正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析第一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

為了彌補(bǔ)直觀分析方法的不足，可采用方差分析方法對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行計(jì)算分析。所謂方差分析就是將因素水平(或交互作用)的變化引起的實(shí)驗(yàn)結(jié)果間的差異與誤差的波動(dòng)所引起的實(shí)驗(yàn)結(jié)果間的差異區(qū)分開來(lái)的一種數(shù)學(xué)方法。

方差分析的中心要點(diǎn)是：把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)總的波動(dòng)分解成兩部分，一部分反映因素水平變化引起的波動(dòng)，另一部分反映實(shí)驗(yàn)誤差引起的波動(dòng)。即把數(shù)據(jù)總的偏差平方和(S總)分解為因素的偏差平方和(SA、SB、SC

……)與誤差的偏差平方和(Se)，并計(jì)算它們的平均偏差平方和(也稱均方和，或均方)，然后進(jìn)行檢驗(yàn)，最后得出方差分析表。第二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日二.方差分析中的一些基本概念

1.偏差平方和

方差分析的關(guān)鍵是對(duì)偏差平方和的分解，因此，充分理解這一概念是至關(guān)重要的。

所謂偏差平方和是指一組數(shù)據(jù)中，各個(gè)數(shù)(y1,y2,y3……yn)與它們的算術(shù)平均數(shù)y之差的平方和。用符號(hào)S來(lái)表示。即：則第三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日為了計(jì)算方便，上式可簡(jiǎn)化為一種更常見(jiàn)的形式：若令：則第四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

偏差平方和(S)反映了該組數(shù)據(jù)的分散或集中程度。顯然，S越大，該組數(shù)據(jù)越分散；反之，S越小，說(shuō)明該組數(shù)據(jù)越集中。

2.平均偏差平方和與自由度

為了合理地比較由不同個(gè)數(shù)所組成的兩組數(shù)據(jù)的分散或集中的程度，通常采用平均偏差平方和(簡(jiǎn)稱均方和)平均偏差平方和的計(jì)算方法是：將n個(gè)數(shù)(y1,y2,y3,……yn)

的偏差平方和除以平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)減1，

即除以(n-1)，就得到平均偏差平方和。第五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

為什么不除以n而要除以(n-1)呢？這是因?yàn)閚個(gè)數(shù)(y1,y2,y3,……yn)之間并非彼此毫無(wú)關(guān)系，它們滿足的關(guān)系是：

即n個(gè)數(shù)之和的均值為一定值，因此，n個(gè)數(shù)中只有(n-1)個(gè)可“自由”變動(dòng)，所以，求平均偏差平方和時(shí)除以(n-1)，數(shù)學(xué)上將這個(gè)(n-1)稱為S的自由度。當(dāng)實(shí)驗(yàn)所測(cè)得的n個(gè)數(shù)(y1,y2,y3,……yn)數(shù)值較大時(shí)，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可將每一個(gè)原始數(shù)據(jù)yi(i=1,2,3……n)都減去同一個(gè)常數(shù)C，這并不影響偏差平方和的計(jì)算結(jié)果，但計(jì)算的工作量卻簡(jiǎn)化了許多。第六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日上述推論可通過(guò)以下簡(jiǎn)單換算予以證明。

若令Xi=yi-C(i=1,2,……n)則于是第七頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日3.F比與F分布表

(1)F比

F比是指因素水平的改變引起的平均偏差平方和與誤差的平均偏差平方和的比值。即：(2)F分布表及其查閱方法為了判斷F比值的大小所表明的物理意義(即F比值多大時(shí)，可以認(rèn)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果的差異主要是由因素水平的改變所引起的；其值多小時(shí)，可以認(rèn)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果的差異主要是由實(shí)驗(yàn)誤差所引起的)，這就需要有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量F比值，此標(biāo)準(zhǔn)就是根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)原理編制的F分布表，F(xiàn)分布表列出了各種自由度情況下F比的臨界值。第八頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

在F分布表上橫行(n1：1,2,3…)代表F比中分子的自由度；豎行(n2：1,2,3…)代表F比中分母的自由度；表中的數(shù)值即各種自由度情況下F比的臨界值。

例如，某因素A的偏差平方和的自由度f(wàn)A=1，誤差(e)的偏差平方和的自由度f(wàn)e=8，查得F0.1(1,8)=3.64，這里0.1是信度。

在判斷時(shí)(如判斷因素A的水平的改變對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響)，信度a是指我們對(duì)做出的判斷有多大的把握，若a=5%，那就是指當(dāng)FA>F0.05(fA,fe)時(shí)，大概有95%的把握判斷因素A的水平改變對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有顯著影響。對(duì)于不同的信度a，有不同的F分布表，常用的有a=1%，a=5%，a=10%等。根據(jù)自由度的大小，可在各種信度的F表上查得F比的臨界值，分別記作

F0.01(n1,n2)，F(xiàn)0.05(n1,n2)，F(xiàn)0.10(n1,n2)等。第九頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日4.因素的顯著性判斷

