2022-2023學(xué)年北師大版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期專項(xiàng)講練1.7矩形的性質(zhì)與判定（鞏固篇練習(xí)）

專題1.7矩形的性質(zhì)與判定（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）

一、單選題

類型一、利用矩形的性質(zhì)求線段'角度及面積

1.如圖，在矩形中，對角線AC與8。相交于點(diǎn)O,AELBD于點(diǎn)E,

ZDAE=2^BAE,4）=4,則0E=（）

2.如圖，。是矩形ABC。的對角線交點(diǎn)，AE平分NBA。，ZAOD=\20°,NAE0的度

數(shù)為（）

A.15°B.25°C.30°D.35°

3.兩張全等的矩形紙片ABC。，AECF按如圖的方式疊放在一起，=若AB=3,

BC=9,則圖中重疊（陰影）部分的面積為（）

A.15B.14C.13D.12

類型二、利用矩形的性質(zhì)和判定證明

4.若順次連接矩形的各邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是（）

A.菱形B.矩形C.正方形D.平行四邊形

5.如圖，在矩形ABC。中，4B=3cm,AD=5cm,點(diǎn)E為BC上的一點(diǎn)，平分N4EC,

則BE的長為（)

C.5cmD.6cm

6.如圖所示，矩形ABC。中，AE平分N84O交3C于E,ZCAE=\5°,則下面的結(jié)論:

①△ODC是等邊三角形；②BC=2AB；③S〃10E=SzC0E,其中正確結(jié)論有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

類型三直角三角形斜邊上中線問題

7.如圖，四邊形A8CD是菱形，對角線AC、相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)。作_L于

點(diǎn)、H,連接O”,ZCAD=20°,則/￡歸。的度數(shù)是（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

8.如圖，菱形4BCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)力作￡歸，A3于點(diǎn)“，連

接OH,若OA=4,OH=2,則菱形48CC的面積為（）

A.8B.16C.24D.32

9.如圖，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（4,3）,ABLt軸于點(diǎn)8,點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)-一點(diǎn)，OC=2,

點(diǎn)。為線段AC的中點(diǎn)，連接80,則8。的最大值為（)

「3百

Vz?-----D.

2

類型四、添加一個(gè)條件構(gòu)成矩形

10.如圖，在四邊形ABC。中，點(diǎn)E,F,G,”分別是4力，BD,BC,CA的中點(diǎn)，若

四邊形EFGH是矩形，則四邊形A8CO需滿足的條件是（）

C.AC1.BDD.AB=DC

11.在QABC。中，對角線AC,8。相交于點(diǎn)0,只需添加一個(gè)條件，即可證明QABC￡>

是矩形，這個(gè)條件可以是（）

A.AB=BCB.AC=BDC.AC±BDD.ZAO8=60°

12.如圖，平行四邊形45。的對角線AC與BO相交于點(diǎn)。，添加一個(gè)條件使平行四

邊形ABCD為矩形的是（）

A.AD=ABB.ABA.ADC.AB=ACD.CALBD

類型五、證明四邊形是矩形

13.如圖，在AABC中，點(diǎn)。、E、尸分別是48、BC、AC的中點(diǎn)，則下列四個(gè)判斷中,

不正確的是（)

D.

A.四邊形ADEF是平行四邊形B.若乙4=90。，則四邊形AOEF是矩形

C.若A8=AC,則四邊形AZ）EF是菱形D.若四邊形AZJEF是正方形，則IBC是等邊三角形

14.如圖，在銳角△A8C中，延長8C到點(diǎn)。，過點(diǎn)。作直線MV〃8C,MN分別交NAC8、

NACO的平分線于E,連接4E、AF,在下列結(jié)論中：①OE=OF；②CE=CF；③若CE=

12,則OC的長為6；④當(dāng)AO=CO時(shí)，四邊形AECF是矩形.其中正確的是（）

A.①④B.①②C.①②③D.②③④

15.如圖，在平行四邊形ABC。中對角線AC、80交于點(diǎn)O,并且ND4C=60。，ZADB

=15°.點(diǎn)E是A。邊上一個(gè)動點(diǎn)，延長E。交BC于點(diǎn)凡當(dāng)點(diǎn)E從。點(diǎn)向4點(diǎn)移動過程中

（點(diǎn)E與點(diǎn)D,A不重合），則四邊形4FCE的變化是（）

A.平行四邊形一矩形-平行四邊形-菱形一平行四邊形

B.平行四邊形一菱形一平行四邊形一矩形一平行四邊形

C.平行四邊形一矩形一平行四邊形一正方形一平行四邊形

D.平行四邊形一矩形一菱形一正方形一平行四邊形

類型六、利用矩形的性質(zhì)與判定求線段'角度及面積

16.將矩形ABCO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（O°<?<360°）,得到矩形型"G.當(dāng)GC=GB時(shí),

