)D.(V2，2)

22

【答案】B

【解析】

【分析】

分。>1和兩種情況討論，即可得出結(jié)果.

【詳解】

當(dāng)時，顯然不成立.

若0<av1時

當(dāng)x時，［=2,此時對數(shù)log“g=2,解得〃=孝,

根據(jù)對數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，要使4'<log“x在

時恒成立，則有也<“<1,如圖選B.

22

【點睛】

本題主要考查對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，熟記對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.

【例2-3］已知函數(shù)y(x)=MX,若0<a<6,且f(a)=/(6),則a+2Z>的取值范圍是

【答案】(3,”)

【解析】

【分析】

12

由/(。)=/(。)，0<。<6可得。,-\na=\nb,得8=—，所以。+26=。+—，然后構(gòu)造函數(shù)

aa

2

g(x)=x+—(O<x<l),利用可求出其單調(diào)區(qū)間，從而可求出其范圍

X

【詳解】

〃x)=|lnx|的圖象如圖，

因為■/(a)=/(。)，

所以|ln《=|lnq,

因為OVQV〃，

所以lna<0,ln/?>0,

所以O(shè)va<l,〃>l,

所以|lna|=_lnajlnq=ln/,

所以一ln〃=lnb,所以ln〃+ln〃=ln(a〃)=0,

所以必=1,則b=,，

a

一2

j圻以ci+2b=aH—,

a

27x—2.

令g(x)=x+-(0cxe1),則g'(x)=l——=----,

XXX

當(dāng)0<x<l時，g'(x)<0,

所以g(x)在(0,1)上遞減,

所以g(x)>g⑴=1+2=3,

所以a+4>3,

所以a+2b的取值范圍為(3,+?>),

故答案為：(3,+8)

歸納總結(jié):

【練習(xí)2-1］分別畫出下列函數(shù)的圖象:

(l)>'=|lg(x-l)|;

(3)〃》)=陽|廣11|

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)作出y=/gx的圖象。，先右平移1個單位，再利用翻轉(zhuǎn)變換即可得解.

(2)作>>=這》的圖像，沿y軸對折后與原圖像，同為y=/g|x|的圖像，再向右平移一個單位，得曠=這伏一1|

的圖像，再將尸如一”的圖像在x軸下方部分沿x軸向上翻折即可得到〃x)=|/g|kl||的圖像.

【詳解】

(1)首先作出丫=四*的圖象C/,然后將。向右平移1個單位，得到y(tǒng)=/g(x—1)的圖象C2,再把C2在X軸下

方的圖象作關(guān)于x軸對稱的圖象，即為所求圖象Cny=|/g(x—1)|,如圖1所示(實線部分).

圖1

(3)第一步作丫=/臚的圖像.

第二步將y=lgx的圖像沿y軸對折后與原圖像，同為y=/g|x|的圖像.

第三步將丫=例川的圖像向右平移個單位，得卜=這僅一”的圖像

第四步將y=/g|x-11的圖像在x軸下方部分沿x軸向上翻折，

得/(x)=|/g|kl||的圖像，如圖3.

.【點睛】

圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，并應(yīng)

注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.

【練習(xí)2-2】如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB,則不等式“X)2log?(x+1)的解集是

A.{x|-l<x<0}B.{x|-l<x<l)

C.{x|-l<x41}D.{x|-l<x<2}

【答案】C

【解析】

【詳解】

試題分析：如下圖所示,畫出分x)=log2(x+l)的函數(shù)圖象,從而可知交點0(1,1),..?不等式"X)2g(x)的解

集為(-1,1],故選C.

-1g2x

a

【練習(xí)2-3】如圖是三個對數(shù)函數(shù)的圖象，則a、b、c的大小關(guān)系是()

y

\\■■期=logax

0/

/77=logbX

/y=logcx

A.a>b>cB.c>b>a

C.c>a>bD.a>c>b

【答案】D

y=logax的圖象在(0,+8)上是上升的，所以底數(shù)。>1,函數(shù)y=log4r,y=logcx的圖象在(0,+°°)上

都是下降的，因此b,c0(0,1),又易知c>b,故a>c>尻

故選：D.

題型三解對數(shù)方程、不等式

【例3-1]若xlog,2=l,則2,+2T的值是______.

【答案】'##3；

【解析】

【分析】

先解出x=log?3,得到2*=3，2-*=；,即可求解.

【詳解】

因為xlog,2=l,所以》=噫3,所以2、=2喝3=3,2-v=1,

所以2,+2-*=3+；=與.

