必修二講義2-5探究彈性勢能的表達式

2.5探究彈性勢能的表達式學習目標核心凝煉1.知道探究彈性勢能表達式的方法。1個概念——彈性勢能2個方法——化變力為恒力、應(yīng)用F－x圖象求功2.理解彈性勢能的概念，會分析決定彈簧彈性勢能大小的相關(guān)因素。3.體會探究過程中的猜想、分析和轉(zhuǎn)化的方法。4.領(lǐng)悟求彈力做功時，通過細分過程化變力為恒力的思想方法。一、彈性勢能[觀圖助學]上圖中的弓、金屬圈、彈性桿在發(fā)生形變時，都會具有什么形式的能量？1.定義：發(fā)生彈性形變的物體的各部分之間，由于有彈力的相互作用而具有的勢能。2.彈簧的彈性勢能：彈簧的長度為原長時，彈性勢能為0。彈簧被拉長或被壓縮時，就具有了彈性勢能。二、探究彈性勢能的表達式[觀圖助學](1)同一根彈簧在不同狀態(tài)下彈性勢能一樣大嗎？彈簧的彈性勢能大小與什么因素有關(guān)？(2)撐桿跳中的桿在不同狀態(tài)下彈性勢能一樣大嗎？桿的彈性勢能大小與什么因素有關(guān)？1.猜想(1)彈性勢能與彈簧被拉伸的長度有關(guān)，同一個彈簧，拉伸的長度越大，彈簧的彈性勢能也越大。(2)彈性勢能與彈簧的勁度系數(shù)有關(guān)，在拉伸長度l相同時，勁度系數(shù)k越大，彈性勢能越大。2.探究思想：彈力做功與彈性勢能變化的關(guān)系同重力做功與重力勢能的變化關(guān)系相似。3.兩種方法計算彈簧彈力的功(1)微元法：把整個過程劃分為很多小段，整個過程做的總功等于各段做功的代數(shù)和：W總＝F1Δl1＋F2Δl2＋…＋FnΔln。(2)圖象法：作出彈力F與彈簧伸長量l關(guān)系的F－l圖象，則彈力做的功等于F-l圖象與l軸所圍的面積。[理解概念]判斷下列說法是否正確。(1)彈性勢能與彈簧的彈性形變量和勁度系數(shù)有關(guān)。(√)(2)不同彈簧發(fā)生相同的形變量時彈力做功相同。(×)(3)彈簧被壓縮時，彈性勢能為負；彈簧被拉伸時，彈性勢能為正。(×)(4)彈力做正功，彈性勢能就增大；彈力做負功，彈性勢能就減小。(×)對彈性勢能的理解[觀察探究]如圖1所示，某人正在用拉力器鍛煉臂力。圖1(1)人不用力時，彈簧不伸長，此時彈簧有彈性勢能嗎？(2)人拉彈簧時對彈簧做什么功？彈簧的彈性勢能怎么變化？(3)在彈簧彈性限度內(nèi)，人將彈簧拉得越長，克服彈力做功越多嗎？彈性勢能越大嗎？(4)拉力器有2條彈簧和有4條彈簧，拉伸相同長度，用力一樣嗎？克服彈力做功相同嗎？答案(1)彈簧不伸長，沒有彈性勢能。(2)人對彈簧做正功，彈性勢能增加。(3)將彈簧拉得越長，克服彈力做功越多，彈性勢能越大。(4)用力不一樣，克服彈力做功也不相同。[探究歸納]1.彈性勢能的產(chǎn)生原因eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1）物體發(fā)生了彈性形變,（2）各部分間的彈力作用))2.影響彈性勢能大小的因素eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1）彈簧的形變量x,（2）彈簧的勁度系數(shù)k))3.彈性勢能與彈力做功的關(guān)系(1)彈力做正功時，彈性勢能減小。(2)彈力做負功時，彈性勢能增大。(3)彈力做功與彈性勢能變化的關(guān)系為W彈＝－ΔEp。[試題案例][例1]關(guān)于彈簧的彈性勢能，下列說法中正確的是()A.當彈簧變長時，它的彈性勢能一定增加B.當彈簧變短時，它的彈性勢能一定減少C.在拉伸長度相同時，勁度系數(shù)越大的彈簧，它的彈性勢能越大D.