理論力學質點動力學

理論力學質點動力學第一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日6.1剛體平

面運動方程及運動分解6.2平面圖形上各點的速度分析6.3平面圖形上各點的加速度分析6.5結論與討論6.4運動學綜合應用舉例6.6參考性例題第6章剛體的平面運動分析第二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日第1篇工程靜力學基礎：受力分析，力系的等效簡化，力系的平衡條件及其應用；第2篇工程運動學基礎：運動的幾何性質（位置隨時間的變化規(guī)律，物體運動的軌跡、速度和加速度等），而不涉及引起運動的物理原因。第3篇工程動力學基礎：物體上作用的力系和物體機械運動之間的一般關系。第三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日第3篇工程動力學基礎第7章質點動力學第8章動量定理及其應用第9章動量矩定理及其應用第10章動能定理及其應用第11章達朗貝爾原理及其應用第12章虛位移原理及其應用第13章動力學普遍方程和第二類拉格朗日方程本課程有部分內容與《大學物理》重復，如點的運動、剛體簡單運動、質點運動微分方程、質點的動量、動量矩和動能定理等，對這些內容，本課程只作適當?shù)膹土暬蜃寣W生自學。第四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日艦載飛機在發(fā)動機和彈射器推力作用下從甲板上起飛工程實際中的動力學問題第3篇工程動力學基礎第五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

若已知初速度、一定的時間間隔后飛離甲板時的速度，則需要彈射器施加多大推力，或者確定需要多長的跑道。

若已知推力和跑道可能長度，則需要多大的初速度和一定的時間隔后才能達到飛離甲板時的速度。第六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日爆破時煙囪怎樣倒塌第七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

棒球在被球棒擊打后，其速度的大小和方向發(fā)生了變化。如果已知這種變化即可確定球與棒的相互作用力。Fv1v2第八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日載人飛船的交會與對接Av1Bv2第九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日高速列車的振動問題第十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日第3篇工程動力學基礎

工程動力學主要研究兩類問題，一類是：已知物體的運動，確定作用在物體上的力；另一類是：已知作用在物體上的力，確定物體的運動。實際工程問題中多以這兩類問題的交叉形式出現(xiàn)?？傊?，工程動力學研究作用在物體上的力系與物體運動的關系。

第十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

研究作用在物體上的力系與物體運動的關系，主要是建立運動物體的力學模型，亦即建立描述受力物體運動狀態(tài)變化的數(shù)學方程，稱為動力學問題的基本方程和普遍定理。

工程動力學的研究對象是質點和質點系（包括剛體），因此動力學一般分為質點動力學和質點系動力學，前者是后者的基礎。

第十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日第7章質點動力學

質點動力學(dynamicsofaparticle)研究作用在質點上的力和質點運動之間的關系。本章主要介紹質點在慣性與非慣性系下的運動微分方程和簡單的振動問題。

第十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日7.2

非慣性系中質點的運動微分方程7.3

機械振動基礎7.4

結論與討論7.1

質點運動微分方程7.5

參考性例題第7章質點動力學第十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

牛頓第二定律

——質點的動量對時間的一階導數(shù)等于作用在質點上力系的合力。當質點的質量為常量時

質點的質量與質點加速度的乘積等于作用在質點上力系的合力。

物理學的已有基礎7.1質點運動微分方程第十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

設有質點M，其質量為m，作用其上的力有F1，F(xiàn)2，…,Fn，合力為FR

，根據(jù)牛頓第二定律，質點在慣性系中的運動微分方程有以下幾種形式：第十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

矢量形式

直角坐標形式自然坐標形式第十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日自然坐標形式at和an分別為質點的切向加速度和質點的法向加速度;為運動軌跡的曲率半徑；Fit、

Fin、

Fib分別為作用在質點上的力Fi在自然坐標軸方向上的分量。第十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

應用矢量形式的微分方程進行理論分析非常方便，但求解一些具體問題有時很困難，而且所得到的解答的物理意義也不很明顯。因此，多數(shù)問題的求解仍需要根據(jù)具體問題，選擇其它合適坐標系。

直角坐標形式的運動微分方程，原則上適用于所有問題，但對某些問題，仍有不方便之處。例如，如果質點沿球面或柱面運動，用直角坐標就不如用球坐標或柱坐標方便。

除了以上幾種常用的質點運動微分方程外，根據(jù)質點的運動特點，還可以選用柱坐標、球坐標等形式的運動微分方程。正確分析運動特點，選擇一組合適的微分方程，會使求解問題的過程大為簡化。第十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

應用舉例求解質點動力學問題的過程與步驟如下1.確定研究對象，選擇適當?shù)淖鴺讼担?.進行受力分析，畫出相應的受力圖；3.進行運動分析，計算出求解問題所需的運動量；4.列出質點動力學的運動微分方程，分清是第一類問題還是第二類問題，分別用微分或積分法求解；5.根據(jù)需要對結果進行必要的分析討論。第二十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日單擺由一無重量細長桿和固結在細長桿一端的重球組成。桿長為OA=l，球質量為m。試求：

1.