故答案為：—

【例3-2】函數(shù))，=的定義域是.

【答案】(0,e]

【解析】

【分析】

利用具體函數(shù)的定義域求解.

【詳解】

因為函數(shù)y=Jl-lnx,

所以1-lnxNO,即InxVl,

解得0<x<e,

所以函數(shù)y=g^的定義域是(0,e],

故答案為：(0,目

歸納總結(jié)：

【練習(xí)3-1]不等式108“(4-幻>-1。81》的解集是.

a

【答案】當(dāng)。>】時，解集為(0,2)；當(dāng)0<“<1時，解集為(2,4)

【解析】

【分析】

將原不等式變形為log。(4-x)>logax,討論對數(shù)單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】

...-logi^A=logux

a

???原不等式等價于log“(4-x)>log,”,

x>0

當(dāng)時，,4—x>0,解得0VxV2.

4-x>x

x>0

當(dāng)Ovavl時，4一尤>0,解得2VxV4.

4-x<x

...當(dāng)31時，不等式電，(47)>-1嗯彳的解集為(0.2)；

a

當(dāng)0<a<1時，不等式l°g“(4-x)>Tog］X的解集為(2,4)

a

故答案為：當(dāng)時，解集為(0,2)；當(dāng)0<“<1時，解集為(2,4)

【練習(xí)3-2】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+oo)上是減函數(shù)，=則不等式

/(k>g8X)>0的解集為一.

【答案】&)

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)將原不等式轉(zhuǎn)換為了(logsX)>再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可

【詳解】

(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在［0,+8)上是減函數(shù).-￡)=0,.?.7,)=/(_；)=().則不等

式〃1端x)>0等價為不等式/(log.x)>,/-W,即陲8x|<|=>-1<log8x<；=；<x<2,即不等式的解

集為加?

故答案為：

題型四比較大小

001

【例4-1］已知a=logs2,b=7c=logq5xlog53,則()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<h

【答案】B

【解析】

【分析】

對數(shù)指數(shù)混合類型的比大小常見方法是找中間量，例如本題可以找到中間量3,1即可得出答案.

【詳解】

=lo

因為6=7°。>1，c=1§3A/3<a=log32<1,所以c<a<匕.

21g3lg52

故選：B.

3

【例4-2]已知“=Iog』32=log54,c=[,則下列判斷正確的是()

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

【答案】A

【解析】

【分析】

利用指數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.

【詳解】

解：因為b=logs4=logs渾=log5V1024>Iog5^625=log51,

a-log43=log4療=log4^243<log4y/256=log4濘=搟，

a=log43=log4療=log4病>log4</64=log4江=(=。，

所以c，<a<人.

故選：A

【例4-3】設(shè)a=21nl.01,/?=lnl.O2,C=7L04-1.則()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】

【分析】

利用對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a力的大小作出判定，對于a與c,6與c的大小關(guān)系，將0.01換

成x,分別構(gòu)造函數(shù).f(x)=21n(l+x)-后獲+l,g(x)=ln(l+2x)—x/i\+l,利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包

括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合負(fù)0)=0,鼠0)=0即可得出a與c,〃與c的大小關(guān)系.

【詳解】

a=21nl.01=lnl.012=ln(l+0.01)2=ln(l+2x0.01+0.012)>In1.02=尻

所以匕<4；

下面比較c與的大小關(guān)系.

記"X)=21n(1+X)—717^+1,則/(0)=0,f'(x］=———=2,

IJ1+x^/i747(1+X)V174^

由于1+4x-(l+x)~=2x-x2=x(2-x)

所以當(dāng)0a<2時，l+4x-(l+x)2>0,即Jl+4x>(l+>"(x)>0,

所以〃x)在［0,2］上單調(diào)遞增，

所以f(0.01)>f(())=0,即21nl.01>^/^3?-l,即a>c；

I----/、oO2(J1+4x-1-2x)

令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+1,則g(O)=0,g<x)=-----------<-------:=----------,------1，

3l+2x7174^(1+2x)71747

由于1+4x-(1+2x)2=Yx?,在*>0時.］+4*-(1+2x)2<0,

所以g'(x)<0,即函數(shù)g(無)在［0,也)上單調(diào)遞減，所以g(0.01)<g(0)=0,即In1.02<VH)4-1,即b<c;

綜上，b<c<a,

故選：B.

