立足數(shù)學課堂實施有效教學

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總結(jié)得出兩個計數(shù)原理，能初步領(lǐng)會應(yīng)用原理解決計數(shù)問題的要領(lǐng)，在探究過程中感悟原理所蘊含的思想方法和探究問題的一般策略.

（二）學生學情分析

對計數(shù)問題，學生在不同的學段都有相應(yīng)的接觸，在必修2中學習“古典概型”時，突出了枚舉法或樹形圖在計數(shù)中的作用;在生活中，學生也不自覺地會使用“分類”和“分步”的方法來斟酌和解決問題，具備了確定的歸納、類比才能，這些都是學生學習兩個計數(shù)原理的認知根基.

原理雖然簡樸簡樸，但如何讓學生借助已有的數(shù)學活動閱歷，抽象概括出兩個計數(shù)原理，并領(lǐng)悟其中重要的數(shù)學思想方法，實現(xiàn)認知的飛躍，那么是本節(jié)課須突破的難點.

二、教學目標設(shè)置

（1）切實理解分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，并能說出它們的聯(lián)系與識別;

（2）能切實地選擇兩個原理解決一些簡樸的實際問題;

（3）通過歷經(jīng)兩個計數(shù)原理的察覺和探索過程，讓學生領(lǐng)悟運用兩個原理所包含的劃歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合、特殊到一般的思想方法以及以退為進的思維策略.

三、教學策略分析

本節(jié)課是概念原理課教學的典范，擬定采取以退為進的教學策略，采用“創(chuàng)設(shè)情境→問題導引→實例探究→抽象概括→辨析提升→原理應(yīng)用→反思升華”的探究式教學法，緊緊圍繞如何抽象、如何概括、歸納和怎樣應(yīng)用等問題開展.

四、教學設(shè)計與簡錄

（一）創(chuàng)設(shè)情境透露主題

播放兒歌《數(shù)鴨子》片段，門前大橋下，游過一群鴨，快來快來數(shù)一數(shù)，二四六七八，哎呀哎呀真呀真多呀，數(shù)不清畢竟多少鴨，數(shù)不清畢竟多少鴨！

教師：同學們，方才我們聽的這首兒歌名叫《數(shù)鴨子》，你能說出歌詞向我們呈現(xiàn)了怎樣的

數(shù)學問題？

眾生：數(shù)數(shù)問題.

教師：對，計數(shù)問題.對數(shù)多少只鴨子，我們可以采用枚舉法予以計數(shù).原始人就會利用結(jié)繩來計數(shù)，我國早在宋代就展現(xiàn)了用算盤計數(shù)，計數(shù)問題在我們學習生活中隨處可見，它也是我們學習排列、組合、概率、統(tǒng)計的根基.下面讓我們來看這樣的一個計數(shù)問題.

以一首熟諳的兒歌開頭，輕松活潑引入話題.同時也說明總數(shù)不大時，我們可以采用枚舉法計數(shù).簡短的幾句話，把學生帶進一個嶄新的數(shù)學世界，激發(fā)學生的求知欲望—畢竟如何計數(shù)？概率、統(tǒng)計畢竟學什么？

（二）問題導引設(shè)置懸念

引例2022年宿遷地區(qū)私家車的保有量為33.62萬輛，隨著經(jīng)濟的進展，到2022年，私家車的保有量將達成60萬輛，交管部門現(xiàn)推出新的天性化牌號的規(guī)矩：

（1）①號位務(wù)必選擇英文字母，③號位為文字母或阿拉伯數(shù)字，其余三位均為阿拉伯數(shù)字;

（2）英文字母不得選用I、O、Q.

試問，到2022年這樣的天性化牌號的容量能否得志要求？

教師：這個問題你還能一一列舉嗎？

眾生：不能.

教師：為什么？

生1：數(shù)目太大.

教師：對，對大數(shù)的計數(shù)問題，枚舉法就顯得力不從心，此時就迫切需要我們探索一種新的

計數(shù)方法——這就是我們今天所要研究的內(nèi)容——兩個計數(shù)原理.

通過生活中的學生熟諳實際問題切入，將學生的思維帶入悱憤狀態(tài)，提高了學生參與學習的積極性，同時也突出了學習本節(jié)課的必要性.

（三）實例探究提煉本質(zhì)

實例探究1

師：下面我們先來從兩個簡樸的問題著手探究.

問題1（1）（我的老家在安慶，國慶節(jié)期間，我回家探親）已知從鎮(zhèn)江到安慶直達火車每天有4列，直達汽車每天有3班，試問我要從鎮(zhèn)江到安慶，有多少種不同的直達方法？

（2）節(jié)目主持候選人中有4名男同學，8名女同學，若從中選一人主持節(jié)目，共有多少種不同的選法？師：（讓學生斟酌片刻）你的答案是多少？又是怎么想的？

生2：有7種直達方法，由于火車和汽車班次之和為7，從中任選一個車次即可.

教師：還有其他解釋嗎？

生3：乘車方式有兩種方案，若選火車，那么有4種，若選汽車，那么有3種，所以總的乘車方法數(shù)共有4+3=7種.

教師：說得分外好，我乘車回家有兩類手段，第1類手段，乘火車有4種方法;第2類手段，乘汽車有3種方法，所以總的方法數(shù)為這兩類手段數(shù)之和.（追問）我若選乘了火車，還可以選乘汽車嗎？為什么？

生3：不能，由于你任選一種方法都可以回家.