彈簧拉伸時的彈性勢能一定大于壓縮時的彈性勢能解析如果彈簧原來處于壓縮狀態(tài)，那么當它恢復原長時，它的彈性勢能減小，當它變短時，它的彈性勢能增大，彈簧拉伸時的彈性勢能可能大于、小于或等于壓縮時的彈性勢能，需根據(jù)形變量來判定，所以選項A、B、D錯誤；當拉伸長度相同時，勁度系數(shù)越大的彈簧，需要克服彈力做的功越多，彈簧的彈性勢能越大，選項C正確。答案C理解彈性勢能時應(yīng)注意的三個問題(1)彈簧的彈性勢能的大小由彈簧的勁度系數(shù)和形變量(拉伸或縮短的長度)共同決定，勁度系數(shù)越大，形變量越大，彈簧的彈性勢能越大。(2)彈簧處于原長時，彈性勢能為零，彈簧拉長或壓縮彈性勢能均為正值。(3)彈性勢能具有相對性，但其變化量具有絕對性，因此，在判斷彈性勢能的變化時不必考慮零勢能的位置。[針對訓練1]如圖2所示，撐桿跳是運動會上常見的比賽項目，用于撐起運動員的竿要求具有很好的彈性，下列關(guān)于運動員撐竿跳起的過程說法中正確的是()圖2A.運動員撐竿剛剛觸地時，竿彈性勢能最大B.運動員撐竿跳起到達最高點時，竿彈性勢能最大C.運動員撐竿觸地后上升到達最高點之前某時刻，竿彈性勢能最大D.以上說法均有可能解析竿形變量最大時，彈性勢能最大，只有C項正確。答案C探究彈性勢能的表達式[觀察探究]如圖3所示，測出彈簧不同拉力F作用下的伸長量x，并且作出F－x圖象。圖3(1)彈簧彈力做的功與彈性勢能的變化有什么關(guān)系？(2)怎樣計算彈簧彈力做的功？(3)怎樣表示彈性勢能？答案(1)彈簧彈力做的功等于彈性勢能的減少量，或者說彈性勢能的增加量等于彈簧彈力做功的負值，即W＝－ΔEp。(2)如圖所示，在F－x圖象中，圖線與橫軸所圍圖形(圖中陰影部分)的面積就表示克服彈力所做的功。由此可求得勁度系數(shù)為k的彈簧從其自然長度伸長了x時，彈力做功W＝－eq\f(1,2)kx2。(3)根據(jù)W＝－ΔEp得W＝Ep0－Ep＝0－Ep，所以Ep＝eq\f(1,2)kx2。[探究歸納]1.彈性勢能的表達式：Ep＝eq\f(1,2)kx2。(1)k為彈簧的勁度系數(shù)，由彈簧本身的因素決定。(2)x為彈簧的伸長量(或壓縮量)，不是彈簧的長度。2.重力勢能和彈性勢能的對比彈性勢能重力勢能定義發(fā)生彈性形變的物體各部分之間由于彈力的相互作用而具有的勢能物體由于被舉高及地球的吸引作用而具有的勢能表達式Ep＝eq\f(1,2)kx2Ep＝mgh相對性彈性勢能與零勢能位置的選取有關(guān)，通常選自然長度時勢能為零，表達式最為簡潔重力勢能的大小與零勢能面的選取有關(guān)，但變化量與零勢能面的選取無關(guān)系統(tǒng)性發(fā)生彈性形變的物體上所有質(zhì)點共同具有的能量地球附近的物體與地球所共有的能量聯(lián)系兩種勢能分別以彈力、重力的存在為前提，又由物體的初、末位置來決定，同屬機械能的范疇，在一定條件下可相互轉(zhuǎn)化[試題案例][例2]如圖4所示，小玲同學平時使用帶彈簧的圓珠筆寫字，她想估測里面的小彈簧在圓珠筆尾端壓緊情況下的彈性勢能的增加量。請你幫助她完成這一探究過程。圖4(1)該同學依據(jù)筆尖釋放后的重力勢能的增加量來估算彈簧的彈性勢能，那么該實驗所用的器材為：______________________________________________________。(2)寫出實驗的步驟和所要測量的物理量(用字母表示)_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(要求符合實際并盡量減小誤差)。(3)彈性勢能的增加量的表達式ΔEp＝__________(用測得的量表示)?！