2023屆江蘇省南京天印高級中學(xué)高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題

18/1817/18/2022-2023學(xué)年南京天印高級中學(xué)高三第二學(xué)期一?？荚囋嚲硪唬x擇題（共8小題）1．“x∈{x|log3（2﹣x）≤1}”是“x∈{x||x﹣1|≤1}”的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要2．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點都在射線y＝3x（x＞0）上，且|z|＝，則z的虛部為（）A．3 B．3i C．±3 D．±3i3．在五邊形ABCDE中，＝，＝，M，N分別為AE，BD的中點，則＝（）A． B． C． D．4．衡陽市在創(chuàng)建“全國衛(wèi)生文明城市”活動中，大力加強垃圾分類投放宣傳．某居民小區(qū)設(shè)有“廚余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三種不同的垃圾桶．一天，居民小賢提著上述分好類的垃圾各一袋，隨機每桶投一袋，則恰好有一袋垃圾投對的概率為（）A． B． C． D．5．某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作食品包裝盒．現(xiàn)有一張邊長為6的正六邊形硬紙片，如圖所示，裁掉陰影部分，然后按虛線處折成高為的正六棱柱無蓋包裝盒，則此包裝盒的體積為（）A．144 B．72 C．36 D．246．已知函數(shù)g（x）＝sin（ωx+φ），g（x）圖象上每一點的橫坐標縮短到原來的，得到f（x）的圖象，f（x）的部分圖象如圖所示，若，則ω等于（）A． B． C． D．7．某圓錐母線長為2，底面半徑為，則過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為（）A．2 B． C． D．18．已知e≈2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二．多選題（共4小題）（多選）9．對于兩條不同直線m，n和兩個不同平面α，β，下列選項中正確的為（）A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n B．若m∥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n或m∥n C．若m∥α，α∥β，則m∥β或m?β D．若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α（多選）10．已知函數(shù)f（x）＝，則下列結(jié)論正確的是（）A．f（x）是偶函數(shù) B．f（f（﹣π））＝1 C．f（x）是增函數(shù) D．f（x）的值域為[﹣1，+∞）（多選）11．提丟?斯波得定律是關(guān)于太陽系中行星軌道的一個簡單的幾何學(xué)規(guī)則，它是在1766年由德國的一位中學(xué)老師戴維斯?提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成一條定律，即數(shù)列{an}：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太陽系第n顆行星與太陽的平均距離（以天文單位A．U．為單位）．現(xiàn)將數(shù)列{an}的各項乘10后再減4，得到數(shù)列{bn}，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列{bn}從第3項起，每項是前一項的2倍，則下列說法正確的是（）A．數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝3×2n﹣2 B．數(shù)列{an}的第2021項為0.3×22020+0.4 C．數(shù)列{an}的前n項和Sn＝0.4n+0.3×2n﹣1﹣0.3 D．數(shù)列{nbn}的前n項和Tn＝3（n﹣1）?2n﹣1（多選）12．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足2f（x）+xf′（x）＝，f（1）＝0，則下列說法正確的是（）A．f（x）在x＝處取得極大值，極大值為 B．f（x）有兩個零點 C．若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，則k＞ D．f（1）＜f（）＜f（）三．填空題（共4小題）13．在二項式（1﹣3x）n的展開式中，若所有項的系數(shù)之和等于64，那么在這個展開式中，x2項的系數(shù)是．（用數(shù)字作答）14．拋物線C：x2＝2py，其焦點到準線l的距離為4，則準線l被圓x2+y2﹣6x＝0截得的弦長為．15．若直線y＝﹣2x+與曲線y＝﹣ax相切，則a＝．16．已知橢圓C：的兩個焦點為F1（﹣2，0）和F2（2，0），直線l過點F1，點F2關(guān)于l的對稱點A在C上，且＝6，則C的方程為．四．解答題（共6小題）17．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn（n≥2）．