單擺的運動微分方程；

2.

在小擺動的假設下分析擺的運動；

3在運動已知的情形下求桿對球的約束力。mmmm例題

1第二十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

解：1.

單擺的運動微分方程－這是已知力求運動，屬于第二類動力學問題。

質點的運動軌跡為圓弧，故采用自然坐標形式的運動微分方程比較合適。第二十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日解：1.

單擺的運動微分方程：

其中第一式描述了系統(tǒng)的運動，也就是所要求的單擺運動微分方程；第二式給出了桿對球約束力的表達式。第二十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日在小擺動的條件下，擺作微幅擺動：于是，上式中的第1式變?yōu)?/p>

解：2.

分析小擺動條件下，擺的運動第二十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日令其通解為

其中常數(shù)A和由初始條件決定。解：2.

分析小擺動條件下，擺的運動上式可以化為二階線性齊次微分方程的標準形式第二十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

解：3.

在運動已知的情形下求桿對球的約束力：

現(xiàn)在是已知運動，要求力，屬于第一類動力學問題。根據(jù)已經得到的單擺運動微分方程第二十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日解：4.

討論：

本例如果采用直角坐標形式建立運動微分方程，建立如圖所示的直角坐標系，xy其中x、y、θ三個變量相互不獨立，所以需要建立x、y、θ三個變量之間的關系，因而會給求解方程帶來困難。也就是說上述方程雖然是正確的，但解題過程不方便。第二十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日7.2非慣性系中質點的運動微分方程

牛頓第二定律僅適用于慣性參考系(inertialreferencesystem)，但由于地球的自轉，嚴格意義上的慣性系并不存在。在許多工程問題中，如宇航員在航天器中的運動；水流沿水輪機葉片的運動等，宇航員和水流都是在非慣性系中運動。本節(jié)將討論質點在非慣性參考系(non-inertialreferencesystem)下的運動微分方程。第二十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

實際問題之一－轉動圓盤上皮帶的變形第二十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日第三十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日第三十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

實際問題之二－傅科擺第三十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

北半球由南向北流動的河流對河岸將產生什么作用

實際問題之三－河流對河岸的沖刷作用？第三十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

北半球由南向北流動的河流對河岸將產生什么作用？第三十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日7.2非慣性系中質點的運動微分方程

應用舉例

質點相對運動動力學基本方程

相對靜止與相對平衡第三十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日srsaPr′xzyOx′z′y′O′慣性參考系－Oxyz非慣性參考系－O′x′y′z′

絕對運動軌跡sa－質點P在慣性參考系中的運動軌跡

相對運動軌跡

sr－質點P在非慣性參考系中的運動軌跡

研究質點在非慣性參考系中的運動需要先研究質點在慣性參考系中的運動。相對位矢r′

質點相對運動動力學基本方程第三十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

研究質點在非慣性參考系中的運動需要先研究質點在慣性參考系中的運動。r′－相對位矢FF

－作用在質點上的力對質點P應用牛頓第二定律aa－質點的絕對加速度。srsaPr′xzyOx′z′y′O′第三十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日對質點P應用牛頓第二定律根據(jù)加速度合成定理aa－質點的絕對加速度ae－質點的牽連加速度ar－質點的相對加速度aC－質點的科氏加速度第三十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日－稱為牽連慣性力(connectedinertialforce)－稱為科氏慣性力(Coriolisinertialforce)－分別為非慣性系的角速度與質點的相對速度。第三十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

此即非慣性系中質點的運動微分方程，它表明：

質點的質量與質點的相對加速度的乘積等于作用在質點上的外力的合力與牽連慣性力以及科氏慣性力的矢量和。第四十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

當非慣性參考系僅作平移時第四十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日當動系相對定系作勻速直線平動時，

