2021年內(nèi)蒙古高考數(shù)學(xué)三模試卷（文科）

2021年內(nèi)蒙古赤峰二中高考數(shù)學(xué)三模試卷（文科）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合。={x|x?-2蒼,0,xeN},且P±Q,則滿足條件的集合P的個(gè)數(shù)（

）

A.8B.9C.15D.16

2.（5分）復(fù)數(shù)z=4-5i（其中i為虛數(shù)單位），則z+2,?的虛部為（)

A.5B.6C.7D.-3

3.（5分）在邊長(zhǎng)為2的等邊&4BC中，麗=而，貝I」麗?及=（)

A.0B.-C.1D.2

2

4.（5分）已知sina=2\/^sin（a+2）,則tan2a=（）

2

D.還

7

5.（5分）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“=”作為等號(hào)使

用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用和“〉”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)

的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若。>〃>0,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

1111

A.-<-B.log,（?-/?）>0C.a2>b2D.3">3〃

ab

6.（5分）中國(guó)是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國(guó)家之一，古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形較短的

直角邊為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦，其三邊長(zhǎng)組成的一組數(shù)據(jù)成為勾股數(shù)，現(xiàn)有一組

勾股數(shù)3,4,5,則由這組勾股數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，能被2整除的概率為（

）

1

A1Rr1門(mén)2

6323

7.（5分）已知?jiǎng)訄A圓心在拋物線上，且動(dòng)圓恒與直線工=-1相切，則此動(dòng)圓必過(guò)定

點(diǎn)（）

A.（2,0）B.（1,0）C.（0,1）D.（0,-1）

8.（5分）如圖是一個(gè)裝有水的倒圓錐形杯子，杯子口徑6cm,高8cm（不含杯腳），已知

水的高度是，現(xiàn)往杯子中放入一種直徑為3”的珍珠，該珍珠放入水中后直接沉入杯底,

且體積不變.如果放完珍珠后水不溢出，則最多可以放入珍珠（）

A.98顆B.106顆C.120顆D.126顆

9.（5分）“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們?cè)谌诤鸾谢虬l(fā)出其他聲音時(shí)，聲波傳

入泉洞內(nèi)的儲(chǔ)水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學(xué)作用，激起水波，形或涌泉.聲音超大,

涌起的泉水越高.已知聽(tīng)到的聲強(qiáng)機(jī)與標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)人（〃4,均為10-2,單位：卬/加2）之比的常

用對(duì)數(shù)稱作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)，記作L（貝爾），即乙=四里，取貝爾的10倍作為響度的常用

單位，簡(jiǎn)稱為分貝.已知某處“喊泉”的聲音響度y（分貝）與噴出的泉水高度x（米）滿

足關(guān)系式y(tǒng)=2x,現(xiàn)知A同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度為70米，若A同學(xué)大喝一聲的

聲強(qiáng)大約相當(dāng)于100個(gè)8同學(xué)同時(shí)大喝一聲的聲強(qiáng)，則8同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高

度約為（）米.

A.0.7B.7C.50D.60

10.（5分）若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A、8兩點(diǎn)滿足①點(diǎn)A、8都在函數(shù)/（x）的圖象上；②點(diǎn)A、

5關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)（A,8）是函數(shù)/*）的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”.點(diǎn)對(duì)（A,B）與（B.A）可看作

x2+2x（x<0）

是同一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)"，已知函數(shù)/'0）=2,貝IJ/3）的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有（

（X..0）

)

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

11.（5分）下列說(shuō)法中，正確的有（）個(gè).

①各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐；

②過(guò)球面上任意兩點(diǎn)只能作球的一個(gè)大圓；

③三棱錐的四個(gè)面都可以是直角三角形；

④梯形的直觀圖可以是平行四邊形.