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）令，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知tanA＝．（1）若a＝，c＝，求b的值；（2）若角A的平分線交BC于點D，＝，a＝2，求△ACD的面積．19．2020年將全面建成小康社會，是黨向人民作出的莊嚴承諾．目前脫貧攻堅已經(jīng)進入沖刺階段，某貧困縣平原地區(qū)家庭與山區(qū)家庭的戶數(shù)之比為3：2．用分層抽樣的方法，收集了100戶家庭2019年家庭年收入數(shù)據(jù)（單位：萬元），繪制的頻率直方圖如圖所示，樣本中家庭年收入超過1.5萬元的有10戶居住在山區(qū)．（1）完成2019年家庭年收入與地區(qū)的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認為該縣2019年家庭年收入超過1.5萬元與地區(qū)有關(guān)．超過1.5萬元不超過1.5萬元總計平原地區(qū)山區(qū)10總計附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828（2）根據(jù)這100個樣本數(shù)據(jù)，將頻率視為概率．為了更好地落實黨中央精準扶貧的決策，從2020年9月到12月，每月從該縣2019年家庭年收入不超過1.5萬元的家庭中選取4戶作為“縣長聯(lián)系家庭”，記“縣長聯(lián)系家庭”是山區(qū)家庭的戶數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．20．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1為矩形，ABB1A1是邊長為2的菱形，BC＝1，AC＝，（1）證明：平面A1BC⊥平面ABB1A1；（2）若AC＝A1C，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積．21．在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別F1、F2焦距為2，且與雙曲線﹣y2＝1共頂點．P為橢圓C上一點，直線PF1交橢圓C于另一點Q．（1）求橢圓C的方程；（2）若點P的坐標為（0，b），求過P、Q、F2三點的圓的方程；（3）若＝λ，且λ∈[，2]，求的最大值．22．已知函數(shù)f（x）＝aex﹣x2（a∈R）（其中e≈2.71828為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當a＝1時，求證：函數(shù)f（x）圖象上任意一點處的切線斜率均大于；（2）若對于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．2022-2023學(xué)年南京天印高級中學(xué)高三第二學(xué)期一?？荚囋嚲韰⒖即鸢概c試題解析一．選擇題（共8小題）1．“x∈{x|log3（2﹣x）≤1}”是“x∈{x||x﹣1|≤1}”的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【解答】解：由log3（2﹣x）≤1得0＜2﹣x≤3，得﹣3≤x﹣2＜0，得﹣1≤x＜2，即A＝[﹣1，2），由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1得0≤x≤2，即B＝[0，2]，則x∈A是x∈B的既不充分也不必要條件，故選：D．2．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點都在射線y＝3x（x＞0）上，且|z|＝，則z的虛部為（）A．3 B．3i C．±3 D．±3i【解答】解：因為復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點都在射線y＝3x（x＞0）上，設(shè)z＝a+3ai，a∈R，a＞0，所以|z|＝，解得a＝1，故復(fù)數(shù)z＝1+3i，所以z的虛部為3．故選：A．3．在五邊形ABCDE中，＝，＝，M，N分別為AE，BD的中點，則＝（）A． B． C． D．【解答】解：因為＝，＝，M，N分別為AE，BD的中點，所以＝＝．故選：C．4．衡陽市在創(chuàng)建“全國衛(wèi)生文明城市”活動中，大力加強垃圾分類投放宣傳．某居民小區(qū)設(shè)有“廚余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三種不同的垃圾桶．一天，居民小賢提著上述分好類的垃圾各一袋，隨機每桶投一袋，則恰好有一袋垃圾投對的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：某居民小區(qū)設(shè)有“廚余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三種不同的垃圾桶．一天，居民小賢提著上述分好類的垃圾各一袋，隨機每桶投一袋，基本事件總數(shù)n＝＝6，其中恰好有一袋垃圾投對包含的基本事件個數(shù)m＝＝3，則恰好有一袋垃圾投對的概率為P＝＝．故選：D．5．某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作食品包裝盒．