舅悸伏c拔】設(shè)計實驗方案時，應(yīng)注意實驗原理和實驗方法，本題測量彈性勢能的大小，要根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化與守恒的思想來進行，即將彈性勢能的測量轉(zhuǎn)化成對重力勢能的測量。解析本題是通過測量筆尖釋放后筆的重力勢能的增加量來估算彈簧的彈性勢能，而重力勢能增加量與物體的質(zhì)量和上升的高度有關(guān)。(1)刻度尺，天平(2)①將圓珠筆緊靠刻度尺豎直放在桌面上；②在桌面上將圓珠筆尾端壓緊，記下筆尖對應(yīng)的讀數(shù)x1；③突然放開圓珠筆，觀察并記下筆尖到達的最高處對應(yīng)的讀數(shù)x2；④用天平測出圓珠筆的質(zhì)量m(3)ΔEp＝mg(x2－x1)答案見解析[針對訓練2]如圖5所示，質(zhì)量為m的物體靜止在地面上，物體上面連著一個輕彈簧，用手拉住彈簧上端上移H，將物體緩緩提高h，拉力F做功WF，不計彈簧的質(zhì)量，則下列說法正確的是()圖5A.重力做功－mgh，重力勢能減少mghB.彈力做功－WF，彈性勢能增加WFC.重力勢能增加mgh，彈性勢能增加FHD.重力勢能增加mgh，彈性勢能增加WF－mgh解析可將整個過程分為兩個階段：一是彈簧伸長到物體剛要離開地面階段，拉力克服彈力做功WF1＝－W彈，等于彈性勢能的增加；二是彈簧長度不變，物體上升h，拉力克服重力做功WF2＝－WG＝mgh，等于重力勢能的增加，又由WF＝WF1＋WF2，可知A、B、C錯，D正確。答案D應(yīng)用圖象中的“面積”巧解問題物理圖象給人的感覺是直觀、形象，它反映了一個動態(tài)的物理過程，通過圖線描述兩個物理量的變化關(guān)系，而有些圖象中圖線與坐標軸所圍成的“面積”往往代表特定的物理意義，應(yīng)用這些“面積”的物理意義解答問題有時可以快速解題，事半功倍。我們已經(jīng)學過的，例如：(1)在v－t圖象中圖線與t軸圍成的“面積”表示物體的位移；(2)在a－t圖象中圖線與t軸圍成的“面積”表示物體速度的變化；(3)在F－x圖象中圖線與x軸圍成的“面積”表示力對物體做的功?！踞槍毩暋恳桓鶑椈傻膹椓托巫兞康年P(guān)系圖線如圖6所示，那么彈簧由伸長量為8cm到伸長量為4cm的過程中，彈力做的功和彈性勢能的變化量分別為()圖6A.3.6J，－3.6J B.－3.6J，3.6JC.1.8J，－1.8J D.－1.8J，1.8J解析F－x圖象中圖線與x軸圍成的“面積”表示彈力做的功。W＝eq\f(1,2)×0.08×60J－eq\f(1,2)×0.04×30J＝1.8J。彈性勢能減少1.8J，故彈性勢能的變化量為－1.8J，C正確。答案C1.(彈性勢能的理解)(多選)關(guān)于重力勢能和彈性勢能，下列說法中正確的是()A.發(fā)生形變的物體一定具有彈性勢能B.重力勢能和彈性勢能的大小都是由相互作用的兩個物體的相對位置決定的C.若規(guī)定彈簧的長度為原長時，彈簧的彈性勢能為0，則彈簧壓縮時彈性勢能是負值，彈簧伸長時彈性勢能是正值D.彈性勢能必須通過彈力做功改變解析發(fā)生彈性形變的物體有彈性勢能，有些形變不能恢復，沒有彈性勢能，A錯誤；相互作用的兩個物體，當相對位置發(fā)生變化時，作用力能夠做功，一定具有勢能，B正確；無論彈簧壓縮還是伸長，彈性勢能均為正值，C錯誤；彈性勢能的變化總是與彈力做功相對應(yīng)，當彈力做正功時，彈性勢能減少，當彈力做負功時，彈性勢能增加，D正確。答案BD2.(彈性勢能的理解)如圖7所示的幾個運動過程中，物體的彈性勢能增加的是()圖7A.如圖甲，撐桿跳高的運動員上升過程中，桿的彈性勢能B.如圖乙，人拉長彈簧過程中，彈簧的彈性勢能C.如圖丙，模型飛機用橡皮筋發(fā)射出去的過程中，橡皮筋的彈性勢能D.如圖丁，小球被彈簧向上彈起的過程中，彈簧的彈性勢能答案B3.