歸納總結(jié)：

【練習(xí)4-1】已知函數(shù)貝I」()

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>a>b

【答案】B

【解析】

【分析】

直接由指數(shù)、對數(shù)的運算以及特殊角的三角函數(shù)值求解即可.

【詳解】

a=2l,0^3|=2l<，S23=3>。=*,51=2喝?=石，0=2卜用=2；=&，所以”>〃>c.

故選：B.

【練習(xí)4-2】設(shè)a=O.le°」,0=",c=-ln0.9,貝lj(

)

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【解析】

【分析】

構(gòu)造函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x,導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定。也c的大小.

【詳解】

1V*

設(shè)/(x)=ln(l+x)-x(x>-l),因為=——-1=---,

1+xl+x

當(dāng)xw(-l,O)時，:(x)>0,當(dāng)xe(O,-)時/(x)<0,

所以函數(shù)/(x)=ln(l+x)-x在(0.x)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以心<〃0)=0,所以吟go,故9釁=—ln0.9,即b>c,

1919--1-L1

所以/(一而)</(0)=0,所以19+歷<0,故/屋。，所以在。<?

故”〃，

設(shè)g(x)=xe*+ln(l-x)(0<x<1),貝Ug，(x)=(x+l)ev+-^-=—~m.

令h(x)=e*(V-1)+1,h'(x)=e'(x2+2x-1),

當(dāng)時，h'(x)<0,函數(shù)/z(x)=e*(x2-l)+l單調(diào)遞減，

當(dāng)時，"(x)>0,函數(shù)版x)=e'，-l)+l單調(diào)遞增，

又〃0()=0,

所以當(dāng)O<x<a-1時，h(x)<0,

所以當(dāng)0<x<&7時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)=xe，+ln(l-x)單調(diào)遞增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e°」>—ln().9,所以“>c

故選：C.

題型五綜合應(yīng)用

【例5-1】已知函數(shù)f(x)=l°gG2-2ax+3)

2

(1)當(dāng)a=-l時,求函數(shù)的值域;

(2)是否存在aeR,使/⑶在(-8,2)上單調(diào)遞增，若存在，求出。的取值范圍，若不存在，請說明理由.

【答案】(1)(9,T

(2)不存在，理由見解析

【解析】

【分析】

(1)設(shè)“d+2x+3并配方，進而得到定義域，并算出，的范圍，進而得到函數(shù)的值域；

(2)根據(jù)題意，只需，=/-2"+3在(9⑵上單調(diào)遞減且--2辦+3>0在(—,2)上恒成立，進而列出不

等式組求得答案.

(1)

當(dāng)。=-1時，/(x)=logi(f+2x+3),

2

i5r=x2+2x+3=(x+l)2+2>2,則xeR,所以

所以f(x)的值域為(—,-11.

(2)

要使/*)在(-8,2)上單調(diào)遞增，

只需，=》2_2如+3在(9,2)上單調(diào)遞減且*2_2改+3>0在(―⑵上恒成立，

(a>2\a>2

所以…74J，此不等式組無解?

[力(2)=7—4〃20(7<—

故不存在acR,使/*)在(e,2)上單調(diào)遞增.

2

【例5-2】已知函數(shù)f(x)=log2(or+2or+4),g(x)=log2x.

(1)若函數(shù)〃x)的定義域為R,求實數(shù)”的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，對Vxe(0,4w),/(x)2g(x)+2恒成立，求實數(shù)”的取值范圍.

【答案】(1)2,4)

⑵[4-2/4)

【解析】

【分析】

(1)要使得函數(shù)/(X)的定義域為R,即0^+20r+4>0在R上恒成立，分。=0和awO兩種情況，結(jié)合二

次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；

(2)由Vxe(0,4w),/(x)2g(x)+2恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式ax?+(2a-4)x+4N0在as[0,4)和xw(0,+oo)恒

成立，設(shè)/心)=加+(24-4口+4,4€[0,4),結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分類討論，即可求解.

⑴

解：由題意，函數(shù)/'(x)=log2(依2+2OX+4),

要使得函數(shù)“X)的定義域為R，即以2+26+4>0在R上恒成立，

當(dāng)。=0時，不等式4>0在R上恒成立，符合題意；

〃>0

當(dāng)時，則滿足人,\2八，解得0<。<4,

A=(2a)-16a<0

綜上可得，實數(shù)。的取值范圍為10.4).