A.1B.2C.3D.4

12.（5分）定義在加上的函數(shù)f（x）,滿足/（x）=/d）,且當(dāng)時(shí)，f｛x｝=lnx,

71X7V

若函數(shù)g（x）=/（x）-or在4,乃]上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

萬(wàn)

ln7r八】,1Inn.e1,

A.[------,0]BD.\r-7ilnn,0n]iC.[一一,]D.[——,——]

TVe2n

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）函數(shù)丫=/（幻的圖象在點(diǎn)M（2,7（2））處的切線方程是〉=2犬-6,則*^=__

/（2）

14.（5分）A48C中，〃，b,c分別為NA,ZB,/C的對(duì)邊，如果a,b,c成等差數(shù)

列，ZB=3O°,AABC的面積為3,那么〃=.

2

15.（5分）函數(shù)y=log]（f+21-3）的單調(diào)遞減區(qū)間是.

2

r2v2

16.（5分）如圖，雙曲線C:=一%■=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為防，F(xiàn)2,過(guò)鳥(niǎo)作線

段居P與c交于點(diǎn)。，且。為2工的中點(diǎn).若等腰4pg的底邊PF2的長(zhǎng)等于c的半焦距，

則C的離心率為.

三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，第17-21題為必考題，每個(gè)考生

都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。

17.（12分）已知數(shù)列｛q｝是公差不為0的等差數(shù)列，4=3,01y=G-

（I）求｛4｝的通項(xiàng)公式明及前〃項(xiàng)和S“；

iii

（n）b?=—+—+...+—,求數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式.

5$2S,

18.（12分）如圖幾何體中，四邊形A8CO為矩形，AB=3BC=6,BF=CF=AE=DE=2,

EF=4,EF//AB,G為FC的中點(diǎn)，M為線段C。上的一點(diǎn)，且CM=2.

（I）證明：AF//面8DG；

（H）證明：面面BFC；

（III）求三棱錐F-BMC的體積V.

19.（12分）松山區(qū)教研室某課題組對(duì)“加強(qiáng)'語(yǔ)文閱讀理解’訓(xùn)練對(duì)提高'數(shù)學(xué)應(yīng)用題'

得分率作用”這一課題進(jìn)行專項(xiàng)研究.為此對(duì)松山區(qū)某中學(xué)高二甲、乙兩個(gè)同類(lèi)班級(jí)進(jìn)行“加

強(qiáng)'語(yǔ)文閱讀理解'訓(xùn)練對(duì)提高'數(shù)學(xué)應(yīng)用題'得分率作用”的試驗(yàn)，其中甲班為試驗(yàn)班（加

強(qiáng)語(yǔ)文閱讀理解訓(xùn)練），乙班為對(duì)比班（常規(guī)教學(xué)，無(wú)額外訓(xùn)練），在試驗(yàn)前的測(cè)試中，甲、

乙兩班學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用題上的得分率基本一致，試驗(yàn)結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)幾次數(shù)學(xué)應(yīng)用題測(cè)試的平

均成績(jī)（均取整數(shù)）如表所示：

60分以下61~7071-808/-909/-100

甲班（人數(shù)）36111812

乙班（人數(shù)）48131510

現(xiàn)規(guī)定平均成績(jī)?cè)?0分以上（不含80分）的為優(yōu)秀.

（I）試分別估計(jì)兩個(gè)班級(jí)的優(yōu)秀率：

（II）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面2x2列聯(lián)表，并問(wèn)是否有75%的把握認(rèn)為“加強(qiáng)'語(yǔ)文閱

讀理解’訓(xùn)練對(duì)提高'數(shù)學(xué)應(yīng)用題‘得分率”有幫助？

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)

甲班

乙班

合計(jì)

參考公式及數(shù)據(jù):

n(ad-be)

,其中〃=Q+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

PgKJ0.400.250.150.1000.0500.0250.010

0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635

k。

20.（12分）已知曲線E上的點(diǎn)到尸（0,1）的距離比它到x軸的距離大1.

