概率論與數(shù)理統(tǒng)計第講

第一頁，共三十一頁，2022年，8月28日概率論是一門研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)分支。它起源于十七世紀中葉?；莞沟摹墩撡€博中的計算》一書奠定了古典概率論的基礎(chǔ)。另一奠基人是瑞士數(shù)學(xué)家伯努利，他的主要貢獻是建立了概率論中的第一個極限定理《伯努利大數(shù)定理》。之后，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗在他的著作《分析雜論》中提出了著名的《棣莫弗—拉普拉斯定理》。接著拉普拉斯在1812年出版了《概率的分析理論》，首先明確地對概率作了古典的定義。經(jīng)過高斯和泊松等數(shù)學(xué)家的努力，概率論在數(shù)學(xué)中地位基本確立。到了20世紀的30年代，通過俄國數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫在概率論發(fā)展史上的杰出貢獻，完全使概率論成為了一門嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)分支。第二頁，共三十一頁，2022年，8月28日女士品茶問題：一位常飲牛奶加茶的女士稱：她能從一杯沖好的飲料中辨別出先放茶還是先放牛奶?，F(xiàn)在她在10次試驗中都正確地辨別出來了，問該女士的說法是否可信？分賭本問題：甲乙二人各有賭本a元，約定誰先勝三局就贏得全部賭本2a元。假設(shè)甲乙二人在每一局取勝的概率是相同的?，F(xiàn)在已賭三局，結(jié)果甲是二勝一負，由于某種原因賭博中止，問如何分2a元賭本才合理？第三頁，共三十一頁，2022年，8月28日從上表可以看出:在50人左右的人群里,十有八九會發(fā)生{兩人或兩人以上生日相同}這一事件。生日問題:某人群有n個人，他們中至少有兩人生日相同的概率有多大？第四頁，共三十一頁，2022年，8月28日第一章隨機事件的概率人們所觀察到的現(xiàn)象大體上分成兩類：1.事前可以預(yù)知結(jié)果：即在某些確定的條件滿足時，某一確定的現(xiàn)象必然會發(fā)生，或根據(jù)它過去的狀態(tài)，完全可以預(yù)知其將來的發(fā)展?fàn)顟B(tài)。這樣的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象或必然現(xiàn)象。2.事前不能預(yù)知結(jié)果：即在一定的條件下，可以出現(xiàn)這樣的結(jié)果，也可以出現(xiàn)那樣的結(jié)果，在試驗和觀察之前，不能預(yù)知確切結(jié)果，或即使知道它過去的狀態(tài)，也不能肯定它將來的狀態(tài)。這樣的現(xiàn)象稱為不確定性現(xiàn)象、偶然性現(xiàn)象或隨機現(xiàn)象。什么是隨機現(xiàn)象？第五頁，共三十一頁，2022年，8月28日下列現(xiàn)象中哪些是隨機現(xiàn)象？在一個標準大氣壓下,水在100℃時沸騰；明天的最高溫度;C.擲一顆骰子，觀察其向上點數(shù)；D.上拋的物體一定下落；E.新生嬰兒體重。

√√√××第六頁，共三十一頁，2022年，8月28日隨機現(xiàn)象的特點對隨機現(xiàn)象進行觀察、觀測或測量，每次出現(xiàn)的結(jié)果是多個可能結(jié)果中的一個，“每次結(jié)果都是不可預(yù)知的”；但“所有可能的結(jié)果是已知的”。在一定條件下對隨機現(xiàn)象進行大量重復(fù)觀測后就會發(fā)現(xiàn)：隨機現(xiàn)象的發(fā)生具有統(tǒng)計規(guī)律性。第七頁，共三十一頁，2022年，8月28日例如:

一門火炮在一定條件下進行射擊，個別炮彈的彈著點可能偏離目標(有隨機誤差)，但多枚炮彈的彈著點就呈現(xiàn)出一定的規(guī)律。如：命中率等。第八頁，共三十一頁，2022年，8月28日再如:

測量一件物體的長度，由于儀器或觀測者受到環(huán)境的影響，每次測量的結(jié)果可能有差異，但多次測量結(jié)果的平均值隨著測量次數(shù)的增加而逐漸穩(wěn)定在常數(shù)，并且各測量值大多落在此常數(shù)附近，離常數(shù)越遠的測量值出現(xiàn)的可能性越小。第九頁，共三十一頁，2022年，8月28日

“天有不測風(fēng)云”和“天氣可以預(yù)報”有無矛盾?☆天有不測風(fēng)云指的是：對隨機現(xiàn)象進行一次觀測，其觀測結(jié)果具有偶然性；☆天氣可以預(yù)報指的是：觀測者通過大量的氣象資料對天氣進行預(yù)測，得到天氣的變化規(guī)律。???想一想第十頁，共三十一頁，2022年，8月28日概率論與數(shù)理統(tǒng)計的研究內(nèi)容隨機現(xiàn)象具有偶然性一面，也有必然性一面。偶然性一面表現(xiàn)在“對隨機現(xiàn)象做一次觀測時，觀測結(jié)果具有偶然性(不可預(yù)知)”；必然性一面表現(xiàn)在“對隨機現(xiàn)象進行大量重復(fù)觀測時，觀測結(jié)果有一定的規(guī)律性，即統(tǒng)計規(guī)律性”。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支。第十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日概率論與數(shù)理統(tǒng)計有廣泛應(yīng)用(1).金融、信貸、醫(yī)療保險等行業(yè)策略制定；(2).流水線上產(chǎn)品質(zhì)量檢驗與質(zhì)量控制；(3).服務(wù)性行業(yè)中服務(wù)設(shè)施及服務(wù)員配置；(4).生物醫(yī)學(xué)中病理試驗與藥理試驗；(5).食品保質(zhì)期、彈藥貯存分析，電器與電子產(chǎn)品壽命分析；(6).物礦探測、環(huán)保監(jiān)測、機械仿生與考古；第十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日§1.1隨機事件1.1.1隨機試驗與樣本空間I.

試驗把對某種現(xiàn)象的一次觀察、測量或進行一次科學(xué)實驗，統(tǒng)稱為一個試驗。注意：試驗是有目的性的，沒有沒目的性的試驗。只有目的性明確了，試驗的結(jié)果才會明確。第十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日II.

隨機試驗具有上述兩個特點的試驗稱為隨機試驗，也簡稱試驗，記為E

。注：以后所提到的試驗均指隨機試驗。b.試驗的結(jié)果不止一個，并且所有可能結(jié)果的在試驗之前是已知的；a.每次試驗的結(jié)果事前不可預(yù)知。c.可以在相同的條件下重復(fù)進行?？芍貜?fù)的隨機試驗(滿足c)和不可重復(fù)的試驗(不滿足c)

第十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日

隨機試驗舉例E1:擲一顆骰子，觀察所擲的點數(shù)是幾;E2:觀察某城市某個月內(nèi)交通事故發(fā)生的次數(shù);E3:對某只燈泡做試驗,觀察其使用壽命;E4:對某只燈泡做試驗,觀察其使用壽命是否小于200小時。第十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日對于隨機試驗，盡管在每次試驗之前不能預(yù)知試驗結(jié)果，但試驗的所有可能結(jié)果所構(gòu)成的集合卻是已知的。若以Ωi表示試驗Ei

的樣本空間,i=1,2,3,4,

則

◆

E1:擲一顆骰子，觀察所擲的點數(shù)是幾，

Ω1={1,2,3,4,5,6}；

稱試驗所有可能結(jié)果所構(gòu)成的集合為樣本空間，記為Ω。III.

樣本空間樣本空間的元素，即隨機試驗的單個結(jié)果稱為樣本點，記為。第十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日E2:觀察某城市某個月內(nèi)交通事故發(fā)生次數(shù)，

Ω2={0,1,2,…}；E3:對某只燈泡實驗，觀察其使用壽命，

Ω3={t,t≥0}；E4:對某只燈泡做實驗,觀察其使用壽命是否小于200小時，

Ω4={壽命小于200小時，壽命不小于200小時}。從這里的E3和E4，可以看到它們的試驗過程是相同的，但試驗的目的性是不同的。正是因為目的性不同，所以它們所對應(yīng)的樣本空間截然不同。第十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日1.1.2隨機事件

