2023屆廣西南寧市第十九中學(xué)高三數(shù)學(xué)（文）信息卷（三）試題【含答案】

2023屆廣西南寧市第十九中學(xué)高三數(shù)學(xué)（文）信息卷（三）試題一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合，根據(jù)交集定義計算．【詳解】集合，．故選B．【點睛】本題考查集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題．2．等差數(shù)列的前項和為，若，，則的公差為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項和公式結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)求解作答.【詳解】在等差數(shù)列中，，故選：C3．“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】解對數(shù)不等式，再利用集合間的包含關(guān)系進行判斷.【詳解】因為，集合為集合的真子集，所以推出，反之不成立，所以“”是“”成立的必要不充分條件.故選：B【點睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷、對數(shù)不等式求解，考查運算求解能力，求解時注意將問題轉(zhuǎn)化成集合間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.4．已知正實數(shù)滿足，則的是小值為（

）A．5 B． C．4 D．3【答案】A【分析】利用，將化為，利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意知正實數(shù)滿足，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，故的是小值為5，故選：A.5．下列說法正確的是（

）A． B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】對于A，利用完全平方公式即可判斷；對于BD，舉反例即可排除；對于C，利用冪函數(shù)的單調(diào)性與指數(shù)函數(shù)的值域即可判斷.【詳解】對于A，因為，，而，所以，則，故A錯誤；對于B，令，則，，，即，故B錯誤；對于C，因為，所以，故冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，因為指數(shù)函數(shù)，恒成立，所以上述不等式兩邊同時乘以，得，故C正確；對于D，令，則，但，故D錯誤.故選：C.6．函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】變換后得到，故，解得答案.【詳解】的圖象向左平移個單位長度后得到，圖象關(guān)于軸對稱，故，即，，當(dāng)時，取最小值是.故選：C7．?dāng)?shù)列滿足，則滿足的的最小值為（