設(shè)因素A的F比為FA：

當(dāng)FA>F0.01(n1,n2)時(shí)，說(shuō)明該因素水平的改變對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有很顯著的影響，記作**。

當(dāng)FA>F0.05(n1,n2)時(shí)，說(shuō)明該因素水平的改變對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有顯著的影響，記作*。

當(dāng)FA>F0.10(n1,n2)時(shí)，說(shuō)明該因素水平的改變對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有一定的影響，記作O。第十頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日三.正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析

現(xiàn)以實(shí)驗(yàn)室制取H2為例，來(lái)說(shuō)明正交設(shè)計(jì)的方差分析的基本方法。若該實(shí)驗(yàn)所考察的因素、水平如表1和表2所示。

因素水平AwH2SO4(%)BmCuSO4·5H2O(g)CmZn(g)一200.44二250.55三300.66表1.因素水平第十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日表2.實(shí)驗(yàn)方案及實(shí)驗(yàn)結(jié)果的直觀分析

列號(hào)實(shí)驗(yàn)號(hào)AwH2SO4(%)BmCuSO4·5H2O(g)CmZn(g)空白列10min內(nèi)H2的產(chǎn)率1111232.622212140.403313341.074123134.975221336.536322245.757132336.628233239.199331144.53第十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

列號(hào)實(shí)驗(yàn)號(hào)AwH2SO4(%)BmCuSO4·5H2O(g)CmZn(g)空白列10min內(nèi)H2的產(chǎn)率K1104.21114.09122.77119.9最佳實(shí)驗(yàn)條件是A3B3C1K2116.12117.25115.23117.56K3131.35120.34113.68114.22k134.7838.0340.9239.96k238.7039.0838.4139.18k343.7840.1137.8938.07R9.052.083.031.89第十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日上述正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)所獲得的數(shù)據(jù)，從直觀分析的角度來(lái)看，提供給我們?nèi)缦掠杏玫男畔ⅲ?/p>

第一：從極差值的大小可以判斷各個(gè)因素對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)影響的主次關(guān)系，即：

主--------------------------------------------次

A[wH2SO4]C[mZn]B[mCuSO4·5H2O]

但是，極差值僅僅反映了各因素影響實(shí)驗(yàn)指標(biāo)的主次關(guān)系，它不能告訴我們各個(gè)因素對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)影響的程度。也就是說(shuō)，它既不能指明這些因素中哪個(gè)是影響實(shí)驗(yàn)指標(biāo)的關(guān)鍵因素，也不能提供一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，用來(lái)考察、判斷各個(gè)因素的作用是否顯著。第十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日第二：就因素A而言(因素B、C也類同)，其中k1、k2、k3值之間的差異是如何產(chǎn)生的？是由于A因素水平不同引起的呢？還是由于實(shí)驗(yàn)誤差所造成的呢？還是兩者綜合作用的結(jié)果？從直觀分析角度是無(wú)法說(shuō)清楚的。

正是由于直觀分析存在著上述的缺點(diǎn)，所以需要采用方差分析的方法來(lái)彌補(bǔ)上述的不足。

1.單因素實(shí)驗(yàn)的方差分析

為了便于討論，我們?nèi)砸詫?shí)驗(yàn)室制取H2的因素之一------A因素(硫酸的質(zhì)量分?jǐn)?shù))為例，來(lái)說(shuō)明單個(gè)因素的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方差分析方法。第十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

方差分析是把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)總的波動(dòng)(即數(shù)據(jù)的總的偏差平方和S總)分解成兩部分：一部分反映因素水平變化引起的波動(dòng)(即因素的偏差平方和)，對(duì)本例而言僅為SwH2SO4；另一部分反映實(shí)驗(yàn)誤差引起的波動(dòng)(即誤差的偏差平方和Se)。即：

(1)Se的計(jì)算

參與wH2SO4某一水平的實(shí)驗(yàn)編號(hào)

10minH2產(chǎn)率A1(20%)A2(25%)A3(30%)A1(20%)A2(25%)A3(30%)12332.6240.4041.0745634.9736.5345.7578936.6239.1944.53

平均值y34.7438.7143.78表3.實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析第十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日若以S1表示A1水平下實(shí)驗(yàn)誤差所引起的波動(dòng)，其值應(yīng)為：S1=(32.62-34.74)2+(34.97-34.74)2+(36.62-34.74)2

=8.0870。同理可以求出A2、A3水平下實(shí)驗(yàn)誤差所引起的波動(dòng)，其值分別為S2=7.8389，S3=11.7875

則，A因素的各個(gè)水平下總的偏差平方和應(yīng)為：

Se=S1+S2+S3=8.0870+7.8389+11.7875=27.71

(2)S總的計(jì)算

總的偏差平方和S總是指全部實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，每個(gè)數(shù)據(jù)(yi)與總平均值(y總)之差的平方和，即：第十七頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日由表3知:

y總=1/9(32.62+34.97+36.62+40.40+…+44.53)=39.08

則：S總=(32.62-39.08)2+(34.97-39.08)2+…+(44.53-39.08)2=151.08

S總反映了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)總的波動(dòng)情況，如果硫酸質(zhì)量分?jǐn)?shù)水平的改變對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)不發(fā)生影響，而且實(shí)驗(yàn)中也沒(méi)有誤差產(chǎn)生的話，那么全部實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)理應(yīng)都一樣，即S總應(yīng)等于零，但情況并非如此。第十八頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日(3)SwH2SO4(SA)的計(jì)算