這一方程與慣性系下的牛頓第二定律表達式具有完全相同的形式。這表明所有相對于慣性參考系作勻速直線運動的參考系都是慣性系。第四十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日慣性參考系－地球非慣性參考系－飛機動點－血流質點

牽連慣性力向下，從心臟流向頭部的血流受阻，造成大腦缺血，形成黑暈現(xiàn)象。

若干自然現(xiàn)象的解釋

飛機急速爬高時飛行員的黑暈現(xiàn)象爬升時：a>5g第四十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日俯沖時：a>2g

飛機急速俯沖時飛行員的紅視現(xiàn)象慣性參考系－地球非慣性參考系－飛機動點－血流質點

牽連慣性力向上，使血流自下而上加速流動，造成大腦充血，形成紅視現(xiàn)象。第四十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日慢速轉動的大盤使快速運動的皮帶變形慣性參考系－地球非慣性參考系－大盤

動點－皮帶上的小段質量m

牽連慣性力－大盤轉速很慢，牽連加速度很小，m的牽連慣性力可以忽略不計。第四十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日慢速轉動的大盤使快速運動的皮帶變形

牽連慣性力——大盤轉速很慢，牽連加速度很小，m的牽連慣性力可以忽略不計。

科氏力——m的科氏加速度aC＝2vr,科氏力FIC＝－2m

vr

，使皮帶變形。第四十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日慢速轉動的大盤使快速運動的皮帶變形第四十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

由于地球的自轉引起的水流科氏慣性力。第四十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

水流科氏慣性力對右岸的沖刷第四十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

相對靜止與相對平衡當質點相對動參考系靜止時，有

這種情形稱為質點相對靜止。上述方程給出了質點相對靜止的條件,稱為質點相對靜止平衡方程。第五十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日當質點相對動系作勻速直線運動時，有

這種情形稱為質點相對平衡。上述方程給出了質點相對平衡條件,稱為質點相對平衡方程。第五十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

比較上述兩種情形，可以看出，在非慣性系中，質點相對靜止和相對平衡的條件是不同的,因此，處理具體問題時要正確區(qū)分這兩種不同的情形。相對靜止相對平衡第五十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日7.2

非慣性系中質點的運動微分方程

應用舉例

分析和處理質點相對非慣性系的運動問題，一般應按下列步驟進行：

與求解慣性系中質點的運動微分方程是一樣的流程，只是在寫出運動微分方程后將相對運動的加速度和力導出來顯示即可。建立坐標系，選定適當?shù)膭訁⒖枷担皇芰Ψ治觯嬍芰D；

計算力。計算各種真實力和慣性力；

列出質點相對運動動力學基本方程；求解基本方程并對結果加以分析和驗證。進行運動分析，正確區(qū)分并確定不同的加速度；第五十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

例題2

車廂沿水平軌道向右作勻加速運動，加速度為a，車廂內懸掛一單擺，擺長為l,擺球的質量為m。試分析擺的運動。m第五十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日m解：1.建立固接在車廂上單擺懸掛點O處的動坐標系Ox′y′。牽連慣性力為2．擺球的相對運動為繞O點的圓周運動：采用弧坐標，在運動軌跡的切線軸上建立相對運動微分方程x′y′O

因為動系以勻加速度作平移，所以擺球上只有牽連慣性力，而沒有科氏慣性力。

第五十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日x′y′Omamg

2．擺球的相對運動為繞O點的圓周運動：采用弧坐標，在運動軌跡的切線軸上建立相對運動微分方程或者利用s=lθ

這一方程為非線性微分方程。

3．利用微幅擺動時θ很小的條件

第五十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日3．利用微幅擺動時θ很小的條件此為強迫振動方程，與例題1相比，擺振動的周期和頻率都沒有變化，只是通解由

這表明當車以勻加速運動時，擺球并不是在最底點附近作微擺動，而是在0附近擺動。也就是說微分方程的非齊次項，只改變了擺球的振動中心位置，而對系統(tǒng)本身的振動規(guī)律沒有影響。x′y′Omamg第五十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日7.2

非慣性系中質點的運動微分方程7.3機械振動基礎7.4

結論與討論7.1

質點運動微分方程7.5

參考性例題第7章質點動力學第五十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日7.3機械振動基礎

物體在某一位置附近作往復運動，這種運動稱為機械振動，簡稱振動。常見的振動有鐘擺的運動、汽缸中活塞的運動等。振動在許多情形下是有害的，但若能掌握其規(guī)律，消其弊揚其利，則能使其更好的為人類服務。