（1）求曲線E的方程；

（2）過(guò)E作斜率為上的直線交曲線E于4、3兩點(diǎn)；

①若麗=3胡，求直線/的方程；

②過(guò)A、3兩點(diǎn)分別作曲線E的切線人、6，求證：乙、4的交點(diǎn)恒在一條定直線上.

21.（12分）已知函數(shù)/'（X）二-x2-3,g（x）-2xlnx-ax.

（I）若函數(shù)/（X）與g（x）在x=l處的切線平行，求函數(shù)g（x）在（1,g（1））處的切線方

程；

（II）當(dāng)X€（0,+oo）時(shí),若g（x）../（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（二）選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程1

22.（10分）直角坐標(biāo)系my中，已知直線/的參數(shù)方程為21Q為參數(shù)），以原點(diǎn)。為

V=1+—/

2

極點(diǎn)，X軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為02cos26=1.直線/與曲

線C交于A,8兩點(diǎn).

（1）求|AB|的長(zhǎng)；

（2）若P點(diǎn)的極坐標(biāo)為（1,工），求AB中點(diǎn)版到P的距離.

2

［選修4-5：不等式選講］（本小題滿分0分）

23.設(shè)函數(shù)/（x）=|x-2|+2x-3,記/（x）,,-1的解集為

（I）求M；

(II)當(dāng)xeM時(shí)，證明：-x2f(x)?0.

2021年內(nèi)蒙古赤峰二中高考數(shù)學(xué)三模試卷（文科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合。={X|X2—2%,0,xwN},且P=則滿足條件的集合P的個(gè)數(shù)（

）

A.8B.9C.15D.16

【解答】解：由2羽0,解得啖上2,

又xeN,r.x=0,1,2.

.?.Q={0,1,2）,

?:PjQ,則滿足條件的集合P的個(gè)數(shù)為T(mén)=8,

故選：A.

2.（5分）復(fù)數(shù)z=4-5i（其中i為虛數(shù)單位），則z+2i的虛部為（）

A.5B.6C.7D.-3

【解答】解：復(fù)數(shù)z=4-5i,則z+2i=4-5i+2i=4-3i,其虛部為-3.

故選：D.

3.（5分）在邊長(zhǎng)為2的等邊AA8C中，BN=NC,則麗.前=（）

A.0B.-C.1D.2

2

【解答】解：因?yàn)榈冗匒A8C,由麗=配可知，N為8c的中點(diǎn)，

所以AN，8c（等腰三角形三線合一）.

故而_L前，所以前?冊(cè)=0.

故選：A.

A

4.(5分)已知sina=2&sin(a+^),則tan2a=()

2

.4夜n4夜「2夜

A.----------D.C.----------

779。?當(dāng)

【解答】解：sina=2V2sin(a+—)=2>/2cosa?/.tancr=25/2,

2

2tana逑

貝!]tan2a=

1-tan2a~7~

故選：A.

5.（5分）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“=”作為等號(hào)使

用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)

的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若”>〃>（）,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

11

-<-B.log(a-fe)>0C.后>層D.3">3"

A.Q匕2

【解答】解：令a=2,b=\,

得選項(xiàng)3錯(cuò)誤，

故選：B.

6.（5分）中國(guó)是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國(guó)家之一，古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形較短的

直角邊為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦，其三邊長(zhǎng)組成的一組數(shù)據(jù)成為勾股數(shù)，現(xiàn)有一組

勾股數(shù)3,4,5,則由這組勾股數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，能被2整除的概率為（

）

A.-B.-C.-D.-

6323

【解答】解：由這組勾股數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有345,354,435,453,543,534

共6種等可能結(jié)果，

能被2整除的有354,534兩種結(jié)果，

71

故概率尸=3=L.

63

故選：B.