(彈力做功與彈性勢能變化的關(guān)系)如圖8所示，在光滑水平面上有一物體，它的左端連一彈簧，彈簧的另一端固定在墻上，在力F的作用下物體處于靜止狀態(tài)，當撤去F后，物體將向右運動。在物體向右運動的過程中，下列說法正確的是()圖8A.彈簧的彈性勢能逐漸減小B.彈簧的彈性勢能逐漸增大C.彈簧的彈性勢能先增大后減小D.彈簧的彈性勢能先減小后增大解析由物體處于靜止狀態(tài)可知，彈簧處于壓縮狀態(tài)，撤去F后物體在向右運動的過程中，彈簧的彈力對物體先做正功后做負功，故彈簧的彈性勢能先減小后增大，D正確。答案D4.(彈簧問題的綜合分析)(多選)某緩沖裝置可抽象成圖9所示的簡單模型，圖中k1、k2為原長相等、勁度系數(shù)不同的輕質(zhì)彈簧。下列表述正確的是()圖9A.緩沖效果與彈簧的勁度系數(shù)無關(guān)B.墊片向右移動時，兩彈簧產(chǎn)生的彈力大小相等C.墊片向右移動時，兩彈簧的長度保持相等D.墊片向右移動時，兩彈簧的彈性勢能發(fā)生改變解析彈簧勁度系數(shù)k越大，向右壓縮單位長度彈力越大，物體減速越快，緩沖效果越好，A錯誤；由牛頓第三定律可知兩彈簧彈力總是大小相等，B正確；由于k1x1＝k2x2，k1≠k2，所以x1≠x2，又因原長相等，故壓縮后兩彈簧的長度不相等，C錯誤；彈簧形變量越來越大，彈性勢能越來越大，D正確。答案BD合格性檢測1.如圖1所示，將彈簧拉力器用力拉開的過程中，彈簧的彈力和彈性勢能的變化情況是()圖1A.彈力變大，彈性勢能變小B.彈力變小，彈性勢能變大C.彈力和彈性勢能都變小D.彈力和彈性勢能都變大解析將彈簧拉力器用力拉開的過程中，彈簧的伸長量變大，彈簧的彈力變大，彈性勢能變大。故A、B、C錯誤，D正確。答案D2.(多選)在一次“蹦極”運動中，人由高空落下，到最低點的過程中，下列說法正確的是()圖2A.重力對人做正功B.人的重力勢能減少了C.橡皮繩對人做正功D.橡皮繩的彈性勢能減少了答案AB3.(多選)在探究彈簧的彈性勢能的表達式時，下面猜想有一定道理的是()A.重力勢能與物體被舉起的高度h有關(guān)，所以彈性勢能很可能與彈簧的長度有關(guān)B.重力勢能與物體被舉起的高度h有關(guān)，所以彈性勢能很可能與彈簧被拉伸(或壓縮)的長度有關(guān)C.重力勢能與物體所受的重力mg大小有關(guān)，所以彈性勢能很可能與彈簧的勁度系數(shù)有關(guān)D.重力勢能與物體的質(zhì)量有關(guān)，所以彈性勢能很可能與彈簧的質(zhì)量大小有關(guān)解析彈簧的彈性勢能與彈簧的勁度系數(shù)和彈簧的形變量有關(guān)，與彈簧的長度、質(zhì)量等因素無關(guān)。答案BC4.一豎直彈簧下端固定于水平地面上，小球從彈簧上端的正上方高為h的地方自由下落到彈簧上端，如圖3所示。經(jīng)幾次反彈以后小球最終在彈簧上靜止于某一點A處，則()圖3A.h越大，彈簧在A點的壓縮量越大B.彈簧在A點的壓縮量與h無關(guān)C.h越大，最終小球靜止在A點時彈簧的彈性勢能越大D.小球第一次到達A點時彈簧的彈性勢能比最終小球靜止在A點時彈簧的彈性勢能大解析最終小球靜止在A點時，小球受重力與彈簧的彈力相等，故由彈力公式得mg＝kx，即可得出彈簧在A點的壓縮量x＝eq\f(mg,k)，與下落時的高度h無關(guān)，A錯誤，B正確；對同一彈簧，它的彈性勢能大小僅與彈簧的形變量有關(guān)，小球靜止在A點或經(jīng)過A點時，彈簧的彈性勢能相同，C、D錯誤。答案B5.(2018·蘇州高一檢測)(多選)如圖4所示，彈簧的一端固定在墻上，另一端在水平力F作用下緩慢拉伸了x。