現(xiàn)有一張邊長為6的正六邊形硬紙片，如圖所示，裁掉陰影部分，然后按虛線處折成高為的正六棱柱無蓋包裝盒，則此包裝盒的體積為（）A．144 B．72 C．36 D．24【解答】解：由正六棱柱的每個內(nèi)角為，按虛線處折成高為的正六棱柱，即BF＝，∴BE＝，可得正六邊形的底面邊長為AB＝6﹣2×1＝4，則正六棱柱的底面積為S＝6×＝，則此包裝盒的體積為V＝．故選：B．6．已知函數(shù)g（x）＝sin（ωx+φ），g（x）圖象上每一點的橫坐標縮短到原來的，得到f（x）的圖象，f（x）的部分圖象如圖所示，若，則ω等于（）A． B． C． D．【解答】解：已知函數(shù)g（x）＝sin（ωx+φ），g（x）圖象上每一點的橫坐標縮短到原來的，得到f（x）的圖象，則f（x）＝sin（2ωx+φ），由，得﹣|AB||BC|cos∠ABC＝|AB|2，∵2|AB|＝|BC|，cos∠ABC＝﹣，則∠ABC＝120°，過B作BE⊥x軸于E，則BE＝，AE＝3，即周期T＝12，即＝12，得ω＝，故選：A．7．某圓錐母線長為2，底面半徑為，則過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為（）A．2 B． C． D．1【解答】解：截面為△SMN，F(xiàn)為MN的中點，設(shè)OF＝x（0＜x≤），，所以SO＝1，，故＝，所以當x＝1時，S△SMN＝2，此時的截面面積最大．故選：A．8．已知e≈2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：已知e≈2.71828是自然對數(shù)的底數(shù)，a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，設(shè)f（x）＝﹣，則f′（x）＝﹣，當0≤x≤時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在0≤x≤上是增函數(shù)，當x＞時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在x＞上是減函數(shù)，a＝f（3），b＝f（2），而＜2＜3，所以b＞a，又因為ex＞x+1，x≠1，為常用不等式，可得，令g（x）＝﹣lnx，g′（x）＝﹣，當x＜e時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）在x＜e上是減函數(shù)，故g（2）＞g（e）＝0，則＞ln2，即﹣＜﹣ln2，則c＞b，故：a＜b＜c故選：A．二．多選題（共4小題）（多選）9．對于兩條不同直線m，n和兩個不同平面α，β，下列選項中正確的為（）A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n B．若m∥α，n∥β，α⊥β，則m⊥n或m∥n C．若m∥α，α∥β，則m∥β或m?β D．若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α【解答】解：由兩條不同直線m，n和兩個不同平面α，β，知：對于A，若m⊥α，n⊥β且α⊥β，則由線面垂直、面面垂直的性質(zhì)得m，n一定垂直，故A正確；對于B，若m∥α，n∥β，α⊥β，則m與n相交、平行或異面，故B錯誤；對于C，若m∥α，α∥β，則由線面平行、面面平行的性質(zhì)得m∥β或m?β，故C正確；對于D，若m⊥α，m⊥n，則由線面垂直的性質(zhì)得n∥α或n?α，故D正確．故選：ACD．（多選）10．已知函數(shù)f（x）＝，則下列結(jié)論正確的是（）A．f（x）是偶函數(shù) B．f（f（﹣π））＝1 C．f（x）是增函數(shù) D．f（x）的值域為[﹣1，+∞）【解答】解：函數(shù)f（x）＝，其圖像如圖，由圖可得，f（x）不是偶函數(shù)，也不是增函數(shù)，故AC錯誤，f（x）的最小值為﹣1，無最大值，故值域為[﹣1，+∞），D正確，f（﹣）＝cos（﹣）＝0，∴f（f（﹣））＝f（0）＝1，即B成立，故選：BD．（多選）11．提丟?斯波得定律是關(guān)于太陽系中行星軌道的一個簡單的幾何學(xué)規(guī)則，它是在1766年由德國的一位中學(xué)老師戴維斯?提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成一條定律，即數(shù)列{an}：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太陽系第n顆行星與太陽的平均距離（以天文單位A．U．為單位）．現(xiàn)將數(shù)列{an}的各項乘10后再減4，得到數(shù)列{bn}，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列{bn}從第3項起，每項是前一項的2倍，則下列說法正確的是（）A．數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝3×2n﹣2 B．數(shù)列{an}的第2021項為0.3×22020+0.4 C．數(shù)列{an}的前n項和Sn＝0.4n+0.3×2n﹣1﹣0.3 D．