因式分解的常用方法與技巧

因式分解的常用方法與技巧田發(fā)銀因式分解是初中代數(shù)中一種重要的恒等變形，是處理數(shù)學(xué)家問題重要的手段和工具，有關(guān)的題目在中考和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中比較常見。對(duì)于特殊的因式分解，除了考慮提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等基本方法外，還應(yīng)根據(jù)多項(xiàng)式的具體結(jié)構(gòu)特征，靈活選用一些特殊的方法，這樣不僅可使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，使復(fù)雜問題迎刃而解，而且有助于培養(yǎng)同學(xué)們的探索求新的習(xí)慣，提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維能力?，F(xiàn)將因式分解中幾種比較常用的方法與技巧列舉如下，供同學(xué)們參考。一、巧拆項(xiàng)在某些多項(xiàng)式的因式分解過程中，若將多項(xiàng)式的某一項(xiàng)（或幾項(xiàng)）適當(dāng)拆成幾項(xiàng)的代數(shù)和，再用基本方法分解，會(huì)使問題化難為易，迎刃而解。例1因式分解：八-療+4a+2*+了。解析：根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，把3拆成4十卜1），則a2-b3+4a+2b+3=a2-b2+4a+2b+4-1=[a2+4a+4)-[b3-21)+1)=(a+if-(1)-1)3=(a+b+l)(a-b+3)例2因式分解：以+妣$+11囂銃。解析：根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，把曲拆成2/+4/，把Hx拆成匪十亞，則￡+毆2+］以+目二4-2k3}+（4筈2斗Sz）+仗J4-町=/付亠 4-2）4-了仗斗2）=（Z4-2）（氐2+4k+3）=（s+1）（盤+2）（筈斗3）二、巧添項(xiàng)在某些多項(xiàng)式的因式分解過程中，若在所給多項(xiàng)式中加、減相同的項(xiàng)，再用基本方法分解，則解法獨(dú)特，新穎別致。4,4例3因式分解： 呵

解析：根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，在^亠4襯中添上兩項(xiàng)，則有J+4y*=(x4,-+4K2y2+4y4)-4k2y2=(k2+2y叮一(2町『=匱+2xy+2y2)閔-2xy+2y2)l o三、巧換元在某些多項(xiàng)式的因式分解過程中，通過換元，可把形式復(fù)雜的多項(xiàng)式變形為形式簡(jiǎn)單、易于分解的多項(xiàng)式，使問題化繁為簡(jiǎn)，迅速獲解。例4因式分解:X+馳-4腫7-小+24。解析.k'+馳一4血2 町斗24=伝一1)仗亠4滄亠2)丘一?亠24=(盟一1宓+富呂=(盟一1宓+富呂-3)盤斗4)+24=[x2+忌一2腫+x-12)+24于曰

疋：原式=y(y-10)+1A=、滬-10y+24=(y-4)(y-6)=[s2+筈_2_4腫+烹-2-H)四、展開巧組合若一個(gè)多項(xiàng)式的某些項(xiàng)是積的形式，直接分解比較困難，則可展開重新組合，然后再用基本方法分解。例5因式分解：呻貳+b)+犁丘+n解析：將多項(xiàng)式展開后再重新組合，分組分解。+nj=niii：-： +miiy+sym+xyn= +xymJ+my)十ny(giy十血)=(皿十 十ny)例6因式分解.(邊+収『+血-型^。

解析：(mz-i-ny『+(rnj=tn2x2+2mnxy4-n2y2+n2n2-2tniiKy+rn2y2=血2盤2+門2盤2)+ +n2y2)=烹2［血2十門2)斗y2缸2十R2)=価2+血2鬧斗f)五、巧用主元對(duì)于含有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母的多項(xiàng)式，若無法直接分解，可以其中一個(gè)字母為主元進(jìn)行變形整理，從而使問題柳暗花明。例7因式分解：3%+at衛(wèi)+「匚+a"+ti:3c：+tiF+2ati匚。解析：這是一個(gè)輪換對(duì)稱多項(xiàng)式(指以a代替b、b代替c、c代替a后原式不變),不妨以a為主元進(jìn)行整理：a3b+ab3+屮匚+aca+ti3c+be3+2abc=聲免+匚)斗a(^2+2bc+c2)+bc(b+c)=a2(b+c)=a2(b+c)+a(h4-c)24-l)c(b+c)=(t4-c)[a2+a(b4-c)(aa+ab4-ac+be)=(b+c][a(a+b)+匚0+1)j=(a+町(a+c)(b+c)從以上幾例可以看出，因