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文檔簡(jiǎn)介

一、定義二、向量組與其部分組的線性相關(guān)性的關(guān)系一、定義線性相關(guān)性定義定義1如果向量組1,2,…,s(s2)中有一個(gè)向量可以由其余向量線性表出，那么向量組1,2,…,s

稱(chēng)為線性相關(guān)的。例1向量組

是線性相關(guān)的，因?yàn)?=31-2.例2任意一個(gè)包含零向量的向量組一定是線性相關(guān)的。定義2向量組

1,2,…,s(s1)

稱(chēng)為線性相關(guān)，如果有數(shù)域

P中不全為零的數(shù)

k1,k2,…,ks

,使

k11+k22+...+kss=0.定義1與定義2在

時(shí)是等價(jià)的。假設(shè)

中有一個(gè)向量可由其余向量線性表出，不妨設(shè)

可由

線性表出，則即由定義2，這個(gè)向量組線性相關(guān)。線性相關(guān)性定義線性相關(guān)性定義設(shè)有不全為零的數(shù)

使

k11+k22+...+kss=0不妨設(shè)

，于是由定義1，這個(gè)向量組線性相關(guān)。證畢線性相關(guān)性定義定義3一向量組1,2,…,s(s1)

不線性相關(guān)，即沒(méi)有不全為零的數(shù)

k11+k22+...+kss=0

使

，就稱(chēng)為線性無(wú)關(guān)?；蛘哒f(shuō)，一向量組

1,2,…,s稱(chēng)為線性無(wú)關(guān)，如果由

k11+k22+...+kss=0可以推出

k1=k2=…=ks=0.二、向量組與其部分組的

線性相關(guān)性的關(guān)系向量組與其部分組的線性相關(guān)性的關(guān)系如果一向量組的一個(gè)部分組線性相關(guān)，那么這個(gè)向量組就線性相關(guān)；反之，如果一向量組線性無(wú)關(guān)，那么它的任何一個(gè)非空的部分組也線性無(wú)關(guān)。向量組與其部分組的線性相關(guān)性的關(guān)系證明：設(shè)向量組

，其中一部分，譬如線性相關(guān)，即有不全為0的數(shù)

使

則因?yàn)?/p>

不全為0，所以

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