下列針對a值的說法正確的是（)

A.60°或300°B.60°或330°C.30°D.60°

17.如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E、F、G、〃分別是邊43、BC、CD、D4上的動點(diǎn)（不

與端點(diǎn)重合），若四點(diǎn)運(yùn)動過程中滿足AE=CG、BF=DH,且AB=10、BC=5,則四邊形EFG”

周長的最小值等于（）

A.10x/5B.1073C.56D.5G

18.如圖，在平行四邊形ABC。中，AD=3,CD=2.連接AC,過點(diǎn)8作BE7/AC,

交OC的延長線于點(diǎn)￡,連接AE,交BC于點(diǎn)E若ZAFC=2ZD,則四邊形ABEC的面積

C.6D.2如

二、填空題

類型一、利用矩形的性質(zhì)求線段'角度及面積

19.如圖，在矩形ABC。中，對角線AC,BD交于點(diǎn)、O,CE平分/ADC交BC于點(diǎn)E,

連接OE.若NBDE=15。,則NZ）OE=.

20.如圖，矩形ABC力中，AB=3,4。=5.點(diǎn)E是BC邊上一動點(diǎn)，連接AE.將△ABE

沿AE翻折得到AAEF,連接QF.當(dāng)AADF的面積為|■時(shí)，線段8E的長為.

21.如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E、F分別是48、CZ）的中點(diǎn)，連接OE和BF,分別取

DE、B尸的中點(diǎn)M、N,連接AM、CN、MN.若AB=3,BC=2石，則圖中陰影部分的面

類型二、利用矩形的性質(zhì)和判定證明

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,3）,過點(diǎn)8作軸于點(diǎn)A,

BCLy軸于點(diǎn)C.若直線/：y=mx-2mCm^0）把四邊形OABC分成面積相等的兩部分，

則m的值為.

7-

C-------15

~OAx

23.如圖，線段AB=1O,點(diǎn)。是線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)4重合），在AB上方

作以AD為腰的等腰△ACD,且NCAO=120。，過點(diǎn)。作射線3PJ_C。，過OP上一動點(diǎn)G

（不與。重合）作矩形CCG4,其對角線交點(diǎn)為O,連接。B,則線段0B的最小值為

H

24.如圖，矩形ABC。中，AB=4,BC=3,矩形EFGH的頂點(diǎn)E,G,”分別在矩

形ABC。的邊AB,CD,D4上，且44=1,則點(diǎn)尸到BC的距離的最大值為

類型三直角三角形斜邊上中線問題

25.在AABC中，ZC=90°,NA=30。，。是AB的中點(diǎn)，CD=3,則AC=

26.如圖，在AABC中，和AE分別是邊BC上的中線和高，己知

AD=3,AC=2,ZBAC=90°,求高AE=

27.如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2,點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上,

當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，點(diǎn)8到原點(diǎn)的最大距離是

類型四、添加一個(gè)條件構(gòu)成矩形

28.如圖，連接四邊形ABC。各邊中點(diǎn)，得到四邊形EFG”,還要添加

條件，才能保證四邊形EFGH是矩形.

29.如圖，四邊形ABCD中，AD〃BC,/D=90。，要使它變?yōu)榫匦?，需要添加的條件

（寫出一種情況即可）

AD

B------------IC

30.如圖，在平行四邊形ABCD中，延長AD到點(diǎn)E,使DE=AD,連接EB,EC,

DB請你添加一個(gè)條件，使四邊形DBCE是矩形.

E

類型五、證明四邊形是矩形

31.如圖，菱形中，點(diǎn)。為對角線的交點(diǎn)，E、F、G、”是菱形A8C3的各邊

中點(diǎn)，若AC=6,BD=8,，則四邊形EFGH的面積為_____.

AHD

三I

BFC

32.如圖，△ABC中，分別以A8、AC為邊在△ABC外作等邊三角形48。和等邊三角

形ACE,連接C。、BE,四邊形AQFE是平行四邊形.

DF

(1)當(dāng)N84C的度數(shù)為時(shí)，平行四邊形4OFE是矩形；

(2)當(dāng)NBAC的度數(shù)為時(shí)，平行四邊形ACFE不存在；

(3)當(dāng)AABC滿足時(shí)，平行四邊形AOFE是菱形.

