高一數(shù)學(xué)之分離參數(shù)法

高中重要解題方法分離變量法分離變量法是近年來(lái)發(fā)展較快的思想方法之一.高考數(shù)學(xué)試題中，求參數(shù)的范圍常常與分類討論、方程的根與零點(diǎn)等基本思想方法相聯(lián)系.其中與二次函數(shù)相關(guān)的充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合及分類思想方法的題目最為常見.與二次函數(shù)有關(guān)的求解參數(shù)的題目,相當(dāng)一部分題目都可以避開二次函數(shù),使用分離變量,使得做題的正確率大大提高.隨著分離變量的廣泛使用,越來(lái)越多的壓軸題都需要使用該思想方法.分離變量法：是通過(guò)將兩個(gè)變量構(gòu)成的不等式(方程)變形到不等號(hào)(等號(hào))兩端，使兩端變量各自相同,解決有關(guān)不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中參數(shù)取值范圍的一種方法.兩個(gè)變量，其中一個(gè)范圍已知，另一個(gè)范圍未知.解決問(wèn)題的關(guān)鍵:分離變量之后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域的問(wèn)題.分離變量后，對(duì)于不同問(wèn)題我們有不同的理論依據(jù)可以遵循.以下定理均為已知x的范圍，求a的范圍：定理1不等式f(x)>g(a)恒成立O[f(x)]>g(a)(求解f(x)的最小值)；不等min式f(x)<g(a)恒成立O[f(x)]<g(a)(求解f(x)的最大值).max定理2不等式f(x)>g(a)存在解O[f(x)]>g(a)(求解f(x)的最大值)；不max等式f(x)<g(a)存在解O[f(x)]<g(a)(即求解f(x)的最小值).min定理3方程f(x)=g(a)有解Og(a)的范圍=f(x)的值域(求解f(x)的值域).解決問(wèn)題時(shí)需要注意：(1)確定問(wèn)題是恒成立、存在、方程有解中的哪一個(gè)；(2)確定是求最大值、最小值還是值域.再現(xiàn)性題組：1、已知當(dāng)xeR時(shí)，不等式4sinx+cos2x-sin2x<-a+5恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。2.若f(x)=x2-3x一3在xe[-1,4]上有f(x)>x+2a一1恒成立，求a的取值范圍。3,、若f(x)=x2-3x-3在xe[-1,4]上有f(x)>x+2a2-5a-1恒成立，求a的取值范圍。4、若方程4x-2a?2x+1=0有解，請(qǐng)求a的取值范圍。答案：1、解：原不等式o4sinx+cos2x-sin2x<-a+5當(dāng)xgR時(shí)，不等式o-a+5>(4sinx+cos2x)，設(shè)f(x)=4sinx+cos2x貝卩maxf(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3??—a+5>3a<22、解：x2—3x—3>x+2a—1恒成立，即2a<x2—4x—2在xg[—1,4]上恒成立，只需2a<(x2—4x—2)，解得a<—3min3、解：x2—3x—3>x+2a2—5a—1在xg[—1,4]上恒成立2a2—5a<x2—4x—23在xg[—1,4]上恒成立n2a2—5a<—3n1<a<—24、解:令t=2x(t>o)，則12—2at+1=0n2a=t+>2na>1【例題】例1.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+1,xg(0,1］,且If(x)l<3恒成立，求a的取值范圍.x2+ax+1<3【分析】法一(二次函數(shù))：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為不等式組f,xG(0,1］恒成立Tx2+ax+1>—3f(x)=x2+ax+1在xG(0,1］上的最大值與最小值T以對(duì)稱軸與定義域端點(diǎn)進(jìn)行比較分類,研究單調(diào)性.正確率較低.—4—x22—x2法二(分離變量)：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為<a<在xg(0,1］上恒成立(除x時(shí)注意符號(hào)),<a<a<12于I.求相應(yīng)函數(shù)最值,正確率較高.—4—x2T由定理1得xmaxmin例2.已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=2ax2+2x—3—a?如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［—1,1］上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.【分析】方法一(根的分布)：這個(gè)題目是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的根的分布問(wèn)題,解題時(shí)需要考慮：開口方向,判別式,對(duì)稱軸,特殊點(diǎn)的函數(shù)值.解題時(shí)需要分為大3類,小5類.學(xué)生能夠部分得分,很難列出所有不等式組.方法二(分離變量)：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為2ax2+2x—3—a=0在xg［—1,1］上恒有解t分離變TOC\o"1-5"\h\z3-2x「472、4—邁、、、忑"、量得a=,xG［—1,—)U(-,)U(,1］有解T由定理1.3得只需求2x2—122223-2x.、、、/\［—,y/2y/2函數(shù)g(x)=在xG［—1,—)U(—,)U(,1］上的值域即可，土單獨(dú)2x2—122222考慮.此法思維兩較小,運(yùn)算量較二次函數(shù)略大,得分率略有增加.通過(guò)對(duì)上述三道題目解答過(guò)程中出現(xiàn)的兩種做法的比較,不難體會(huì)到,分離變方法的優(yōu)越性:思維量小,過(guò)程簡(jiǎn)捷明快,思維嚴(yán)謹(jǐn)性的要求有所降低.不足之處:個(gè)別時(shí)候,分離后產(chǎn)生的函數(shù),在求解其最值或值域時(shí)運(yùn)算量較大.總體來(lái)說(shuō),多數(shù)時(shí)候,應(yīng)優(yōu)先使用分離變量法。

【練習(xí)】1、已知函數(shù)f(x)=lg[x+—-2，若對(duì)任意xw[2,+g)恒有f(x)>0，試確定a的取Ix丿值范圍。2、不等式12、不等式1+2x+-a2).4x>0恒成立,求a的取值范圍。1+2x+a?4x3、設(shè)f(x)=lg3，其中aeR，如果xg(—^.1)時(shí)，f(x)恒有意義，求a的取值范圍。4、設(shè)函數(shù)是定義在(-◎+Q上的增函數(shù)，如果不等式f(1-ax-x2)<f(2-a)對(duì)于任意xg[0,1]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。練習(xí)答案：1、解：根據(jù)題意得：x+--2>1在xe［2,+8)上恒成立,x即：a>練習(xí)答案：1、解：根據(jù)題意得：x+--2>1在xe［2,+8)上恒成立,x即：a>—x2+3x在xe[2,+8)上恒成立,設(shè)f(x)=-x2+3x,則f(x)=3)x一一2丿當(dāng)x=2時(shí)，f(x)=2所以a>2max2、解：令2x=t，丁xe(—8,l］.?.te(0,2］所以原不等式可化為：a2-a<12要使上式在te(0,2］上恒成立，只須求出f(t)=巴1在te(0,2］上的最小值即可。t2r1\21r11)=—+—=—+—<t丿tkt2丿14.f(t)=f(2)=3min413..a2—a<————<a<—223、解：如果xe(—8.1)時(shí)，f(x)恒有意義o1+2x+a4x>0，對(duì)xe(—8,1)恒成立.1+2xoa>—4x=—(2-x+2-2x)xe(—8.1)恒成立。令t=2-x，g(t)=-(t+12)又xe(—8.1)則te(-,+8)a>g(t)對(duì)te(丄,+8)恒成立，22133又?.?g(t)在te[一,+8)上為減函數(shù)，g(t)=g(一)=—一，a>--max2444、解:Tf(x)是增函數(shù).f(1—ax-x2)<f(2-a)對(duì)于任意xe[0,1]恒成立o1—ax—x2<2—a對(duì)于任意xe[0,1]恒成立ox2+a