本節(jié)以物理學中牛頓動力學理論為基礎，研究單自由度系統(tǒng)的機械振動，重點是如何將單自由度系統(tǒng)簡化為等效的質量—彈簧系統(tǒng)（即彈簧振子），其要點是如何確定質量—彈簧系統(tǒng)中的等效質量和彈簧的等效剛度，為今后繼續(xù)研究機械振動奠定基礎。第五十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日單自由度系統(tǒng)的振動

單自由度系統(tǒng)振動模型的建立等效質量與等效剛度7.3機械振動基礎第六十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日單自由度系統(tǒng)的振動

質量塊受初始擾動，僅在恢復力作用下產生的振動稱為自由振動(freevibration)。

考察圖中所示之彈簧振子，設質量塊的質量為m，彈簧的剛度為k，由牛頓定律令彈簧振子的無阻尼自由振動m第六十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日此式稱為無阻尼自由振動微分方程的標準形式。其解為自由振動的固有圓頻率A為自由振動的振幅；為初相位。A與均由初始條件確定。自由振動的周期m第六十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

振動中的阻力,習慣上稱為阻尼。這里僅考慮粘性阻尼(viscousdamping)，粘性阻尼的阻力的大小與運動速度成正比，阻力的方向與速度矢量的方向相反，即其中比例常數(shù)c稱為粘性阻尼系數(shù)(coefficientofvicousdamping)。彈簧振子的有阻尼自由振動第六十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

圖中所示為彈簧振子的有阻尼自由振動的力學模型，根據(jù)牛頓定律這一方程稱為有阻尼自由振動微分方程的標準形式，其特征方程為對于不同的n值，特征方程的解有三種不同形式，相應的微分方程的解也有三種形式：第六十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

弱阻尼狀態(tài)（或欠阻尼狀態(tài)）有阻尼自由振動微分方程的解為特征方程的解為一對共軛復根有阻尼自由振動微分方程的解為A和為積分常數(shù)，由初始條件確定。此時振子的運動是一種振幅按指數(shù)規(guī)律衰減的振動。第六十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日相鄰的兩個振幅之比稱為減縮系數(shù)，

振幅的包絡線的表達式為為阻尼振動的周期。為應用方便，常引入對數(shù)減縮率，第六十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日對于不同的n值，特征方程的解有三種不同形式，相應的微分方程的解也有三種形式：

強阻尼狀態(tài)特征方程的解為彈簧振子的有阻尼自由振動第六十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日有阻尼自由振動微分方程的解為C1和C2為積分常數(shù)，由初始條件決定。

強阻尼狀態(tài)下，振子已不能振動，系統(tǒng)將緩慢回到平衡狀態(tài)。

臨界阻尼狀態(tài)特征方程的解為有阻尼自由振動微分方程的解為

臨界阻尼狀態(tài)下，振子也不能振動，系統(tǒng)將較快回到平衡狀態(tài)。第六十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

受迫振動是系統(tǒng)在外界激勵下所產生的振動。

圖中所示為受迫振動的力學模型。系統(tǒng)在激振力F作用下發(fā)生振動。

外激振力一般為時間的函數(shù)，最簡單的形式是簡諧激振力：彈簧振子的受迫振動第六十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

外激振力一般為時間的函數(shù)，最簡單的形式是簡諧激振力：對質點應用牛頓第二定律，有這一方程稱為有阻尼受迫振動微分方程的標準形式，若其中第二項（即阻尼項）為零，則為無阻尼受迫振動。第七十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

有阻尼受迫振動的解由兩部分組成，第一部分是衰減振動，第二部分是受迫振動。通常將第一部分稱為過渡過程或瞬態(tài)過程，第二部分稱為穩(wěn)態(tài)過程，穩(wěn)態(tài)過程是研究的重點。A和為積分常數(shù)，由初始條件確定。B

和ψ由設定形式為的特解求出。方程的通解為第七十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

這表明，在穩(wěn)定狀態(tài)下，受迫振動的一個重要特征是：振幅的取值與強迫力的頻率有關。將式B的表達式對ω求一次導數(shù)并令其等于零，可以發(fā)現(xiàn)，此時振幅B有極大值，即在共振固有圓頻率彈簧振子的受迫振動第七十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