33.數(shù)學(xué)興趣小組根據(jù)趙爽弦圖啟發(fā)設(shè)計(jì)了如圖圖形:其中四邊形ABCZ)為菱形,△AOH、

△CBF、△AEB、△CGO均為直角三角形.若AH=",DH=l,CG=2,則EF的長為.

類型六、利用矩形的性質(zhì)與判定求線段、角度及面積

34.如圖，在平行四邊形ABC。中，AB<BC,NB=30。，AB=20，AABCAC

翻折至連接37).當(dāng)8c長為時(shí)，4A87)是直角三角形.

B'

35.如圖，在AA3C中，AB=AC,直線QE垂直平分A8,把線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90。，使點(diǎn)A落在直線OE上的點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)CF、BF,線段AC、BF交于點(diǎn)、G,如果

36.如圖，等腰直角三角形ABC,NACB=90。，點(diǎn)。、E分別是A&8c上的點(diǎn)，且

DC=DE,AD=BE=e，則圖中陰影部分的面積為

三、解答題

37.如圖，矩形ABCZ）的對角線AC、BD于點(diǎn)O,ZAOB=60,AB=4.

⑴求AC、皮）的長；（2）求矩形A8CD的面積.

38.如圖，在矩形ABCQ中，點(diǎn)M在。C上，AM=AB,且8NLAM,垂足為N.

（1）求證：AABN絲△MAZ）：（2）若A￡>=2,AN=4,求四邊形3CMN的面積.

39.如圖，在AABC中，AO是BC邊上的中線，E是4。的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作A尸〃8c

交8E的延長線于點(diǎn)F,連接CF.

(1)求證：AF=DC-,

(2)若ABLAC,CF=2,求四邊形ADC尸的周長.

40.如圖，四邊形A8C。對角線AC、80相交于點(diǎn)。，且NABC=90。，,

BE//AC,CE//DB,求證：四邊形OBEC是菱形.從以下三個(gè)選項(xiàng)中選兩個(gè)作為已知條件:

@AD//BC,②AB=CD,?AD=BC,并完成證明.

你選擇的條件是_______

41.如圖，在平行四邊形A8C。中，BE平分/ABC,且與邊相交于點(diǎn)E,NAEB=

45°.

(1)求證：平行四邊形ABC。是矩形；

(2)連接CE,若CE=下,OE=1,求A。的長.

參考答案

I.A

【分析】

設(shè)N84E=a,則ND4E=2a,利用3a=90。求HlN8AE=30。，進(jìn)一步得4Z月=30。，設(shè)

AB=x,則比>=2x,利用勾股定理求出/二九3,再求出08,BE,利用0￡=。5-8￡求解

3

即可.

解：設(shè)則NZM￡=2c,

，3a=90。，得：a=30。，即N84￡>30。，

,:AEJLBD，

：.ZABD=60°fAADB=^°,

;AD=4,

設(shè)AB二x,則BD=2x,

AX2+22=4X2,解之得：x=型,

3

...473pn_8V3

33

.1人口2G

??BDZE7=—AB=---,

23

*/BO，BD=^~，

23

，OE=OB-BE=^~,

3

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，30。所對的直角邊等于斜邊的一半.解題的

關(guān)鍵是求出NA4E=30。，N3=30。，再利用勾股定理，2所對的直角邊等于斜邊的一半，

求出BE,BO.

2.C

【分析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OB=OC,AD//BC,/ABC=NBAD=90。，又由AE平分/BAD,

ZAOD=]20°,即可求得NOBC和NAEB的度數(shù)，以及AB=BE,AB^OA=OB,即可得OB=BE,

NBOE=NBEO,即可求得N0E8的度數(shù)

解：；四邊形A8c。是矩形，

：.AD//BC,ZABC=ZBAD=9Q01AC=BD,OB=^BDfOC=^AC,

：.OB=OC,

：./OBC=/OCB,

VZBOC=ZAOZ>I20°,

/.N08030。，

TAE平分N84。，

AZBAE=Z￡AD=45°,

工NAEB=/EAD=/BAE=45。,

；.AB=BE,

,/ZA0D=120°f

；?ZAOB=60°f

：.AB=OA=OBf

：.0B=BEf

：.ZBOE=ZBEOf

：.ZOEB=75°,

:.ZAEO=ZOEB-Z?lEB=75o-45o=30o,故C正確.

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和

判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.A

【分析】

先根據(jù)矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定可得四邊形AGC”是平行四邊形，再根據(jù)三角形

全等的判定證出5G二ACEG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AG=CG,設(shè)AG=CG=x,

則8G=9-x,然后在中，利用勾股定理求出工的值，最后根據(jù)平行四邊形的面積

公式即可得.