教師：對，我沒有分身之術(shù)，任何一種方法都可以一次性完成這件事，并且兩類手段不成同時選擇，它們之間是相互排斥的，那么請你類比方才的分析，說說你對問題（2）的理解.

生4：選一名主持人，有兩種方案，若選男生那么有4種，若選女生有8種選法，所以總的方法數(shù)為這兩類的方法數(shù)之和4+8=12種.

教師：很好，掌聲！

問題背景貼近生活，其重要性不在于問題本身，而在于問題蘊含的“分類，加法”的一般性道理.所以，教學中教師的問法要有導向性，在師生對話中，要讓學生感受到這個問題的共性及所蘊含的“分類，加法”的本質(zhì).

問題2：議論問題1的（1）與（2）有何共性？

（小組議論2分鐘，代表交流，組員補充，教師總結(jié)，留神：要扣住“兩類，一步到位，類類互斥和加法”來分析.教師提示：這兩個問題的概括情境雖然不同，但都是在完成一件事.）

共性：（1）都是計算完成一件事情方法種數(shù);

（2）完成這件事情都有兩類手段，每類手段都可一次完成（一步到位）且類類互斥;

（3）總的方法種數(shù)為各類手段數(shù)之和.

通過自主斟酌、小組議論和相互交流和補充，在教師的引導下，總結(jié)出問題的共性本質(zhì)，為理解和歸納原理做鋪墊.

問題3：從鎮(zhèn)江到安慶，若未來每天還增開2個班次的直飛航班，我若回家又有多少種不同的直達方式？

生5：有三類回家方式，第1類，乘火車有4種;第2類，乘汽車有3種;第3類，乘飛機有2種，所以直達方式共有9種.

教師：也就是總的方法數(shù)為三類手段數(shù)之和.

實例探究2

問題4：（1）從鎮(zhèn)江到安慶，我若先從鎮(zhèn)江乘火車到合肥，再于次日從合肥坐汽車到安慶.

一天中，火車有4班，汽車有3班，那么兩天中，從鎮(zhèn)江到安慶共有多少種不同的乘車方式？

（2）節(jié)目主持候選人中有4名男同學，8名女同學，現(xiàn)從男女同學中各選一名來共同主持節(jié)目，共有多少種不同的選法？

教師：說說你對問題（1）的看法.

生6：4×3=12種.

教師：你又是怎么想的？

生6：假設(shè)乘火車1，那么汽車就有3種乘法，同樣乘火車2、3、4，汽車都有3種乘法，所以就是3+3+3+3=4×3=12種.

教師：他是將火車分為四類，每一類都有3種乘汽車方法，由分類計數(shù)原理知共有3+3+3+3，再將加法優(yōu)化運算后寫為4×3=12種，說得分外好.（追問）這件事可以一次性完成嗎？

生7：不成以，需要分兩步完成，第1步先從鎮(zhèn)江到合肥，第2步再從合肥到安慶.

教師：那寫成4×3后，4和3分別表示什么？

生7：4和3分別表示完成第1步和第2步的方法數(shù).

教師：也就是說，完成這件事情的方法總數(shù)為完成這兩步的方法數(shù)之積，哪一種寫法更簡便呢？

生7：后一種，乘法.

教師：問題5的問（1）與問題1的問（1）在完成這件事情的方式上有何不同？

生7：問題1只需要一步就可以完成，而問題5需要分兩步才能完成，少一步都不行.

教師：對，缺一不成，還有不同嗎？

生8：問題1是兩類手段數(shù)之和，而問題5是完成兩步的手段數(shù)之積，而且完成第1步的方法和第2步的方法之間是不相互排斥的.

教師：說得太好了（掌聲）！我們把步與步之間不相互排斥稱之為“步步獨立”，請類比問題5的（1），說說你對（2）的理解.

生8：要完成選主持人，要分兩步完成，第1步選男生，有4種選法;第2步選女生，有8種選法，那么總的選法數(shù)為兩步方法數(shù)之積4×8=32種.

一方面，通過類比分類計數(shù)原理，讓學生歸納出分步計數(shù)原理，既起到溫故知新的作用，又達成提高學生的類比轉(zhuǎn)化才能;另一方面，從加法原理過渡到乘法原理，表達了兩個原理間的內(nèi)在聯(lián)系，結(jié)果落腳點在“分步，乘法”這兩個特征上，有利于新原理的主動建構(gòu).

五、反思

有效教學，是指在師生雙方的教學活動中，通過運用適當?shù)慕虒W策略，使學生的根基性學力、進展性學力和創(chuàng)造性學力得到很好的進展.學生的進步和進展是衡量課堂教學有效性的唯一尺度.

（一）“熟諳學情”是數(shù)學課堂有效教學的前提

奧蘇貝爾的經(jīng)典名言：“將全部教導心理學一言以蔽之曰：影響學習的唯一重要的因素：學習者已經(jīng)知道了什么.”教學內(nèi)容務(wù)必緊扣教學目標、適合學生的認知水平，靠近他們的最近進展區(qū)，教學才能引起學生廣泛的聯(lián)想和認知沖突，在獲取數(shù)學學識的同時，體驗數(shù)學學識形成與進展.

（二）“以生為本”是數(shù)學課堂有