共振－固有頻率與外激振力頻率相等，受迫振動的振幅達到極大值的現(xiàn)象稱為共振。

共振時，最大振幅B（即共振振幅）為

共振是受迫振動中常見的現(xiàn)象，共振時，振幅隨時間的增加不斷增大，有時會引起系統(tǒng)的破壞，應設法避免；利用共振也可制造各種設備，如超聲波發(fā)生器、核磁共振儀等，造福于人類。實際問題中，由于阻尼的存在，振幅不會無限增大。第七十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

單自由度系統(tǒng)振動模型的建立等效質量與等效剛度自由度的概念、單自由度系統(tǒng)實例

確定一個自由質點在空間的位置需要三個獨立坐標，所以空間自由質點有三個自由度。所謂自由度是指確定質點系位置的獨立坐標數(shù)。這里所說的獨立坐標是廣義的，即可以是直角坐標，也可以是轉角等其他可以定位的參數(shù)。

僅用一個坐標便可定位的系統(tǒng)，稱為單自由度系統(tǒng)，這種系統(tǒng)受到初始擾動將產生振動。第七十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日第七十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日單自由度系統(tǒng)簡化為彈簧質量系統(tǒng)等效質量和等效剛度

物理學中的彈簧振子就是一個單自由度系統(tǒng)，工程中有許多振動問題可以簡化為一個彈簧－質量系統(tǒng)，而且常常是在重力影響下沿鉛垂方向振動。

其實重力和其它常力一樣，加在振動系統(tǒng)上，只改變其平衡位置，只要將坐標原點取在變形以后的平衡位置，其它特性則與水平放置時完全一樣，即可按彈簧振子的方法處理。處理這類問題的關鍵是怎樣將工程振動問題簡化為彈簧－質量系統(tǒng)模型。第七十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

在不考慮阻尼的情形下，單自由度線性系統(tǒng)的振動微分方程總可以表示為其中，meq和keq分別稱為等效質量與等效剛度系數(shù)。第七十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日并聯(lián)和串聯(lián)彈簧的等效質量與等效剛度系數(shù)

并聯(lián)彈簧和串聯(lián)彈簧都可以簡化為彈簧－質量系統(tǒng)第七十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日并聯(lián)彈簧的等效質量與等效剛度系數(shù)

設物塊在重力作用下作平移，其靜變形為st，兩個彈簧分別受力F1和F2，因為兩彈簧變形量相同，所以有平衡時應有第七十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日令keq為并聯(lián)彈簧的等效剛性系數(shù)系統(tǒng)的自由振動微分方程為系統(tǒng)的固有頻率為第八十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日系統(tǒng)的自由振動微分方程為

系統(tǒng)的固有頻率為

這一結果表明，兩個彈簧并聯(lián)的系統(tǒng)，相當于一個等效彈簧系統(tǒng)，等效彈簧的等效剛度等于原兩個彈簧的剛度和。這一結論可推廣到多個彈簧并聯(lián)的情形。第八十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

每個彈簧的受力均為mg，故兩個彈簧的靜伸長量分別為

對于等效彈簧系統(tǒng)，串聯(lián)彈簧的等效質量與等效剛度系數(shù)第八十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日keq為串聯(lián)彈簧的等效剛性系數(shù)第八十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

這一結果表明，兩個彈簧串聯(lián)的系統(tǒng)，相當于一個等效彈簧系統(tǒng)。同樣，這一結論也可推廣到多個彈簧串聯(lián)的情形。

系統(tǒng)的自由振動微分方程為

系統(tǒng)的固有頻率為第八十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

擺振系統(tǒng)，桿自重不計，球質量為m。彈簧剛度為k，桿在水平位置時平衡，彈簧位置如圖中所示。d、l

為已知。

因水平位置為靜平衡位置，彈簧已有靜伸長st，由平衡方程擺振系統(tǒng)的等效質量與等效剛度系數(shù)第八十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

以平衡位置為初始位置，擺角為獨立變量，建立擺繞點O作微幅擺動的運動微分方程第八十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日擺振系統(tǒng)的等效質量與等效剛度系數(shù)分別為擺振系統(tǒng)的固有頻率為第八十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日剛體系統(tǒng)的等效質量與等效剛度系數(shù)

圖示之物塊和半徑為r的滑輪組成的簡單剛體系統(tǒng)，滑輪對軸的轉動慣量為J，彈簧剛度為k，物塊質量為m。

現(xiàn)在，應用物理學中關于簡單剛體系統(tǒng)的動能定理，建立與剛體系統(tǒng)等效的單自由度相當系統(tǒng)的等效質量(equivalentmass)與等效剛度系數(shù)。第八十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