⑵

2

解：由Vxe(0,+oo),/(x)2g(x)+2恒成立，BPlog2(ax+2ar+4)>log2x+2At,

即不等式log?(以2+2依+4)>log,4x在ae[0,4)和xe(0,+<?)恒成立，

即不等式ax?+(24-4)*+420在“€[。,4)和彳€(0,+00)恒成立，

設(shè)〃(*)=以2+(2a-4)x+4,ae[0,4)

若a=0時，不等式/i(x)—NO,顯然不能恒成立;

若0<〃<4時，函數(shù)m%)表示開口向上，且對稱軸*=平的拋物線，

當(dāng)個40時，即24a<4時，函數(shù)可同在(。，+8)單調(diào)遞增，

因為〃(0)=4,所以〃(x)>〃(0),所以〃(x)N0恒成立;

當(dāng)三>0時，即0<a<2時，則"(x)在(0,三)遞減，在(三,m)遞增，

aaa

要使得〃(x?0,只需〃(三)=衛(wèi)他即a2_8a+4W0,

aa

解得4-264444+2百，所以4-2G?a<2,

綜上可得，實數(shù)〃的取值范圍[4-2行,4).

歸納總結(jié)：

【練習(xí)5-1】已知函數(shù)/(x)=log?(-x2+ax-9)(a>0,a#l).

(1)當(dāng)a=10時，求/W的值域和單調(diào)減區(qū)間;

(2)若/(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間，求。的取值范圍.

【答案】⑴(ro,/gl6];[5,9)(2)a>6

【解析】

【分析】

2

(1)當(dāng)4=10時，/(x)=log10(-x+10x-9)=logl0[^-(x—5)+16]，令，=-￡+10x-9，求出t=-x?+10x-9

的單調(diào)區(qū)間與取值范圍，即可得出結(jié)果；

(2)若f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則當(dāng)則函數(shù)r=-V+or-9存在單調(diào)遞增區(qū)間即可，當(dāng)0<。<1,則

函數(shù)f=-爐+g-9存在單調(diào)遞減區(qū)間即可，根據(jù)判別式即可得出結(jié)果.

【詳解】

22

解：(1)當(dāng)a=10時，/(%)=logIfl(-x+10x-9)-logl0l(-(x-5)+16],

r=-x2+10x-9=-(x-5)2+16,

由-V+lOx—9>0,WX2-10X+9<0,得1<X<9,即函數(shù)的定義域為(1,9),

止匕時f=-(x-5y+16e(O,16],

貝Jy=1ogi(/Mlogiol6,即函數(shù)的值域為,

要求/(x)的單調(diào)減區(qū)間，等價為求，=-(x-5y+16的單調(diào)遞減區(qū)間，

力=-(》-5)2+16的單調(diào)遞減區(qū)間為[5,9),

???/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為[5,9).

(2)若/(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間，

則當(dāng)a>1,則函數(shù)/=-V+如一9存在單調(diào)遞增區(qū)間即可，則判別式△=Y-36>0得a>6或a<-6舍，

當(dāng)0<。<1,則函數(shù)￡=-丁+℃-9存在單調(diào)遞減區(qū)間即可，則判別式△=。2-36>0得a>6或a<-6,此時。

不成立，

綜上實數(shù)。的取值范圍是a>6.

【請完成課時作業(yè)(十二)】

【課時作業(yè)(十二)】

A組基礎(chǔ)題

1.方程ln(log3%)=0的解是()

A.1B.2C.eD.3

【答案】D

【解析】

【分析】

利用指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果.

【詳解】

Vln(log3x)=0,/.log3x=e°=1,/.x-3.

故選：D.

2.設(shè)函數(shù)/(x)=<"咒?二；<LM/(-2)+/(log26)=()

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)分段函數(shù)結(jié)合指對數(shù)的運算求解即可

【詳解】

設(shè)函數(shù)則〃一2)+/(10826)=晦(6+2)+2峭6=1048+6=3+6=9.

故選：B.

3.已知2“=5,log83=8,則=()

255

A.25B.5C.—D.一

93

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，幕的運算性質(zhì)以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可解出.

【詳解】

i4"(2")5225

因為2"=5,*=log83=1log23,即2一‘所以4""〃=不=云*=3=7—

(2、)

故選：C.

4.已知“fog—,O=(gj，c=QgJ,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>h>cB.b>c>aC.c>a>bD.h>a>c

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)單調(diào)性分析"，c的大小，再根據(jù)（g）=4判斷即可

【詳解】

V1=log36>log34,log,6<log39=2,=4,：.b>c>a.

故選：B.