關(guān)于拉力F、彈性勢能Ep隨伸長量x的變化圖象正確的是()圖4解析因為是緩慢拉伸，所以拉力始終與彈簧彈力大小相等，由胡克定律F＝kx，F(xiàn)－x圖象為傾斜直線，A正確，B錯誤；因為Ep∝x2，所以D正確，C錯誤。答案AD6.(2018·濱州高一檢測)如圖5所示，a、b兩條斜線分別表示兩根勁度系數(shù)不同的彈簧所受拉力F和彈簧伸長量之間的關(guān)系。設(shè)它們的勁度系數(shù)分別為ka、kb，拉力都為F1時的彈性勢能分別為Ea、Eb。則下列說法正確的是()圖5A.ka＞kbEa＞Eb B.ka＜kbEa＞EbC.ka＞kbEa＜Eb D.ka＜kbEa＜Eb解析由F＝kl可知，F(xiàn)－l圖線的斜率為彈簧的勁度系數(shù)，由圖可知，ka＞kb，當拉力為F1時，兩彈簧的形變量為la＝eq\f(F1,ka)，lb＝eq\f(F1,kb)，可得：Ea＝eq\f(1,2)kaleq\o\al(2,a)＝eq\f(Feq\o\al(2,1),2ka)，Eb＝eq\f(Feq\o\al(2,1),2kb)，可得Ea＜Eb。故C正確。答案C7.如圖6所示，質(zhì)量不計的彈簧一端固定在地面上，彈簧豎直放置，將一小球從距彈簧自由端高度分別為h1、h2的地方先后由靜止釋放，h1＞h2，小球觸到彈簧后向下運動壓縮彈簧，從開始釋放小球到獲得最大速度的過程中，小球重力勢能的減少量ΔE1、ΔE2的關(guān)系及彈簧彈性勢能的增加量ΔEp1、ΔEp2的關(guān)系中，正確的一組是()圖6A.ΔE1＝ΔE2，ΔEp1＝ΔEp2 B.ΔE1>ΔE2，ΔEp1＝ΔEp2C.ΔE1＝ΔE2，ΔEp1>ΔEp2 D.ΔE1>ΔE2，ΔEp1>ΔEp2解析小球速度最大的條件是彈力等于重力，兩種情況下，對應(yīng)于同一位置，則ΔEp1＝ΔEp2，由于h1＞h2，所以ΔE1>ΔE2，B正確。答案B8.如圖7所示，一輕彈簧一端固定于O點，另一端系一重物，將重物從與懸點O在同一水平面且彈簧保持原長的A點無初速地釋放，讓它自由擺下，不計空氣阻力，在重物由A點擺向最低點B的過程中()圖7A.重力做正功，彈力不做功B.重力做正功，彈力做正功C.若用與彈簧原長相等的細繩代替彈簧后，重力做正功，彈力不做功D.若用與彈簧原長相等的細繩代替彈簧后，重力做功不變，彈力不做功解析重力做正功，彈簧彈力做負功，選項A、B錯誤；若用等長細繩代替彈簧后重力做正功，彈力不做功，但重力做的功不同，選項C正確，D錯誤。答案C等級性檢測9.一個小孩在蹦床上做游戲，他從高處落到蹦床上后又被彈起到原高度，小孩從高處開始下落到彈回的整個過程中，他運動的速度v隨時間t變化的圖象如圖8所示，圖中只有Oa段和cd段為直線。則根據(jù)該圖象可知，蹦床的彈性勢能增大的過程所對應(yīng)的時間間隔為()圖8A.僅在t1到t2的時間內(nèi)B.僅在t2到t3的時間內(nèi)C.在t1到t3的時間內(nèi)D.在t1到t5的時間內(nèi)解析小孩從高處落下，在0～t1時間內(nèi)小孩只受重力作用；在t1～t2時間內(nèi)加速度減小，說明小孩又受到了彈力作用，蹦床受到壓力；t3時刻，小孩的速度為零，蹦床受到的壓力最大，彈性勢能也最大；t3時刻后小孩反彈，蹦床的彈性勢能減小。故選項C正確。答案C10.彈簧原長為l0，勁度系數(shù)為k。用力把它拉到伸長量為l，拉力所做的功為W1；繼續(xù)拉彈簧，使彈簧在彈性限度內(nèi)再伸長l，拉力在繼續(xù)拉伸的過程中所做的功為W2。試求：(1)W1與W2的比值；(2)對應(yīng)的彈性勢能Ep1與Ep2之比。解析(1)法一：拉力F與彈簧的伸長量l成正比，故在F－l圖象中是一條傾斜直線，如圖所示，直線下的相關(guān)面積表示功的大小。其中，線段