解：,??如圖，在兩張全等的矩形紙片A3CO,AECF中，AB=AF=3,

.\CE=AB=3,ZB=ZE=90°MZ)||BC,A^||CF,

四邊形AGC”是平行四邊形，

在aASG和△CEG中，

/AGB=NCGE

<ZB=ZE=90°,

AB=CE

:.AABG=^CEG(AAS),

AG=CG,

設(shè)AG=CG=x,^\BG=BC-CG=9-x,

在Rt^ABG中，AB2+BG2=AG2,B|J32+(9-X)2=x2,

解得x=5,

:.CG=5,

則圖中重疊(陰影)部分的面積為CG-AB=5x3=15,

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等

知識點(diǎn)，正確找出兩個(gè)全等三角形是解題關(guān)鍵.

4.A

【分析】

利用中位線的定理和矩形對角線的性質(zhì)證明順次連接矩形的各邊中點(diǎn)所得的四邊形的

四條邊都相等即可求解.

解：如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)、E、F、G、，分別是其四條邊的中點(diǎn)，順次鏈接反

F、G、，可得四邊形EFGH一定是菱形，

證明：連接AC、BD,

?.?在448。中，

"：AH=HD,AE=EB,

：.EH=-BD,

2

同理可得：HG=-AC,FG=LBD,EF=~AC,

222

???四邊形A8CO是矩形，

AC=BD,

：.EH=HG=FG=EF,

??.四邊形EFGH是菱形,

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)、三角形中位線按定理、菱形的判定，解題的關(guān)鍵是正確

解讀題意，熟練運(yùn)用菱形的判定方法.

5.B

【分析】

由平分NAEC得出=再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出相應(yīng)角的度數(shù)，再由角

與角之間的關(guān)系得出=從而得出NAZ)E=NA￡D,再由角相等得出邊相等,

再根據(jù)勾股定理求出席的長.

解：:ED平分乙/正C

ZAED=/DEC

???四邊形A3C。為矩形

?.ZC=90°,ZADC=90°,ZB=9()0

：.ZDEC+ZEDC=90°,ZADE+ZEDC=90°

二.ZDEC=ZADE

：.ZADE=ZAED

：.AE=AD

,/AD=5cm

AE=5cm

AB=3cm

BE=>JAE2-AB2=代-3?=4cm

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)和運(yùn)用勾

股定理是解答此題的關(guān)鍵.

6.C

【分析】

由矩形的性質(zhì)得OA=OO=OC=O8,再證NACO=60。，得△OCC是等邊三角形，故

①正確；然后由含30。角的直角三角形的性質(zhì)得AC=2A8,則2AB>8C,故②錯誤；最后

由。4=OC得SzAOE=LCOE,故③正確；即可求解.

解：；四邊形48co是矩形，

：.AD//BC,N8AO=NABC=/AQC=90。，0A=OC,0D=0B,AC^BD,

：.OA^OD=OC^OB,

平分N8/W,

.?.ND4E=45。，

"：ZCAE=\50,

；.NQAC=45°-15°=3O。，

ZACD=90°-/D4c=90°-30°=60°,

；OD=OC,

.?.△one是等邊三角形，故①正確：

■:ADMBC,

ZACB=ZDAC=30°,

,：ZABC=90°,

."C=2A8,

：.2AB>BC,故②錯誤；

'：OA=OC,

：.SAAOE^S^COE,故③正確；

正確的結(jié)論有2個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30。角的直角三角形的

性質(zhì)以及三角形面積等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證出OA=OO=OC是解題的關(guān)鍵.

7.A

【分析】

先根據(jù)菱形的性質(zhì)得00=03、AB//CD.AB=AD,即，AC,借助NC4D=20。可

計(jì)算出NS4D、的值，再利用OHLAB、0￡>=08可知0"為/?小?！?的斜邊/58

上的中線,得到OH=OD,利用等腰三角形的性質(zhì)得NDHO=ZBDH，進(jìn)而求出ZDHO

的度數(shù).

解：???A3CO是菱形，

：.OD=OB、ABI/CD,AB=AD,BD1AC,

???ZBAD=2ZCAD=40°，

：.NABD=(180°-ABAD)4-2=70°,

■:DH工AB,OD=OB,

：.OH=OD9

：.ZDHO=ZBDH=90°-ZABD=20°,

故選：A.