5.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足關(guān)系式

町-竹=Jg&-glgE；,其中星等為外的星的亮度為其（k=l,2）.已知牛郎星的星等是0.75,織女星的星

等是0,則牛郎星與織女星的亮度的比值為（）

A.小B.]0-歷C.1g才D.1g

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題目中所給公式直接計算可得.

【詳解】

因為仍-㈣=2愴&-不吆￡：=彳愴U=-0.75,所以§=10一記.

22ZC,E]

故選：B

sincos0_

6.若函數(shù)〃6=1%,（》+3）-1（4>0,。"）的圖象經(jīng)過定點尸，且點尸在角。的終邊上，則

4sin6+cos6

)

【答案】A

【解析】

【分析】

令對數(shù)型函數(shù)的真數(shù)為1,即可求出函數(shù)過定點P的坐標(biāo)，再根據(jù)三角函數(shù)的定義得到tan。，最后根據(jù)同角

三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，代入計算可得：

【詳解】

解：對于函數(shù)〃x)=log“(x+3)-

令x+3=l,解得x=-2,所以/(—2)=log“l(fā)—1=一1,所以函數(shù)恒過定點尸(—2,7),

又點尸在角。的終邊上，所以tan6=；,

sincostan^-1_2

所以

4tan^+rl

4sin0+cos。4x+16

2

故選:A

7.函數(shù)y=ig|x+i|的圖像的大致形狀是()

【答案】A

【解析】

【分析】

求解函數(shù)的零點，根據(jù)排除法判斷即可

【詳解】

求lg|x+l|=0可得x+l=l或x+l=-l,解得x=0或x=-2,排除BCD；

故選：A

【點睛】

本題主要考查了根據(jù)函數(shù)解析式分析函數(shù)圖像的問題，屬于基礎(chǔ)題

log,(-x),x<0

8.設(shè)函數(shù)f(x)=5，若〃a)>/(-a),則實數(shù)”的取值范圍是()

log2x9x>0

A.(f,一1)D(0,1)B.(-<?,-l)U(l,+oo)

C.(-l,o)u(o,l)D.(-1,0)0(1,

【答案】D

【解析】

【分析】

分析出函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，可得出/(a)>0,然后分。>0、。<0兩種情況解不等式/(〃)>0,即可得出實

數(shù)4的取值范圍.

【詳解】

當(dāng)x<0時，-x>0,則/(一x)=bg2(—x)=-k)g|(—x)=—/(x),

2

當(dāng)x>0時，一x<。，貝ij/(-x)=log|X=-bg2X=—/(x),

2

所以,函數(shù)/(X)為奇函數(shù),由/(a)>〃—a)=-/(a)可得〃a)>o,

當(dāng)a>0時，由/(a)=log2a>0，可得〃>1；

當(dāng)”0時,由/(。卜唾式-")〉。，可得解得一l<a<0.

2

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍的取值范圍是(T,0)=(1,內(nèi)).

故選：D.

9.若3*=4>'=10,z=log*y,則()

A.x>y>zB.y>x>z

C.z>x>yD.尤>z>y

【答案】A

【解析】

【分析】

利用對數(shù)的單調(diào)性證明x>y>l,即得解.

【詳解】

解:因為3*=4>'=10,則1=10831。>10839=2;1=10844<丫=108」0<108416=2,則1<3?<2,所以x>y>l,

從而2=108,丫<1。8/=1,所以x>y>z.

故選：A.

10.【多選題】已知函數(shù)/U)=lg(x2+依-。)，下列說法中正確的是()

A.若/(幻的定義域為R,則T4a4O

B.若/(x)的值域為R,則aWT或

C.若a=2,則/(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,-1)

D.若/⑶在(—2,-1)上單調(diào)遞減，則

【答案】BD

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的知識對選項逐一判斷

【詳解】

對于A,若/(力的定義域為R,則f+ar-a>0在R上恒成立，所以/+4a<0,所以-4<a<0,所以A錯

誤；

對于B,若/(x)的值域為R,則/+4a2o,所以aNO或a?-4,所以B正確：

對于C,若。=2,則f(x)=lg(x2+2x-2),函數(shù)的定義域為(-8,_1一百)U(_l+G,+oo),設(shè)

“=f+2x-2/=lg",即求函數(shù)〃=/+2工-2的減區(qū)間，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理得函數(shù)的單減區(qū)間為

(-00,-1-?所以C錯誤；

對于D,若/(X)在(—2,T)上單調(diào)遞減，則(一1)2+“(一1)一“±0且-|2-],所以所以D正確.