數(shù)列{nbn}的前n項和Tn＝3（n﹣1）?2n﹣1【解答】解：數(shù)列{an}各項乘10再減4得到數(shù)列{bn}：0，3，6，12，24，48，96，192，…，故該數(shù)列從第2項起構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，所以，故選項A錯誤；所以，所以，故選項B錯誤；當n＝1時，S1＝a1＝0.4，當n≥2時，＝，當n＝1時，S1＝0.4也適合上式，所以，故選項C正確；因為，所以當n＝1時，T1＝b1＝0，當n≥2時，Tn＝b1+2b2+3b3+…+nbn＝0+3×（2×20+3×21+4×22+…+n?2n﹣2）①，則②，所以①﹣②可得，＝，所以，又當n＝1時，T1也適合上式，所以，故選項D正確．故選：CD．（多選）12．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足2f（x）+xf′（x）＝，f（1）＝0，則下列說法正確的是（）A．f（x）在x＝處取得極大值，極大值為 B．f（x）有兩個零點 C．若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，則k＞ D．f（1）＜f（）＜f（）【解答】解：對A，∵2f（x）+xf′（x）＝，且x∈（0，+∞），可得2xf（x）+x2f′（x）＝，可得：[x2f（x）]′＝，故x2f（x）＝lnx+c（c為常數(shù)），∵f（1）＝0可得：12f（1）＝ln1+c，求得：c＝0，故x2f（x）＝lnx，整理可得：f（x）＝，x∈（0，+∞），f′（x）＝＝＝，當1﹣2lnx＞0，即lnx＜ln，解得0＜x＜，f′（x）＞0，此時f（x）單調(diào)遞增，當1﹣2lnx＝0，即lnx＝ln，解得x＝，f′（x）＝0，當1﹣2lnx＜0，即lnx＞ln，解得：x＞，f′（x）＜0，此時f（x）單調(diào)遞減，∴x＝，f（x）取得極大值，f（）＝＝，故A正確；對B，x→0+，f（x）＜0，x＝，f（）＝，x→+∞，f（x）＞0，畫出f（x）草圖：如圖：根據(jù)圖象可知：f（x）只有一個零點，故B說法錯誤；對C，要保證f（x）＜k?在（0，+∞）上恒成立，即：保證f（x）+＜k在（0，+∞）上恒成立，∵f（x）＝，可得+＜k在（0，+∞）上恒成立，故只需k＞，令G（x）＝+，∴G′（x）＝，當0＜x＜時，G′（x）＝＞0，當x＞時，G′（x）＝＜0，當x＝時，G′（x）＝＝0，則G（x）max＝G（）＝＝，∴k＞＝，故C說法正確，對D，根據(jù)0＜x＜，f（x）單調(diào)遞增，x＞，f（x）單調(diào)遞減，∵1＜＜，可得f（1）＜f（），又∵f（）＝＝，f（）＝，∵f（2）＝＝f（），故f（1）＜f（）＝f（2）＜f（），故D說法正確．綜上所述，正確的說法是：ACD．故選：ACD．三．填空題（共4小題）13．在二項式（1﹣3x）n的展開式中，若所有項的系數(shù)之和等于64，那么在這個展開式中，x2項的系數(shù)是135．（用數(shù)字作答）【解答】解：在（1﹣3x）n中，令x＝1得所有項的系數(shù)之和為（﹣2）n，∴（﹣2）n＝64，解得n＝6∴（1﹣3x）6的展開式的通項為Tr+1＝（﹣3）rC6r×xr令r＝2得展開式中含x2項的系數(shù)是135故答案為13514．拋物線C：x2＝2py，其焦點到準線l的距離為4，則準線l被圓x2+y2﹣6x＝0截得的弦長為2．【解答】解：拋物線C：x2＝2py，其焦點到準線l的距離為4，可得p＝4，所以拋物線的準線方程為y＝﹣2，圓x2+y2﹣6x＝0的圓心（3，0），半徑為3，所以準線l被圓x2+y2﹣6x＝0截得的弦長為2＝2，故答案為：2．15．若直線y＝﹣2x+與曲線y＝﹣ax相切，則a＝3．【解答】解：設(shè)切點為（m，n），y＝﹣ax的導(dǎo)數(shù)為y′＝x2﹣a，可得切線的斜率為m2﹣a，由切線的方程y＝﹣2x+，可得m2﹣a＝﹣2，﹣2m+＝m3﹣am，解得a＝3，m＝﹣1，故答案為：3．16．已知橢圓C：的兩個焦點為F1（﹣2，0）和F2（2，0），直線l過點F1，點F2關(guān)于l的對稱點A在C上，且＝6，則C的方程為．【解答】解：因為A與F2關(guān)于直線l對稱，所以直線l為AF2的垂直平分線，所以|AF1|＝|F1F2|＝4，由橢圓的定義可得|AF2|＝2a﹣4，設(shè)直線l與AF2交于點M，則M為AF2的中點，且，所以（）＝（）＝（2+3）＝2+3＝3＝3|＝，解得a＝3或1（舍去），所以a＝3，b2＝a2﹣c2＝5，則C的方程為：，故答案為：．四．解答題（共6小題）17．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn（n≥2）．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）令，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．