高一數學之分離參數法

高中重要解題方法分離變量法分離變量法是近年來發(fā)展較快的思想方法之一.高考數學試題中，求參數的范圍常常與分類討論、方程的根與零點等基本思想方法相聯系.其中與二次函數相關的充分體現數形結合及分類思想方法的題目最為常見.與二次函數有關的求解參數的題目,相當一部分題目都可以避開二次函數,使用分離變量,使得做題的正確率大大提高.隨著分離變量的廣泛使用,越來越多的壓軸題都需要使用該思想方法.分離變量法：是通過將兩個變量構成的不等式(方程)變形到不等號(等號)兩端，使兩端變量各自相同,解決有關不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中參數取值范圍的一種方法.兩個變量，其中一個范圍已知，另一個范圍未知.解決問題的關鍵:分離變量之后將問題轉化為求函數的最值或值域的問題.分離變量后，對于不同問題我們有不同的理論依據可以遵循.以下定理均為已知x的范圍，求a的范圍：定理1不等式f(x)>g(a)恒成立O[f(x)]>g(a)(求解f(x)的最小值)；不等min式f(x)<g(a)恒成立O[f(x)]<g(a)(求解f(x)的最大值).max定理2不等式f(x)>g(a)存在解O[f(x)]>g(a)(求解f(x)的最大值)；不max等式f(x)<g(a)存在解O[f(x)]<g(a)(即求解f(x)的最小值).min定理3方程f(x)=g(a)有解Og(a)的范圍=f(x)的值域(求解f(x)的值域).解決問題時需要注意：(1)確定問題是恒成立、存在、方程有解中的哪一個；(2)確定是求最大值、最小值還是值域.再現性題組：1、已知當xeR時，不等式4sinx+cos2x-sin2x<-a+5恒成立，求實數a的取值范圍。2.若f(x)=x2-3x一3在xe[-1,4]上有f(x)>x+2a一1恒成立，求a的取值范圍。3,、若f(x)=x2-3x-3在xe[-1,4]上有f(x)>x+2a2-5a-1恒成立，求a的取值范圍。4、若方程4x-2a?2x+1=0有解，請求a的取值范圍。答案：1、解：原不等式o4sinx+cos2x-sin2x<-a+5當xgR時，不等式o-a+5>(4sinx+cos2x)，設f(x)=4sinx+cos2x貝卩maxf(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3??—a+5>3a<22、解：x2—3x—3>x+2a—1恒成立，即2a<x2—4x—2在xg[—1,4]上恒成立，只需2a<(x2—4x—2)，解得a<—3min3、解：x2—3x—3>x+2a2—5a—1在xg[—1,4]上恒成立2a2—5a<x2—4x—23在xg[—1,4]上恒成立n2a2—5a<—3n1<a<—24、解:令t=2x(t>o)，則12—2at+1=0n2a=t+>2na>1【例題】例1.已知函數f(x)=x2+ax+1,xg(0,1］,且If(x)l<3恒成立，求a的取值范圍.x2+ax+1<3【分析】法一(二次函數)：問題轉化為不等式組f,xG(0,1］恒成立Tx2+ax+1>—3f(x)=x2+ax+1在xG(0,1］上的最大值與最小值T以對稱軸與定義域端點進行比較分類,研究單調性.正確率較低.—4—x22—x2法二(分離變量)：問題轉化為<a<在xg(0,1］上恒成立(除x時注意符號),<a<a<12于I.求相應函數最值,正確率較高.—4—x2T由定理1得xmaxmin例2.已知a是實數，函數f(x)=2ax2+2x—3—a?如果函數y=f(x)在區(qū)間［—1,1］上有零點，求a的取值范圍.【分析】方法一(根的分布)：這個題目是一個標準的根的分布問題,解題時需要考慮：開口方向,判別式,對稱軸,特殊點的函數值.解題時需要分為大3類,小5類.學生能夠部分得分,很難列出所有不等式組.方法二(分離變量)：問題轉化為2ax2+2x—3—a=0在xg［—1,1］上恒有解t分離變TOC\o"1-5"\h\z3-2x「472、4—邁、、、忑"、量得a=,xG［—1,—)U(-,)U(,1］有解T由定理1.3得只需求2x2—122223-2x.、、、/\［—,y/2y/2函數g(x)=在xG［—1,—)U(—,)U(,1］上的值域即可，土單獨2x2—122222考慮.此法思維兩較小,運算量較二次函數略大,得分率略有增加.通過對上述三道題目解答過程中出現的兩種做法的比較,不難體會到,分離變方法的優(yōu)越性:思維量小,過程簡捷明快,思維嚴謹性的要求有所降低.不足之處:個別時候,分離后產生的函數,在求解其最值或值域時運算量較大.總體來說,多數時候,應優(yōu)先使用分離變量法。

【練習】1、已知函數f(x)=lg[x+—-2，若對任意xw[2,+g)恒有f(x)>0，試確定a的取Ix丿值范圍。2、不等式12、不等式1+2x+-a2).4x>0恒成立,求a的取值范圍。1+2x+a?4x3、設f(x)=lg3，其中aeR，如果xg(—^.1)時，f(x)恒有意義，求a的取值范圍。4、設函數是定義在(-◎+Q上的增函數，如果不等式f(1-ax-x2)<f(2-a)對于任意xg[0,1]恒成立，求實數a的取值范圍。練習答案：1、解：根據題意得：x+--2>1在xe［2,+8)上恒成立,x即：a>練習答案：1、解：根據題意得：x+--2>1在xe［2,+8)上恒成立,x即：a>—x2+3x在xe[2,+8)上恒成立,設f(x)=-x2+3x,則f(x)=3)x一一2丿當x=2時，f(x)=2所以a>2max2、解：令2x=t，丁xe(—8,l］.?.te(0,2］所以原不等式可化為：a2-a<12要使上式在te(0,2］上恒成立，只須求出f(t)=巴1在te(0,2］上的最小值即可。t2r1\21r11)=—+—=—+—<t丿tkt2丿14.f(t)=f(2)=3min413..a2—a<————<a<—223、解：如果xe(—8.1)時，f(x)恒有意義o1+2x+a4x>0，對xe(—8,1)恒成立.1+2xoa>—4x=—(2-x+2-2x)xe(—8.1)恒成立。令t=2-x，g(t)=-(t+12)又xe(—8.1)則te(-,+8)a>g(t)對te(丄,+8)恒成立，22133又?.?g(t)在te[一,+8)上為減函數，g(t)=g(一)=—一，a>--max2444、解:Tf(x)是增函數.f(1—ax-x2)<f(2-a)對于任意xe[0,1]恒成立o1—ax—x2<2—a對于任意xe[0,1]恒成立ox2+a