故選：BD

11.e?3+log&8+(0.25廠的值為.

【答案】11

【解析】

【分析】

進行對數(shù)和分?jǐn)?shù)指數(shù)辱的運算即可.

【詳解】

原式=3+/og①(血)6+2=3+6+2=11.

故答案為：11.

12.已知]ogj>],則實數(shù)。的取值范圍為.

【答案】（3）.

【解析】

【分析】

分Ovavl和。>1兩種情況求解即可.

【詳解】

解：當(dāng)Ovavl時，由可得loglog/，解得;<〃<1;

1

當(dāng)時，logj〉l，可得logj>log/'，得a<§，不滿足01,故無解.

綜上所述“的取值范圍為：弓,1）.

故答案為：（*I）.

13.已知若log*+log/=gM=b",貝！|a+2Z>=.

【答案】8

【解析】

【分析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、運算法則直接求解.

【詳解】

解：由log?b+log/,a='|,且log“6/og/=l

所以log“b」og”a是方程『-gx+l=0的兩根，

解得bg,,。=2或log,,。=g，

乂a>b>I，所以log”a=2,即a=,又a"=Z?"

從而力"=〃"=a=2〃，ita=b2f則b=2,a=4.

所以a+給=8.

故答案為：8.

14.己知函數(shù)，（x）=l°gi（x2-e-m）.

2

（1）若初=1,求函數(shù)f（%）的定義域.

⑵若函數(shù)/（X）的值域為R,求實數(shù)機的取值范圍.

(3)若函數(shù)在區(qū)間(-oo,1-g)上是增函數(shù)，求實數(shù)，〃的取值范圍.

【答案】(1)(-CO,--且)u("",+8)；

22

(2)/MG(TO,-4]o[0,+oo)；

(3)2>;n>2(l-73).

【解析】

【分析】

(1)由對數(shù)的性質(zhì)有犬-》-1>0求解集，即可得定義域.

(2)由題設(shè)(0,+oo)是y=f一〃a-〃2值域的子集，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)有即可求，〃的范圍.

(3)首先根據(jù)二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由已知區(qū)間的單調(diào)性有〈

/(1->/3)>0

即可求，〃的范圍.

(1)

由題設(shè)，x2-x-1>0?則x>"聲或x<,...->

22

所以函數(shù)定義域為(-00,上手)5笥叵,+8).

(2)

由函數(shù)/(X)的值域為R，則(0,一)是y=/-蛆-機值域的子集，

所以△=+4m>0.即機e(~°°，-4J50,+00).

(3)

由好―-皿在(Y>,￡)上遞減，在(黑口)上遞增，而y="gJ在定義域上遞減,

222

所以/(X)在(―,鄉(xiāng)上遞增，在弓,口)上遞減，

界”6

又“X)在上是增函數(shù)，故<,可得22機22(1-拘.

/(1-5^)>0

B組能力提升能

-x2+4x,x<4

I.設(shè)函數(shù)/(x)=關(guān)于x的方程/(x)=，有四個實根不々,玉,七(%,<%2<%3<%4),則

|log2(x-4)|,x)4

%+々+七+；匕的最小值為()

A.=19B.1—7C.9D.10

22

【答案】D

【解析】

【分析】

作出函數(shù)/(x)的圖象，再分析函數(shù)性質(zhì)結(jié)合均值不等式求解作答.

【詳解】

拋物線^=-/+4%的對稱軸x=2,當(dāng)04x44時，/(*)圖象關(guān)于直線x=2對稱，且/(刈?m=4,

關(guān)于x的方程/(x)=r有四個實根占,和三產(chǎn)4,則有直線y=f與函數(shù)y=f(x)的圖象有4個公共點，0<f<4,

則玉+々=4,笑<X3<5<Z<20，由|108，(玉-4)|=|108，(>4-4)|得：x3=4+—^—,

16%一4

因此，XX+X^+X^+^-X4=4+4+―^+!(5-4)+129+21一--^(x4-4)=10,

x44

4x4-44\4~

當(dāng)且僅當(dāng)=*4-4),即匕=6時取“=”，

XA-44

所以占+%+忍+］匕的最小值為10.

故選：D

2.對Vxe(0,+8)不等式(2x-2a+ln；］(-2￡+ax+5)40恒成立，則實數(shù)”的取值范圍是()

A.網(wǎng)B.(0，石］

C.(-co,17^］D.［\Z^,+8)

【答案】A

【解析】

【分析】

原不等式整理為[2x+lnx