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２023年中山大學(xué)研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)分析試題解答.科目代碼:670摘要:本文給出了中山大學(xué)20２３年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)分析試題的一個(gè)參考答案.關(guān)鍵詞:中山大學(xué)；研究生數(shù)學(xué)分析白建超2023年5月30日1.(每小題1５分，共6０分)計(jì)算下列各題:（1)（2).(3）.(4),其中為立體的邊界曲面.解（１)（2)一方面做一下說明：對(duì)積分做變換，則，所以．故（3)一方面級(jí)數(shù)在時(shí)收斂,由于由比值判別法的極限形式有，即，所以對(duì)，當(dāng)時(shí)收斂,極限不存在,即發(fā)散;當(dāng)時(shí)收斂,極限存在,記當(dāng)則,兩式相減解得.又,所以(4)記上頂面為,錐面：.當(dāng)時(shí)，；當(dāng),.則．2.(15分)考察函數(shù)在點(diǎn)的可微性．解本人感覺此題有問題，應(yīng)當(dāng)是若不是，顯然和都不存在,也不存在,故不可微．下面給出我的個(gè)人見解：而與的取值有關(guān)，故此極限不存在,所以在點(diǎn)的不可微.3.(15分)求空間一點(diǎn)到平面的最短距離.解設(shè)為平面上的任意一點(diǎn)，則目的函數(shù)為.可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在約束條件的最小值問題.此題有兩種解法(方法1)運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值,設(shè),對(duì)分別求偏導(dǎo)數(shù),并令其為零,即代入得從而,所以點(diǎn)到平面的最短距離為.(方法2)可以將約束條件代入函數(shù)中消去,轉(zhuǎn)化為求二元函數(shù)的極小值問題，由于計(jì)算比較復(fù)雜,不再贅述,有愛好的讀者可以做一下.4.(2０分)設(shè)，求由拋物線與雙曲線所圍成的平面區(qū)域的面積.解如圖所示,解得交點(diǎn)坐標(biāo)分別為故所求的區(qū)域面積為附圖：５．（20分)設(shè)，試問為什么值時(shí)，方程存在正實(shí)根．解令，則有由于在上嚴(yán)格單調(diào)遞減，且有當(dāng)時(shí)，，此時(shí)解得顯然成立，故當(dāng)時(shí),在上嚴(yán)格單調(diào)遞減.而,所以方程在時(shí)不存在正實(shí)根．當(dāng)時(shí)，令解得，即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又，,由介值性定理知,方程在內(nèi)有唯一的正實(shí)根.

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