7.(5分)已知?jiǎng)訄A圓心在拋物線V=4x上，且動(dòng)圓恒與直線x=-l相切，則此動(dòng)圓必過(guò)定

點(diǎn)()

A.(2,0)B.(1,0)C.(0,1)D.(0,-1)

【解答】解：設(shè)動(dòng)圓的圓心到直線x=-l的距離為r,

因?yàn)閯?dòng)圓圓心在拋物線V=4x上，且拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-l,

所以動(dòng)圓圓心到直線x=-l的距離與到焦點(diǎn)(1,0)的距離相等，

所以點(diǎn)(1,0)一定在動(dòng)圓上，即動(dòng)圓必過(guò)定點(diǎn)(1,0).

故選：B.

8.(5分)如圖是一個(gè)裝有水的倒圓錐形杯子，杯子口徑6c”，高8cm(不含杯腳)，已知

水的高度是4cm,現(xiàn)往杯子中放入一種直徑為1cm的珍珠，該珍珠放入水中后直接沉入杯底,

且體積不變.如果放完珍珠后水不溢出，則最多可以放入珍珠()

A.98顆B.106顆C.120顆D.126顆

【解答】解：作出軸截面如圖，由題意，

4X3

OP=8,?尸=4,04=3,設(shè)則一=土，即％=

832

11Q

則放入珍珠的最大體積丫=±;TX32x8'乃x(2)2x4=21萬(wàn).

332

一顆珍珠的體積是.

326

由巫=126,得最多可以放入珍珠126顆，

71

6

故選：D.

9.（5分）“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們?cè)谌诤鸾谢虬l(fā)出其他聲音時(shí)，聲波傳

入泉洞內(nèi)的儲(chǔ)水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學(xué)作用，激起水波，形或涌泉.聲音超大,

涌起的泉水越高.已知聽(tīng)到的聲強(qiáng)”與標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)%（%均為10』，單位：W/n?）之比的常

用對(duì)數(shù)稱作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)，記作L（貝爾），即乙=收二，取貝爾的10倍作為響度的常用

機(jī)0

單位，簡(jiǎn)稱為分貝.已知某處“喊泉”的聲音響度y（分貝）與噴出的泉水高度x（米）滿

足關(guān)系式y(tǒng)=2無(wú)，現(xiàn)知4同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度為70米，若A同學(xué)大喝一聲的

聲強(qiáng)大約相當(dāng)于100個(gè)8同學(xué)同時(shí)大喝一聲的聲強(qiáng)，則3同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高

度約為（）米.

A.0.7B.7C.50D.60

【解答】解：設(shè)8同學(xué)的聲強(qiáng)為機(jī)，噴出泉水高度為x,則4同學(xué)的聲強(qiáng)為100機(jī)，噴出泉

水高度為70,

101g——=2x,Igm-Igm^=0.2x,

恤

,.T0/g=2x70,2+Igm—=14,

兩式相減得：2=14-0.2%,

解得x=60,

故選：D.

10.（5分）若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A、3兩點(diǎn)滿足①點(diǎn)A、3都在函數(shù)/（x）的圖象上；②點(diǎn)A、

8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)（A,3）是函數(shù)的一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”.點(diǎn)對(duì)（48）與（B,A）可看作

x2+2x(x<0)

是同一個(gè)“姊妹點(diǎn)對(duì)”，已知函數(shù)/(x)=2，則/'(無(wú))的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有(

—(x.O)

)

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【解答】解：根據(jù)題意可知，''姊妹點(diǎn)對(duì)"滿足兩點(diǎn)：都在函數(shù)圖象上，且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)

稱.

可作出函數(shù)y=/+2x(x<0)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，看它與函數(shù)y=2(x..0)交點(diǎn)個(gè)數(shù)

ex

即可.如圖所示：

當(dāng)x=1時(shí)，，0<—<1

觀察圖象可得：它們有2個(gè)交點(diǎn).

故選：C.