我們把樣本空間Ω的任意一個子集稱為一個隨機事件?；蛘甙褜δ承顟B(tài)或某種情況的陳述稱為一個隨機事件。隨機事件，簡稱事件，常用大寫字母

A,B,C

等表示。

特別地，如果事件只含一個試驗結(jié)果(即樣本空間中的一個元素)，則稱該事件為基本事件；否則為復(fù)合事件。第十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日例1：寫出試驗

E:擲一顆骰子，觀察所擲的點數(shù)是幾的樣本空間，下述集合表示什么事件？指出哪些是基本事件：解：Ω1={1,2,3,4,5,6}.

A1={1},A2={2},…,A6={6}━━分別表示所擲結(jié)果為一點至六點，都是基本事件；

B={2,4,6}━━表示所擲結(jié)果為偶數(shù)點，復(fù)合事件；

C={1,3,5,}━━表示所擲結(jié)果為奇數(shù)點，復(fù)合事件；

D={4,5,6}━━表示所擲結(jié)果為四點或四點以上，復(fù)合事件。第十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日(1).由于樣本空間Ω包含了所有的樣本點,且是Ω自身的一個子集。故,在每次試驗中

Ω總是發(fā)生。因此,稱Ω為必然事件。(2).空集不包含任何樣本點，但它也是樣本空間Ω的一個子集，由于它在每次試驗中肯定不發(fā)生，所以稱為不可能事件。注意:

只要做試驗,就會產(chǎn)生一個結(jié)果,即樣本空間Ω中就會有一個點(樣本點)出現(xiàn)。

當(dāng)結(jié)果A時，稱事件A發(fā)生。第二十頁，共三十一頁，2022年，8月28日1.1.3事件間的關(guān)系與運算I.集合與事件

回憶:試驗

E做完后,若A,則稱事件

A

發(fā)生。以后,A即表示一個事件A,也表示事件A發(fā)生。

集合A包含于集合B:若對A,

總有B,則稱集合A包含于集合B,記成AB。事件A包含于事件B:若事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生，則稱事件A包含于事件B,記成AB。若AB,且BA,則稱事件A與B相等,記成A=B。第二十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日集合A與B的并或和：若C,當(dāng)且僅當(dāng)A或B,則稱集合C為集合A與B的并或和,記成

A∪B

。事件A與B的并或和：若事件C發(fā)生,當(dāng)且僅當(dāng)事件

A或

B發(fā)生,則稱事件C為事件A與B的并或和,記成A∪B

。C=A∪B={A,B中至少有一個發(fā)生}第二十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日可列個事件A1,A2,…的和n個事件

A1,A2,…,An的和C發(fā)生就是A1,A2,…,An中至少一個事件發(fā)生。C

發(fā)生就是A1,A2,…

中至少一個發(fā)生。第二十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日集合A與集合B的交或積：若C,當(dāng)且僅當(dāng)A且B,則稱集合C為集合A與B的交或積，記成A∩B或AB。事件A與B的積或交：若事件C發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A與B同時發(fā)生,則稱事件C為事件A與B的積或交，記成A∩B或AB。C=A∩B={A,B同時發(fā)生}第二十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日特別地,當(dāng)AB=?時，稱A與B為互斥事件(或互不相容事件)，簡稱A與B互斥。也就是說事件A與B不能同時發(fā)生。例1(續(xù))：A1={1},

A2={2},

于是A1A2=?。故A1與A2互斥；B={2,4,6},

C={1,3,5},

于是BC=?，故B與C也互斥。第二十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日可列個事件A1,A2,…的積n個事件A1,A2,…,An的積C發(fā)生就是A1,A2,…,An都發(fā)生。C發(fā)生就是A1,A2,…都發(fā)生。第二十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日集合A與集合B的差：若C當(dāng)且僅當(dāng)A且

B，則稱集合C為集合A與B的差，記成A-B。事件A與B的差：若事件C發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生，則稱事件C為事件A與B的差,記成

A－B。C=A－B={A發(fā)生,B不發(fā)生}第二十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日特別地，稱Ω-A