【點(diǎn)撥】此題考查菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等腰三角形等邊對等角求

角度等知識，熟記相關(guān)幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】

由氏△8〃。中，點(diǎn)。是5。的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半,0/7=2,

則，BD=4,由菱形對角線的性質(zhì)可得AC=8,應(yīng)用菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半，

即可得出答案.

解：???四邊形ABC。是菱形，

：.OA=OC,OB=OD,AC.LBD,

DHLAB,

：.NBHD=90。,

:.BD=2OH,

OH=2,

；.BD=4,

VOA=4,

，4C=8,

二菱形ABC。的面積=^AC'BD=gx8x4=16.

故選：B.

【點(diǎn)撥】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)和面枳及直角三角形的性質(zhì)，合理利用菱形的性質(zhì)及直角三

角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.

9.B

【分析】

先連接A。，取其中點(diǎn)E，連接。E、BE,根據(jù)點(diǎn)E為線段AC、AO的中點(diǎn)求出

DE的長，再根據(jù)斜中線定理求出8E的長，當(dāng)當(dāng)8、。、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，BO值

最大，求出結(jié)果即可.

解：如下圖所示，連接A0,取其中點(diǎn)E,連接。E、BE,

?.?點(diǎn)。、E為線段AC、A0的中點(diǎn)，

DE=-OC=\,

2

又軸于點(diǎn)B,

AAO=y/AB2+0B2=5

BE=-AO=~,

22

當(dāng)8、D、E三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，8。值最大，

57

此時(shí)8O=BE+￡>E=l+」=-；

22

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形中位線定理、斜中線定理，本題解題的關(guān)鍵是在于找到兩

點(diǎn)之間線段最短.

10.A

【分析】

利用三角形中位線定理可得四邊形EPGH是平行四邊形，當(dāng)A8_LOC,利用EF//AB.

EH//CD可得EFJ_E”即可證明四邊形EFGH是矩形.

解：；點(diǎn)E,F,G,”分別是AD,BD,BC,CA的中點(diǎn),

:.EFHAB,且EF=LA8,且G”=1AB*

22

四邊形EFG”是平行四邊形，

?.?四邊形EFG”是矩形，

；.NFEH=90°,即莊_1”￡,

,/EF//AB,HE//CD,

，AB±CD,

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題考查矩形的判定定理，三角形中位線的定義和性質(zhì)，關(guān)鍵是利用三角形中

位線定理證明四邊形EFG"是平行四邊形，再利用推出ABYCD.

11.B

【分析】

由矩形的判定和菱形的判定分別對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可；

解：：四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC,

二平行四邊形ABC。是菱形，故4不符合題意；

:四邊形48CZ）是平行四邊形，AC=BD,

，平行四邊形A8CD是矩形，故8符合題意；

?.?四邊形A8CO是平行四邊形，ACA.BD,

平行四邊形43co是菱形，故C不符合題意；

:四邊形ABC。是平行四邊形，ZAOB=60°,

,不能判定平行四邊形A8C。是矩形，故力不符合題意；

故選B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和菱形的判定，準(zhǔn)確分析判斷

是解題的關(guān)鍵.

12.B

【分析】

根據(jù)矩形的判定和平行四邊形的性質(zhì)分別對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

解：A、AD=ABW\,平行四邊形A8c。是菱形，故選項(xiàng)A不符合題意；

B、AB_LAD時(shí)，N8A￡>=90。，則平行四邊形A8C。是矩形，故選項(xiàng)B符合題意；

C、A3=AC時(shí)，平行四邊形ABC。不一定是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；

D、C4,即時(shí)，平行四邊形A88是菱形，故選項(xiàng)D不符合題意；

故選:B.

【點(diǎn)撥】此題考查的是平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知識：

熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

13.D

【分析】

根據(jù)三角形中位線定理可知上〃AF,DE=AF,所以四邊形AOEF是平行四邊形；

當(dāng)NA=90。，四邊形ADE尸是矩形；若AB=AC,則AZ>=AF=DE=EC,所以四邊形AOEF

是菱形；若四邊形4OE尸是正方形，則NA=90。，AABC不是等邊三角形.

解：A.由三角形中位線定理可知：DE//AF,DE=AF，

四邊形4?！晔瞧叫兴倪呅?，選項(xiàng)正確，不符合題意；

B.：四邊形ADEF是平行四邊形，二當(dāng)NA=90。，四邊形ADEF是矩形，選項(xiàng)正確，

不符合題意；

C.V四邊形ADEF是平行四邊形，

:.AD=EF,DE=AF,

?.?AB=AC,點(diǎn)。、F分別是AB、AC的中點(diǎn)

DE=EF,

；?AD=DE=EF=AF，

...若AB=AC,則四邊形AOE尸是菱形，選項(xiàng)正確，不符合題意；

D「..若四邊形ACEF是正方形，則24=90。，

.?.若四邊形4OEF是正方形，則是等邊三角形，選項(xiàng)錯誤，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查三角形中位線定理，平行四邊形的判定，菱形的判定，矩形的判定，

正方形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟記定理及性質(zhì).