現(xiàn)在，應用物理學中關于剛體系統(tǒng)的動能定理，建立與剛體系統(tǒng)等效的單自由度相當系統(tǒng)的等效質量(equivalentmass)與等效剛度系數(shù)。

以系統(tǒng)平衡時重物的位置為原點，取x軸如圖所示。系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，重物在任意坐標x處，系統(tǒng)動能第八十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

以系統(tǒng)平衡時重物的位置為原點，取x軸如圖所示。系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，重物在任意坐標x處，系統(tǒng)動能系統(tǒng)勢能第九十頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日系統(tǒng)動能系統(tǒng)勢能不計摩擦，系統(tǒng)機械能守恒。于是有將方程等號兩側對x求導，得到第九十一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日此即與剛體系統(tǒng)等效的單自由度系統(tǒng)的運動微分方程。剛體系統(tǒng)的等效質量與等效剛度分別為上述運動微分方程也可以寫成標準形式第九十二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日系統(tǒng)的固有頻率

第九十三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

通過以上分析，可以看出，只要能寫出單自由度等效系統(tǒng)的運動微分方程，即可順利求出系統(tǒng)的等效質量和等效剛度系數(shù)。反之，如果已知系統(tǒng)的等效質量和等效剛度或系統(tǒng)的固有頻率，也可以得到系統(tǒng)的運動微分方程。第九十四頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日7.2

非慣性系中質點的運動微分方程7.3

機械振動基礎7.4結論與討論7.1

質點運動微分方程7.5

參考性例題第7章質點動力學第九十五頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日7.4結論與討論確定物體運動時初始條件的重要性

牽連慣性力與科氏慣性力

能量法在確定振動系統(tǒng)固有頻率中的應用第九十六頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日確定物體運動時初始條件的重要性

在解決動力學第二類問題時可用積分法求解，即求運動微分方程的解。求解問題時列出的運動微分方程一般為三個二階微分方程，以直角坐標形式的運動微分方程為例，方程為等式的右端為力函數(shù)，若力函數(shù)比較復雜，往往求不出方程的解析解，只能求近似解或數(shù)值解。目前我們僅討論可求出解析解的一些簡單問題。

第九十七頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日對上式積分后，得到帶積分常數(shù)的通解，一般表示為其中六個積分常數(shù)需要由質點運動的初始條件確定。正確的寫出質點運動的初始條件此時就顯得極為重要。第九十八頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

初始條件就是質點的初位置和初速度，初始條件一般寫為

可見一個質點若受相同的力作用，但是如果初始條件不同，質點的運動將會不同。例如重力場中的單擺，若在平衡位置附近由靜止無初速釋放，則擺作微幅振動；若初速度非常大，擺的偏角很大，擺可作圓周運動。

初學者在分析和處理這一類問題時，一定要重視運動的初始條件，結合具體問題認真總結運動初始條件對運動規(guī)律的影響。第九十九頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

牽連慣性力與科氏慣性力

當我們晃動栓在繩上的小球，我們會明顯地感到手上受到向外的拉力；當我們坐在轉彎的汽車上，我們會感受到一種試圖讓我們沖出車廂的力量；......；這樣的例子在生活中舉不勝舉。我們感受到的這些力就是慣性力。這些力均表示為牽連慣性力和科氏慣性力是慣性力家族中的成員，它們分別與牽連加速度、科氏加速度有關。第一百頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

計算慣性力時，可以先分析出牽連加速度和科氏加速度，然后乘以質量m再加上負號。如果在圖形上慣性力已與加速度方向相反，則不必再另加負號。關于慣性力的進一步分析將在以后的章節(jié)中繼續(xù)討論。第一百零一頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日結論與討論

能量法在確定振動系統(tǒng)固有頻率中的應用第一百零二頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日

能量法在確定振動系統(tǒng)固有頻率中的應用

本章的分析結果表明，只要求出振動系統(tǒng)的固有頻率，即可確定振動系統(tǒng)的運動微分方程以及相應的通解?，F(xiàn)在介紹能量法在計算固有頻率中的應用。

當單自由度系統(tǒng)作自由振動時，均可簡化為圖示彈簧－質量系統(tǒng)，它的運動規(guī)律為

因而任意時刻系統(tǒng)的動能(kineticenergy)為

以系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢能點，則系統(tǒng)的勢能(potentialenergy)為

第一百零三頁，共一百一十五頁，2022年，8月28日注意到靜平衡時當重物到達振動中心時，勢能為零，動能最大為

當重物到達偏離中