對(duì)于因素A來(lái)講，當(dāng)它取一水平時(shí)，3次實(shí)驗(yàn)(即1、4、7實(shí)驗(yàn))結(jié)果的均值(y)應(yīng)為：

y1=1/3(y1+y4+y7)=1/3(32.62+34.93+36.62)=34.74

y1代表了3次一水平實(shí)驗(yàn)對(duì)H2產(chǎn)率的影響。同理：

y2=1/3(y2+y5+y8)=38.71

y3=1/3(y3+y6+y9)=43.78

y2、y3分別代表了3次二水平和三水平實(shí)驗(yàn)對(duì)H2產(chǎn)率的影響。因此，因素水平變化所引起的波動(dòng)，即因素A的偏差平方和SA應(yīng)為：

SA=∑(yi-y總)2=(34.74-39.08)2+(38.71-39.08)2+(43.78-39.08)2

=123.37上述計(jì)算結(jié)果我們可以通過(guò)S總=SA+Se式來(lái)檢驗(yàn)SA和Se計(jì)算正確與否。第十九頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日(4)自由度和平均偏差平方和的計(jì)算

為了消除個(gè)數(shù)不同對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)所產(chǎn)生的影響，應(yīng)采用平均偏差平方和，其計(jì)算公式為：

因素A的平均偏差平方和=SA/fA

誤差的平均偏差平方和=Se/fe

式中SA、Se分別代表因素A和誤差的偏差平方和

fA=A因素的水平數(shù)-1，它代表SA的自由度

fe=f總-fA，它代表Se的自由度

f總=總的實(shí)驗(yàn)次數(shù)-1，它代表S總的自由度

在本例中f總=9-1=8，fA=3-1=2，fe=8-2=6第二十頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日(5)F值的計(jì)算及因素顯著性的檢驗(yàn)

因素水平的變化引起的平均偏差平方和與誤差的平均偏差平方和的比值稱為F值，即：用F值的大小來(lái)判斷因素水平對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)的影響。顯然，只有當(dāng)比值大于1時(shí)，才能表明因素水平的改變對(duì)實(shí)驗(yàn)指標(biāo)的影響，即超過(guò)了實(shí)驗(yàn)誤差所產(chǎn)生的影響。第二十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

為了判斷因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果形象的顯著性的大小，須將計(jì)算得到的F值與從F分布表上查到的相應(yīng)臨界值進(jìn)行比較。當(dāng)F值大于臨界值時(shí)，表明該因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果影響顯著。

就本例而言：FA=(123.37/2)/(27.71/6)=13.36

查F檢驗(yàn)的臨界值表可知：

F0.10(2,6)=3.46，F(xiàn)0.05(2,6)=5.14，F(xiàn)0.01(2,6)=10.9

由于FA>

F0.10(2,6)，所以我們可以認(rèn)為，有99%以上的把握判斷因素A的水平改變對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有極為顯著的影響，以“**”標(biāo)記。由此可得出如下結(jié)論：對(duì)10minH2產(chǎn)率的影響是由硫酸濃度的差異所引起的。第二十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日2.多因素實(shí)驗(yàn)的方法分析

和單因素實(shí)驗(yàn)的情況一樣，多因素實(shí)驗(yàn)方差分析的目的仍然是將實(shí)驗(yàn)誤差所引起的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)條件的改變(即各因素水平的改變)所引起的結(jié)果區(qū)分開來(lái)，以便能抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，此外，多因素實(shí)驗(yàn)的方差分析還要將影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的主要因素和次要因素區(qū)分開來(lái)，以便集中力量研究主要因素。

我們?nèi)砸詫?shí)驗(yàn)室制取H2為例，來(lái)闡明多因素單指標(biāo)實(shí)驗(yàn)方差分析的基本步驟。第二十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日(1)因素的偏差平方和的計(jì)算自由度f(wàn)=3-1=2，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，上式可寫為其中CT=G2/n第二十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日則將數(shù)據(jù)帶入上式CT=G2/9=(351.68)2/9=13742.09第二十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日SA=(104.212+116.122+131.352)/3-(13742.09)/9=123.37同理，可以計(jì)算出因素B和因素C的偏差平方和SB、SC(其自由度f(wàn)B=fC=3-1=2)，SB=6.51，SC=15.77，SA、SB、SC反映了因素A、B、C的3個(gè)水平所引起的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的差異。第二十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日(2)誤差的偏差平方和的計(jì)算

對(duì)于誤差的偏差平方和(S