）A．16 B．15 C．14 D．13【答案】A【分析】分類討論當(dāng)時得到，當(dāng)時得到，從而利用等比數(shù)列的前項和公式求得，進而得到，解之即可.【詳解】因為當(dāng)時，，，所以，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，是以，的等比數(shù)列，故，所以，故，即，因為，，所以，即，所以的最小值為.故選：A.8．若，滿足不等式組，則的最大值和最小值之和為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫出不等式組表示的可行域，由，得，作出直線，然后向下平移，過點時，目標函數(shù)取得最大值，再向下平移，過點時，目標函數(shù)取得最小值，然后求出點的坐標，代入目標函數(shù)中可求得結(jié)果.【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示由，得，作出直線，然后向下平移，過點時，目標函數(shù)取得最大值，再向下平移，過點時，目標函數(shù)取得最小值，由，得，即，所以的最大值為，由，得，即，所以的最小值為，所以的最大值和最小值之和為，故選：A.9．的外心滿足，，則的面積為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】從這個條件可以考慮設(shè)的中點為，從而得到三點共線可求.【詳解】設(shè)的中點為，則可化為即為，三點共線且，為等腰三角形，由垂徑定理得，代入數(shù)據(jù)得,解之：，.故選：B.10．已知函數(shù)，，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用一元二次方程根的分布求得關(guān)于實數(shù)的不等式組，再利用不等式的性質(zhì)即可求得的取值范圍【詳解】由函數(shù)中，，，可知一元二次方程有二相異根，分別位于區(qū)間和內(nèi)則，即，即由，可得，則，即由，可得則，則綜上，的取值范圍為故選：B11．?dāng)?shù)列的前項和，則數(shù)列中的最大項為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)與的關(guān)系，可得到.進而求出，通過求解，解出正整數(shù)，即可求得數(shù)列中的最大為.【詳解】當(dāng)時，.當(dāng)時，由已知得，，，則.當(dāng)時，，滿足.所以，.設(shè)，則.設(shè)數(shù)列中的第項最大，則應(yīng)滿足，即，整理可得解得，又，所以，，又.所以，數(shù)列中的最大項為.故選：C.12．已知函數(shù)（，且）在上單調(diào)遞增，且關(guān)于的方程恰有兩個不等的實數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求出，方程有兩根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有兩個不同的交點，作出函數(shù)圖象，利用圖象數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由在上遞增，得，又由在上單調(diào)遞增，則，解得如圖所示，在同一坐標系中作出函數(shù)和的圖象，當(dāng)時，由圖象可知，上，有且僅有一個解，在上同樣有且僅有一個解.當(dāng)時，直線與相切時有一個交點，由（其中），得：，則，解得或此時切點橫坐標分別為與矛盾，故或不符合題意,綜上所述.【點睛】本題主要考查了函數(shù)方程與函數(shù)的零點，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.二、填空題13．設(shè)向量，，若，則實數(shù)的值為______.【答案】【分析】根據(jù)向量垂直知其數(shù)量積為0,根據(jù)坐標計算即可.【詳解】∵，,∴，∴.故答案為：.【點睛】本題主要考查了向量垂直的條件，屬于中檔題.14．?dāng)?shù)列滿足，，則___________.【答案】【分析】由題可得，進而可得的偶數(shù)項構(gòu)成等差數(shù)列，然后根據(jù)通項公式即得.【詳解】因為，，所以，，由，可得，所以，所以的偶數(shù)項構(gòu)成等差數(shù)列，首項為，公差為，∴.故答案為：.15．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，不等式的解集為則=__________.【答案】3【分析】構(gòu)造函數(shù)，可得函數(shù)單調(diào)遞減，可得，進而即得.【詳解】令，則，由，可得，又不等式的解集為，∴，.故答案為：3.16．?dāng)?shù)列中，，，已知，則___________.【答案】【分析】根據(jù)，可得，兩式相減可得：，進而得到數(shù)列中奇數(shù)項和偶數(shù)項的通項公式，再進一步求出結(jié)果即可.【詳解】因為，所以，兩式相減可得：，所以數(shù)列中奇數(shù)項和偶數(shù)項都是以為公差的等差數(shù)列，因為，由可得：，所以，，因為，所以，故答案為：.三、解答題17．已知數(shù)列的前n項和．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用求得數(shù)列的通項公式.（2）利用分組求和法求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，上式也符合.故數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）知，，記數(shù)列的前項和為，則．記，則，．故數(shù)列的前項和．18．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為??，已知.(1)求角的大?。?2)若，，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦定理得到，再利用正弦定理得到，計算得到答案.（2）根據(jù)余弦定理計算得到，再利用面積公式計算即可.【詳解】（1），即，根據(jù)正弦定理：，，，故，，故.（2），即，或（舍去）19．?dāng)?shù)列滿足，（為正常數(shù)），且，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得奇數(shù)項成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，且偶數(shù)項成等比數(shù)列，公比為，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公差d和公比q，即可得到所求通項公式；（2）討論n為偶數(shù)和奇數(shù)，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計算可得所求和.【詳解】（1）數(shù)列滿足,，可得成等差數(shù)列，即奇數(shù)項成等差數(shù)列,設(shè)公差為,且偶數(shù)項成等比數(shù)列,公比為,且，，,可得,,解得,則,化為（2）當(dāng)為偶數(shù)時,數(shù)列的前項和當(dāng)為奇數(shù)時,當(dāng)時也適合上式.綜上:20．某工廠預(yù)算用56萬元購買單價為5千元（每噸）的原材料和2千元（每噸）的原材料，希望使兩種原材料的總數(shù)量（噸）盡可能的多，但的噸數(shù)不少于的噸數(shù)，且不多于的噸數(shù)的倍，設(shè)買原材料噸，買原材料噸，按題意列出約束條件?畫出可行域，并求?兩種原材料各買多少才合適.【答案】答案見解析.【分析】根據(jù)題意，列出不等式組，在平面直角坐標系內(nèi)畫出可行解域，通過平移的方法進行求解即可.【詳解】由題意可知：，可行解域如下圖所示：設(shè)，平移直線，當(dāng)經(jīng)過點時，有最大值，由，所以當(dāng)，時，滿足題意，即?兩種原材料各買噸、噸才合適.21．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1).(2)答案見解析.【分析】（1）當(dāng)時，將恒成立，化為恒成立，由此可構(gòu)造函，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問題；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論a的取值，確定導(dǎo)數(shù)的正負，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1）當(dāng)時，恒成立，即恒成立，即恒成立，令，則，∴在上單調(diào)遞增，故，故，即實數(shù)a的取值范圍為.（2）由題意得，當(dāng)時，，由得，由得，故此時在上遞增，在上遞減；當(dāng)時，由得或，當(dāng)時，恒成立，僅在時取等號，∴在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，由，得或；由，得，∴在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，由，得或,由，得，∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；綜上所述︰當(dāng)時，在上遞增，在上遞減；當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【點睛】方法點睛：第二問討論函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)后，要根據(jù)參數(shù)a的取值情況，確定導(dǎo)數(shù)的正負情況，因此根據(jù)的根的情況，對a分類討論，則可解決問題.22．函數(shù)滿足，，且與直線相切.(1)求實數(shù)，，的值；(2)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且點在函數(shù)的圖象上，若不等式對于任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件，可推得，又已知切線方程，設(shè)出切點，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)即可解得的值；（2）由已知可得，，進而可推得是等差數(shù)列，求出，.則原不等式可轉(zhuǎn)化為，對是奇數(shù)以及偶數(shù)進行討論，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因為，，，又，，所以有，解得，所以，.因為函數(shù)與直線相切，設(shè)切點為，則，，即，解得，所以，，，，所以.（2）由（1）知，，即.當(dāng)時，，解得或（舍去）；當(dāng)時，有，，所以有，整理可得，因為，所以，即.所以，是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.所以，，.則不等式對于任意恒成立，可轉(zhuǎn)化為，即對于任意恒成立.①當(dāng)為偶數(shù)時，即有恒成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，