14.A

【分析】

①證明OE=OC,OF=OC,即可證明結(jié)論①正確；

②先由角平分線性質(zhì)證NECF=90。，若CE=CF,則NOFC=45。，ZACD=90°,與已

知矛盾，故結(jié)論②錯誤;

③由直角三角形斜邊中線性質(zhì)知，OC='F,故結(jié)論③錯誤；

④由矩形判定方法可以證明該結(jié)論正確.

解：???MN//BC

ZOEC=ZECB,ZOFC=ZFCD

.「EC平分角ZAC?,R;平分角Z4CO

ZOCE=NECB,Z.OCF=Z.FCD

AECF=ZOCE+ZOCF=90°

ZOCE=ZOEC,ZOCF=ZOFC

,\OC=OE=OF

故結(jié)論①正確；

若CE=CF,則NO"?=45。，ZACD=2x45°=90°,與aABC是銳角三角形矛盾，故

結(jié)論②錯誤；

由上面分析知，是直角三角形，OC是斜邊中線，故OC=(EF>(EC=6,故

22

結(jié)論③錯誤；

由OE=OF,Q4=OC,ZECF=90°,知四邊形AECF是矩形，故結(jié)論④正確.

綜上，正確答案為：A

【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、直角三角形中線性質(zhì)、矩形的判定

等知識點(diǎn)，熟練掌握基本知識是解題的關(guān)鍵.

15.B

【分析】

根據(jù)圖形結(jié)合平行四邊形、矩形、菱形的判定逐個(gè)階段進(jìn)行判斷即可.

解：點(diǎn)E從。點(diǎn)向A點(diǎn)移動過程中,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,AO=CO,

：.ZEAO=ZFCO,ZAEO=ZCFO,

.?.△AOE畛△COF,

；.AE=CF,

；?四邊形AECF是平行四邊形；

,?ZAOD^1800-ZDAC-ZADB=115°,

.,.當(dāng)NE0￡>=15°時(shí)，ZAOE=90°,

此時(shí)平行四邊形4ECF是菱形；

當(dāng)Z￡O￡H45°,N4EO=/EOD+NAOO=450+15°=60°,

：.ZOAE=ZOEA,

：.OA=OE,

：.AC=EF,

此時(shí)平行四邊形AEC尸是矩形；

...NE0QV15。時(shí)，四邊形AFCE為平行四邊形，

當(dāng)NE0Q=15。時(shí)，ACVEF,四邊形AFCE為菱形，

當(dāng)15。</^?！?gt;<45。時(shí)，四邊形AFCE為平行四邊形，

當(dāng)NEO￡>=45。時(shí)，四邊形4FCE為矩形，

當(dāng)45。</￡：。。<105。時(shí)，四邊形AFCE為平行四邊形，

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形、矩形、菱形的判定方法，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握

并應(yīng)用它們的判定定理.

16.A

【分析】

當(dāng)G8=GC時(shí)，點(diǎn)G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論，依據(jù)ND4G=60。，即可

得到旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

解：如圖，當(dāng)GB=GC時(shí)，點(diǎn)G在BC的垂直平分線上，

分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)G在AO右側(cè)時(shí)，取BC的中點(diǎn)，，連接GH交4。于M,

J.GHLBC,

四邊形是矩形,

：.AM=BH=-AD,

2

，GA/垂直平分AD,

J.GD^GA^DA,

...△AOG是等邊三角形，

ZDAG=60°,

旋轉(zhuǎn)角a=60。；

②當(dāng)點(diǎn)G在AO左側(cè)時(shí)，同理可得^AOG是等邊三角形,

N0AG=6O°,

，旋轉(zhuǎn)角a=360o-60°=300°,

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意:

對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

17.A

【分析】

由矩形的性質(zhì)與線段的等量關(guān)系證明四ACGF（&45）,ABEF%DGH（SAS）,則

EH=GF,EF=HG,如圖，作E關(guān)于8c的對稱點(diǎn)連接E，G交8c于尸，此時(shí)EF+FG

最小，即四邊形EFGH周長最小，作GGUAB于G',則四邊形5CGG'是矩形，BG'=CG,

GG'=BC=AD,則￡G'=A8=10,GG'=AD=5,在心AGE'G'中，由勾股定理得

￡G=J（E，G'『+（GG，）2求出￡G的值，進(jìn)而可求最小的周長.