11.(5分)下列說(shuō)法中，正確的有()個(gè).

①各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐；

②過(guò)球面上任意兩點(diǎn)只能作球的一個(gè)大圓；

③三棱錐的四個(gè)面都可以是直角三角形；

④梯形的直觀圖可以是平行四邊形.

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：考查所給的各個(gè)說(shuō)法：

①兩個(gè)同底的三棱錐構(gòu)成的六面體各個(gè)面都是三角形，不是三棱錐，故錯(cuò)誤，

②過(guò)球面上任意兩點(diǎn)與球心共線時(shí)，可以作球的無(wú)數(shù)個(gè)大圓，故錯(cuò)誤，

③一條側(cè)棱垂直于底面直角三角形的一個(gè)銳角頂點(diǎn)的三棱錐，滿足題意，故正確,

④因?yàn)槠叫杏趚軸的線段長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半，故梯形的直觀圖不可以是

平行四邊形，

綜上可得，正確的說(shuō)法有一個(gè)，

故選：A.

12.(5分)定義在二加上的函數(shù)f(x),滿足/(x)=/(3，且當(dāng)、€己用時(shí)，f(x)=lnx,

兀X7V

若函數(shù)g(x)=/(x)-6在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

7V

Ar伉兀八】nr,八】kr1山乃】cr61.

A.[---,0JB.\-nlnn,0]C,[,----]D.[——,——]

ne7t27t

【解答】解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，/(x)=bix,

n

所以xw(l,時(shí)，—G[—,1J,所以f(―)=-Inx,此時(shí)f(x)=/(—),故/(x)=-bvc,XG(1,

X7TXX

乃].

所以/(x)在山川上的圖象如圖，要使函數(shù)g(x)=/(x)-ar在P㈤上有零點(diǎn)，只要直線

乃乃

y=ar與f(x)的圖象有交點(diǎn)，

由圖象可得，3釉0,其中心=.=-加〃萬(wàn)，

71

所以使函數(shù)g(X)=/(X)-辦在[Li]上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)G的取值范圍是[-乃加T,0].

71

故選：B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

/(2)

13.(5分)函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)M(2,f(2))處的切線方程是卜=2》-6,則

;⑵

-1

【解答】解：函數(shù)y=/(x)的圖象在點(diǎn)時(shí)(2,f(2))處的切線方程是y=2》-6,

可得/(2)=4-6=-2,f(2)=2,

所以需后一

故答案為：-1.

14.(5分)A48c中，a,b,c分別為NA,N8,NC的對(duì)邊，如果a,b,c成等差數(shù)

列，NB=30°,AABC的面積為3,那么6=1+6.

2一一

【解答】解：b,c成等差數(shù)列,

2b=a+c.

平方得a2+c2=4b2-2ac.

又AA4C的面積為一，且N8=30。，

2

iii3

故由S=—acsin5=—ac?sin3O°=—ac=—,

2242

得4C=6,

a2+c2=4/72-12.

由余弦定理

4b2-12-從從—4V3

cosB=

2x64

解得b?=4+26

又???b為邊長(zhǎng),

.?.人=1+百.

故答案為：1+6

15.(5分)函數(shù)〉=1081(犬+2工一3)的單調(diào)遞減區(qū)間是—(1,+8)—.

2

【解答】解：由Y+2x-3>0解得x<-3,或x>l,故函數(shù)的定義域?yàn)?TO,-3)U(1,+00).

在(-oo,-3)上，函數(shù)f=x2+2x—3是減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得丫=/叩1(/+2》-3)是

2

增函數(shù).

在（1,內(nèi)）上，函數(shù)f=W+2x-3是增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得y=/og1，+2x-3）是

2

減函數(shù).

