第四講下球坐標(biāo)中的分離變量法演示文稿

第四講下球坐標(biāo)中的分離變量法演示文稿2023/2/141第一頁，共三十頁。球坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系2023/2/142第二頁，共三十頁。分離變量歐勒型方程2023/2/143第三頁，共三十頁。球函數(shù)方程進一步分離變量：2023/2/144第四頁，共三十頁。2023/2/145第五頁，共三十頁。締合勒讓德方程2023/2/146第六頁，共三十頁。本征函數(shù)即為締合勒讓德函數(shù)：如果問題具有軸對稱，可選z軸為對稱軸，則問題與無關(guān)，本征函數(shù)簡化為勒讓德函數(shù)：l=0,1,2,…2023/2/147第七頁，共三十頁。二、球函數(shù)Clm可任取，一般取其滿足：2023/2/148第八頁，共三十頁。2023/2/149第九頁，共三十頁。2023/2/1410第十頁，共三十頁。締合勒讓德函數(shù)正交歸一關(guān)系2023/2/1411第十一頁，共三十頁。前幾個球函數(shù)：2023/2/1412第十二頁，共三十頁。z軸對稱:m=0球?qū)ΨQ:l=m=0三、拉普拉斯方程的通解2023/2/1413第十三頁，共三十頁。四、球坐標(biāo)系中亥姆霍茲方程的分離變量類似于拉普拉斯方程的分離變量球貝塞爾函數(shù)諾誒函數(shù)2023/2/1414第十四頁，共三十頁。例1在均勻外電場E0中置入半徑為r0的導(dǎo)體球，取球心為坐標(biāo)原點，導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保持電勢差為u0，求球內(nèi)、外的電勢。設(shè)導(dǎo)體球置入前坐標(biāo)原點的電勢為零．五、球形域上的定解問題2023/2/1415第十五頁，共三十頁。除球面上有自由電荷分布外，球內(nèi)、外均無自由電荷分布，故u1與u2均滿足拉普拉斯方程如圖選取坐標(biāo)系，原點在球心、極軸沿E0方向的球坐標(biāo)系．解：球坐標(biāo)系2023/2/1416第十六頁，共三十頁。1、定解問題2023/2/1417第十七頁，共三十頁。2、根據(jù)對稱性得通解形式2023/2/1418第十八頁，共三十頁。3、根據(jù)邊界條件求系數(shù)2023/2/1419第十九頁，共三十頁。外場電池感應(yīng)2023/2/1420第二十頁，共三十頁。

例2半球的球面保持一定溫度u0cos，半球底面保持零度，試求這個半球的穩(wěn)定溫度分布，設(shè)球半徑為r0如圖選取坐標(biāo)系，原點在球心解：球坐標(biāo)系2023/2/1421第二十一頁，共三十頁。1、定解問題2023/2/1422第二十二頁，共三十頁。2、將u作奇延拓，將半球問題轉(zhuǎn)化為全球問題因為Pl(x)定義在區(qū)間[-1,1],即在區(qū)間[0,]。目前的區(qū)間為[0,/2]，所以要作奇延拓。以=/2為對稱點，cos正好是奇延拓u0cosq2023/2/1423第二十三頁，共三十頁。球坐標(biāo)系cos關(guān)于點=/2為點對稱，故cos正好是從[0,/2]到[0,]的奇延拓2023/2/1424第二十四頁，共三十頁。2、根據(jù)對稱性得通解形式3、根據(jù)邊界條件求系數(shù)2023/2/1425第二十五頁，共三十頁。2023/2/1426第二十六頁，共三十頁。例3在上例中，若半球底面絕熱，求這個半球里的穩(wěn)定溫度分布。1、定解問題2023/2/1427第二十七頁，共三十頁。2、將u作偶延拓，將半球問題轉(zhuǎn)化為全球問題因?qū)?shù)為零，應(yīng)以=/2作偶延拓。以/2為對稱點，|cos|為偶延拓u0cosq2023/2/1428第二十八頁，共三十頁。球坐標(biāo)系|cos|關(guān)于點=/2為軸對稱，故|cos|正好是從[0,/2]到[0