解：：四邊形MCO是矩形，

:.AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZADC=ZBCD=ZABC=90°,

VAE=CG,BF=DH,

:.BE=DG,CF=AH,

在△/1￡”和4。6尸中

AH=CF

,：iZEAH=ZGCF=90°,

AE=CG

A^AEH^CGF[SAS'),

EH=GF,

同理ABEFRDGH(SAS),

:.EF=HG,

如圖，作E關(guān)于3c的對稱點(diǎn)E',連接E'G交3c于尸，此時(shí)EF+AG最小，即四

邊形EFGH周長最小，作GG'，AB于G,

，四邊形5CGG'是矩形，

；.BG'=CG,GG'=BC=AD,

'：AE=CG,BE=BE,

￡G'=/W=10,GG'=AD=5,

在RsGE'G中，由勾股定理得E，G=yl(E'G')2+(GG')2=5百，

二四邊形EFGH的周長=EF+FG+GH+EH=2E'G=1075,

故選A.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，軸對稱等知識.解

題的關(guān)鍵在于找出四邊形EFGH周長最小時(shí)點(diǎn)E、F、G的位置關(guān)系.

18.B

【分析】

先證明四邊形A8EC為矩形，再求出AC,即可求出四邊形A8EC的面積.

解：：四邊形ABGD是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CD=2,8c=40=3,ZD=ZABC,

BE//AC,

四邊形ABEC為平行四邊形，

?/ZAFC=2ZD,

ZAFC=2ZABC,

'：NAFC=/ABF+NBAF,

：.NABF=NBAF,

：.AF=BF,

：.2AF=2BF,

即BC=AE,

,平行四邊形ABEC是矩形，

，N8AC=90°,

'AC=^BC'-AB1=V32-22=小，

二矩形ABEC的面積為4B.4C=2石.

故選：B

【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟知相

關(guān)定理，證明四邊形ABEC為矩形是解題關(guān)鍵.

19.135°##135度

【分析】

首先得出△CQE為等腰直角三角形，即可推出△OCO為等邊三角形，得CO=CE,進(jìn)而

求出NCOE,即可得出答案.

解：?.?力￡?平分/4。＜7,

,ZADE=ZCDE,

\'AD//CB,

：.NADE=NCED,

；.NCDE=NCED=45。,CD=CE,

?；NBDE=15。,

：.ZODC=60°,

在矩形48CD中，OD=OC,

...△ooc為等邊三角形，

/.OC=CD=CE,ZOCD=ZCOD=(>0°,

，NOCE=30。，

：.ZCOE=^(180°-ZOCE)=75°,

NDOE=135。，

故答案為：135。.

【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形對角線互相平分且相等的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

20.延

2

【分析】

過點(diǎn)F作AQ的垂線，交A。于例，交BC于N,求出AM長，再根據(jù)勾股定理列出方

程求解即可.

解：過點(diǎn)尸作AO的垂線，交AO于"，交BC于N,

由翻折可知，A8=AF=3,BE=EF,

".?△AD廠的面積為

2

：.-AD-FM=-,

22

FO=5,

：.FM=\,

AM=yjAF--FM1=2>/2，

；NABN=NBAN=NAMN=90°,

四邊形AMNB是矩形，

:.AM=BN=2叵,NBNM=90。,AB=MN=3,

:.FN=MN?FM=2,

：.BE2=(2>/2-BE)2+22,

解得，8E=還，

2

故答案為：逑.

2

M

【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)面積求出線段長,

利用勾股定理列方程.

21.3石

【分析】

利用三角形中線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出SgEM=SMMD,S?BNC=S.NC,

S四邊形=S四邊形ZWW，即可得出答案?

解：,??點(diǎn)E、尸分別是A3、CD的中點(diǎn)，連接。E和跳分別取DE、成的中點(diǎn)M、

N、

AFNC，S四邊形E8MW=S四邊形0MVF，

???圖中陰影部分的面積=1x48x8C=:x3x2石=3石.

22

故答案為：3石?

【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及三角形中線的性質(zhì)，得出圖中陰影部分的面積

等于矩形ABC。面積的一半是解題關(guān)鍵.

22.-3

【分析】

先由B4_Lx軸，8CJ_y軸得到四邊形048C是矩形，然后由矩形的性質(zhì)可得直線/過矩

形OABC的中心點(diǎn)，再由點(diǎn)8和點(diǎn)。的坐標(biāo)求得中心點(diǎn)的坐標(biāo)，最后將中心點(diǎn)的坐標(biāo)代入

直線/的解析式求得，〃的值.