故函數(shù)y=1og]（d+2X一3）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1,+8）,

2

故答案為（1,長(zhǎng)0）.

r2v2

16.（5分）如圖，雙曲線C：A-2=1（“>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為匕，F(xiàn)2,過(guò)E作線

ab

段F2P與C交于點(diǎn)Q，且。為PE的中點(diǎn).若等腰△PRF2的底邊PF?的長(zhǎng)等于C的半焦距，

【解答】解：連結(jié)。耳，由條件知且|。用|=|.

由雙曲線定義知|。4|=2a+|,

在即△KQ入中，（2。+]）2+（今2=QC）2,

即8/+4ac-7c2=0,

即8+4e-7e2=0

解得C的離心率e="|姮，

三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，第17-21題為必考題，每個(gè)考生

都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。

17.（12分）已知數(shù)列｛/｝是公差不為0的等差數(shù)列，a,=3,q?%

（I）求｛q｝的通項(xiàng)公式?！扒啊?xiàng)和s〃；

（II）,求數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式.

S|S2Sn

【解答】解：（I）數(shù)列｛〃“｝是公差d不為0的等差數(shù)列，4=3,4?%=W.

所以%(4+3d)=(q+d)~,

解得d=3或0,（0舍去）,

故%=3+3("-1)=3〃.

〃(3+3n)3n2+3rl

(ID由于S“=3"+3〃,

2

所以—=|(-—),

Sn3(〃-+n)3nn+1

m1I12,111112,12n

所以“=1----F...H=—Z(1--1-------F...H-------)=—(Z1-----)=-----.

"S,S2Sn3223nn+13n+13n+3

18.(12分)如圖幾何體中，四邊形ABC。為矩形，AB=3BC=6,BF=CF=AE=DE=2,

EF=4,EF//AB,G為FC的中點(diǎn)，"為線段CD上的一點(diǎn)，且CM=2.

(I)證明：AF//面BOG；

(H)證明：面BGM1面BFC；

(III)求三棱錐F-BMC的體積V.

【解答】解：（I）連接AC交于。點(diǎn)，則。為AC的中點(diǎn)，連接。G

?.?點(diǎn)G為CF中點(diǎn)，

OG為&4FC的中位線

OG//AF,

-/AF<￡面BDG,OGu面BDG,

AF//面BOG,

(n)連接nw,

?：BF=CF=BC=2,G為C尸的中點(diǎn)，

BG±CFCM=2,

DM=4vEF/1AB,ABC。為矩形，

EF//DM,

又?；EF=4,

.?.EfMD為平行四邊形

：.FM=ED=2,

：.\FCM為正三角形，

MG1CF,

■.■MG^\BG=G,

CFlffiBGM,

,/CFu面BFC,

：.面BGM1面BFC.

X

(III)Vp_BMC=V/_BMG+*^BMGFC=—XSBMGX2

?/GM=BG=&,BM=2應(yīng)

^BMG=2X2''^X]=

.v_22V2

…VF-BMC—§“)ABAfG-—~'

三棱錐F-BMC的體積V=孚.

19.（12分）松山區(qū)教研室某課題組對(duì)“加強(qiáng)'語(yǔ)文閱讀理解'訓(xùn)練對(duì)提高'數(shù)學(xué)應(yīng)用題'

得分率作用”這一課題進(jìn)行專項(xiàng)研究.為此對(duì)松山區(qū)某中學(xué)高二甲、乙兩個(gè)同類(lèi)班級(jí)進(jìn)行“加

強(qiáng)'語(yǔ)文閱讀理解'訓(xùn)練對(duì)提高'數(shù)學(xué)應(yīng)用題'得分率作用”的試驗(yàn)，其中甲班為試驗(yàn)班（加

強(qiáng)語(yǔ)文閱讀理解訓(xùn)練），乙班為對(duì)比班（常規(guī)教學(xué)，無(wú)額外訓(xùn)練），在試驗(yàn)前的測(cè)試中，甲、

乙兩班學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用題上的得分率基本一致，試驗(yàn)結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)幾次數(shù)學(xué)應(yīng)用題測(cè)試的平

均成績(jī)（均取整數(shù)）如表所示：

60分以下61-7071-808/-909/-100

甲班（人數(shù)）36111812

乙班（人數(shù)）48131510

現(xiàn)規(guī)定平均成績(jī)?cè)?0分以上（不含80分）的為優(yōu)秀.