【解答】解：（1）由題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則當q＝1時，Sn+1+2Sn﹣1＝（n+1）a1+2（n﹣1）a1＝3n﹣1，3Sn＝3na1＝3n，∴Sn+1+2Sn﹣1≠3Sn，顯然q＝1不符合題意，故q≠1，當q≠1時，Sn＝＝，Sn+1＝，Sn﹣1＝，∵Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn，∴+2＝3，即1﹣qn+1+2（1﹣qn﹣1）＝3（1﹣qn），化簡，得qn﹣1（q﹣2）（q﹣1）＝0，∵q≠1且q≠0，∴q＝2，∴an＝1?2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，Sn＝，Sn+1＝，則＝＝＝﹣，∴Tn＝b1+b2+…+bn＝﹣+﹣+…+﹣＝1﹣．18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知tanA＝．（1）若a＝，c＝，求b的值；（2）若角A的平分線交BC于點D，＝，a＝2，求△ACD的面積．【解答】解：（1）因為tanA＝，所以cosA＝，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝7，即b2﹣3b﹣4＝0，解得b＝4或b＝﹣1（舍），（2）因為＝，所以＝，因為∠CAD＝∠BAD，所以＝，因為a＝2，由余弦定理得，故c2＝，所以S△ABC＝＝＝，△ACD的面積S△ACD＝＝＝．19．2020年將全面建成小康社會，是黨向人民作出的莊嚴承諾．目前脫貧攻堅已經(jīng)進入沖刺階段，某貧困縣平原地區(qū)家庭與山區(qū)家庭的戶數(shù)之比為3：2．用分層抽樣的方法，收集了100戶家庭2019年家庭年收入數(shù)據(jù)（單位：萬元），繪制的頻率直方圖如圖所示，樣本中家庭年收入超過1.5萬元的有10戶居住在山區(qū)．（1）完成2019年家庭年收入與地區(qū)的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認為該縣2019年家庭年收入超過1.5萬元與地區(qū)有關(guān)．超過1.5萬元不超過1.5萬元總計平原地區(qū)山區(qū)10總計附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828（2）根據(jù)這100個樣本數(shù)據(jù)，將頻率視為概率．為了更好地落實黨中央精準扶貧的決策，從2020年9月到12月，每月從該縣2019年家庭年收入不超過1.5萬元的家庭中選取4戶作為“縣長聯(lián)系家庭”，記“縣長聯(lián)系家庭”是山區(qū)家庭的戶數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可知，超過1.5萬元的頻率為（0.5+0.4+0.1）×0.5＝0.5，所以超過1.5萬元的戶數(shù)有100×0.5＝50戶，又因為平原地區(qū)家庭與山區(qū)家庭的戶數(shù)之比為3：2，抽取了100戶，故平原地區(qū)的共有60戶，山區(qū)地區(qū)的共有40戶，又樣本中家庭年收入超過1.5萬元的有10戶居住在山區(qū)，所以超過1.5萬元的有40戶居住在平原地區(qū)，不超過1.5萬元的有20戶住在平原地區(qū)，有30戶住在山區(qū)地區(qū)，故2019年家庭年收入與地區(qū)的列聯(lián)表如下：超過1.5萬元不超過1.5萬元總計平原地區(qū)402060山區(qū)103040總計5050100則K2＝＝，所以有99.9%的把握認為該縣2019年家庭年收入超過1.5萬元與地區(qū)有關(guān)；（2）由（1）可知，選1戶家庭在平原的概率為，山區(qū)的概率為，X的可能取值為0，1，2，3，4，所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，所以X的分布列為：X01234P因為X服從二項分布X～B（4，），所以X的數(shù)學(xué)期望E（X）＝．20．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1為矩形，ABB1A1是邊長為2的菱形，BC＝1，AC＝，（1）證明：平面A1BC⊥平面ABB1A1；（2）若AC＝A1C，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積．【解答】（1）證明：因為側(cè)面BCC1B1是矩形，所以BC⊥BB1，又因為BC＝1，AB＝2，AC＝，所以BC2+AB2＝AC2，所以BC⊥AB，又AB∩BB1＝B，所以BC⊥平面ABB1A1，又因為BC?平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面ABB1A1；（2）解：取AA1的中點M，連接CM，BM，因為AC＝A1C，所以CM⊥AA1，又因為CB⊥平面ABB1A1，所以BM⊥AA1，且CM∩BM＝M，所以AA1⊥平面BCM；因為CM＝＝＝2，所以BM＝＝＝，所以三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積為：V＝S△BCM?AA1＝?BM?BC?AA1＝××1×2＝．21．在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別F1、F2焦距為2，且與雙曲線﹣y2＝1共頂點．P為橢圓C上一點，直線PF1交橢圓C于另一點Q．（1）求橢圓C的方程；（2）若點P的坐標為（0，b），求過P、Q、F2三點的圓的方程；（3）若＝λ，且λ∈[，2]，求的最大值．【解答】解：（1）由題意得c＝1，a2＝2…（2分）故橢圓的方程為．