解：軸，8CJ_y軸，

二四邊形OABC是矩形,

?.?直線/將四邊形0ABe分為面積相等的兩部分,

直線/過矩形0A8C的中心點(diǎn)，

；點(diǎn)B（3,3）,點(diǎn)0（0,0）,

33

...矩形O48C的中心點(diǎn)為（彳，-）,（中點(diǎn)坐標(biāo)公式）

22

3333

將中心點(diǎn)（一，一）代入y=mx-2用得，—m-2m=-

2222

；."?=-3,

故答案為；-3.

【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過直

線/平分四邊形8c的面積得到直線/經(jīng)過矩形OA8C的中心點(diǎn).

23.

【分析】

根據(jù)矩形對角線相等且互相平分得：EC=ED,再根據(jù)AC=AE）,點(diǎn)一定在NCAB的平分

線上運(yùn)動，根據(jù)垂線段最短得：當(dāng)時(shí)，E8的長最小，根據(jù)N8AE=60。得出結(jié)論.

解：連接AE,

：四邊形CQG”是矩形，

：.CG=DH,EC=gcG,ED=^DH,

：.EC=ED,

'：AC=AD,

垂直平分CQ,

NOAE=NC4￡=gNCA￡>=gxl20°=60°,

點(diǎn)E在/CA8的平分線上運(yùn)動，

.,.當(dāng)NAEB=90。時(shí)，E8的長最小，

,?NB=90°-NBAE=30°,

:.EB=BAB=Bxl0=5百，即EB的最小值為56cm,

22

故答案為5G.

H

【點(diǎn)撥】本題考查J'矩形、線段垂直平分線、含30。角的直角三角形、垂線段.熟練掌

握矩形對角線相等且平分的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)、含30。角的直角三角形邊

的性質(zhì)、垂線段最短，是解決問題的關(guān)鍵.

24.4-2應(yīng)

【分析】

如圖，作于M交3c于N,作于K.證明AK尸G(AAS),推

出AH=FK=1,由四邊形DMFK是矩形，推HlDM=既=1,推出=AD-4/-=1，

在自ARW"中，F(xiàn)M=何2-萩=推出當(dāng)班的值最小時(shí),的值最大，F(xiàn)N

的值最大，求出「河的最小值即可解決問題.

解：如圖，作fM_LA￡＞于M交BC于N,作戶K_L8于K.

?.?四邊形ABCD,四邊形EFGH都是矩形，

:.ZA=ND=NEHG=NHGF=90。,HE=FG,

:.ZAHE+^DHG=90°,ZDHG+ZDG”=90°,ZDGH+FGK=90°.

4FGK+NGFK=90。,

ZAHE=ZDGH=NGFK,

?.?ZA="KG=90°,

:.^AHE^^KFG（AAS）,

:.AH=FK=\,

???四邊形皿"K是矩形,

:.DM=FK=\,

:.HM=AD-AH—DM=1，

在Rt^FMH中，F(xiàn)M==y/FH2-\，

二當(dāng)尸”的值最小時(shí)，尸河的值最小，F(xiàn)N的值最大，

???四邊形EFG”是矩形，

FH=EG,

?.?當(dāng)EG_L他時(shí)，EG的值最小，

.?.尸”的最小值=">的長=3,

FM的最小值=五=i=2叵，

,：MN=AB=4,

.,?印的最大值=的一汽〃=4-2&，

故答案是：4-2五.

【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)

鍵是學(xué)會添加常用條輔助線，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

25.3g

【分析】

依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，即可得到AB的長，再根據(jù)含30。角的直角三角形

的性質(zhì)，即可得到8c的長，最后依據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得出AC的長.

解：：點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，8=3,ZACB=90°,

：.AB=2CD=6,

；在入48c中，N4C8=90°,N4=30°,

：.AB^2BC,

即8。="8=3,

K/ZiABC中,AC=yjAB2-BC2=>/62-32=30，

故答案為：3月.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理以及直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，在直角三角形中，

斜邊上的中線等于斜邊的一半.

?4亞

26.------

3

【分析】

根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得8C=6,勾股定理求得AB,然

后根據(jù)等面積法求得三角形的高即可求解.

解：是RtZMBC邊BC上的中線

:.BC=2AD=6

RCC中，AB=yjBC2-AC2=X/62-22=4-72

■.--BCxAE=-ABxAC

22

"ABxAC4&x240

BC63

故答案為：逑

3

【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定