（I）試分別估計(jì)兩個(gè)班級(jí)的優(yōu)秀率；

（II）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面2x2列聯(lián)表，并問(wèn)是否有75%的把握認(rèn)為“加強(qiáng)'語(yǔ)文閱

讀理解’訓(xùn)練對(duì)提高'數(shù)學(xué)應(yīng)用題'得分率”有幫助？

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)

甲班

乙班

合計(jì)

參考公式及數(shù)據(jù)：

亡=兩端筌E'其中

麗.與）0.400.250.150.1000.0500.0250.010

0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635

【解答】解：（I）由題意可得：甲乙兩班的人數(shù)均為50人,

甲班優(yōu)秀人數(shù)為30人，優(yōu)秀率為：—=60%；

50

乙班優(yōu)秀人數(shù)為25人，優(yōu)秀率為：—=50%；

50

（II）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面2x2列聯(lián)表,

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)

甲班302050

乙班252550

合計(jì)5545100

2n(ad-bc)2100x(30x25-20x25)2100

K=----------------------=-------------------------?1.010<2.706.

(a+h)(c+d)(a+cXh+d)50x50x55x4599

故沒(méi)有75%的把握認(rèn)為“加強(qiáng)'語(yǔ)文閱讀理解’訓(xùn)練對(duì)提高'數(shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率”有幫

助.

20.(12分)已知曲線E上的點(diǎn)到尸(0,1)的距離比它到x軸的距離大1.

(1)求曲線E的方程；

(2)過(guò)E作斜率為〃的直線交曲線E于A、5兩點(diǎn)；

①若麗=3可，求直線/的方程；

②過(guò)4、3兩點(diǎn)分別作曲線E的切線4,求證：4、4的交點(diǎn)恒在一條定直線上.

【解答】解：(1)設(shè)曲線E上的點(diǎn)P(x,y),由題可知：P到尸(0,1)的距離與到直線y=-l的

距離相等，

所以，P點(diǎn)的軌跡是以尸(0,1)為焦點(diǎn)，y=-l為準(zhǔn)線的拋物線，

E的方程為：x2=4y.

(2)設(shè)：過(guò)尸的斜率為k的直線方程為：y=kx+\

①由］消)'可得V-4丘-4=0.令A(yù)&,y),B(w，y2)

：.x]+x2=4k.....①，x]x2=-4......②

由題可知：BF=3FA,即：(—x291-y2)=3(%,y,-1),即得:—w=3芭.....③

由①②③消去斗，W得：公V，

..Z=±f

3

所求直線/的方程為：y=±^-x+l.

2

y111

證明②由題知：y=—,y=—x,令4%，-xf),A(X2,-^2)?設(shè)/[與4相交于點(diǎn)

/|方程為：片=|x1(x-x1),

/)方程為：丁一；考二；馬(工一七)’

相減得：1=土也=24,代入相加得：

2

2y=k(x]+x2)—；(d+￥)=4/_；[(xI+/產(chǎn)-2^/]=4〃+8)=-2,

:.y=-\,

Q(2D，

.,I、(的交點(diǎn)恒在一條定直線y=T上.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=—%2—3,g(x)=2xlnx-ax.

(I)若函數(shù)/(冗)與g(?在X=1處的切線平行，求函數(shù)g(x)在(1,g(1))處的切線方

程；

(II)當(dāng)X￡(0,+8)時(shí)，若g(x)../(X)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解答】解:(I)/(%)=-f-3的導(dǎo)數(shù)為ff(x)=-2x,

可得函數(shù)f