2023年高考數(shù)學(xué)大題狂練系列（第01期）綜合模擬練01理

綜合模擬練011．?dāng)?shù)列{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)a1=1，公比q＞0，其前n項(xiàng)和為Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差數(shù)列．〔Ⅰ〕求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕假設(shè)數(shù)列{bn}滿足，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，假設(shè)Tn≥m恒成立，求m的最大值．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕．試題解析：〔Ⅰ〕因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，所以，所以，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，又，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式；所以所以所以是遞增數(shù)列所以所以所以的最大值為考點(diǎn)：1．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式；2．?dāng)?shù)列的求和；3．?dāng)?shù)列的最值．【方法點(diǎn)睛】數(shù)值最值的求解方法如下：1．鄰項(xiàng)比擬法，求數(shù)列的最大值，可通過(guò)解不等式組求得的取值范圍；求數(shù)列的最小值，可通過(guò)解不等式組求得的取值范圍；2．?dāng)?shù)形結(jié)合，數(shù)列是一特殊的函數(shù)，分析通項(xiàng)公式對(duì)應(yīng)函數(shù)的特點(diǎn)，借助函數(shù)的圖像即可求解；3．單調(diào)性法，數(shù)列作為特殊的函數(shù)，可通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性研究數(shù)列的單調(diào)性，必須注意的是數(shù)列對(duì)應(yīng)的是孤立的點(diǎn)，這與連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性有所不同；也可以通過(guò)差值的正負(fù)確定數(shù)列的單調(diào)性．2．在五面體中，,,，，平面平面.〔1〕證明:直線平面；〔2〕為棱上的點(diǎn)，試確定點(diǎn)位置，使二面角的大小為.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)點(diǎn)靠近點(diǎn)的的三等分點(diǎn)處.〔1〕∵,∴∴四邊形為菱形,∴∵平面平面，平面平面,∵∴平面∴,又∵∴直線平面〔2〕∵,∴為正三角形，取的中點(diǎn),連接,那么∴,∵平面平面,平面，平面平面,∴平面設(shè)平面的法向量為∵,∴，令，那么∴∵二面角為,∴，解得∴點(diǎn)靠近點(diǎn)的的三等分點(diǎn)處點(diǎn)睛：此題考查了線面垂直的證明方法．線面垂直可以轉(zhuǎn)化成證明面面垂直，也可以證明直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線．同時(shí)考查了空間直角坐標(biāo)系在立體幾何中的運(yùn)用能力和計(jì)算能力，屬于難題。3．某學(xué)校為倡導(dǎo)全體學(xué)生為特困學(xué)生捐款，舉行“一元錢(qián)，一片心，誠(chéng)信用水〞活動(dòng)，學(xué)生在購(gòu)水處每領(lǐng)取一瓶礦泉水，便自覺(jué)向捐款箱中至少投入一元錢(qián)?，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)了連續(xù)5天的售出和收益情況，如下表：售出水量x〔單位：箱〕76656收益y〔單位：元〕165142148125150(Ⅰ)假設(shè)x與y成線性相關(guān)，那么某天售出8箱水時(shí)，預(yù)計(jì)收益為多少元？(Ⅱ)期中考試以后，學(xué)校決定將誠(chéng)信用水的收益，以獎(jiǎng)學(xué)金的形式獎(jiǎng)勵(lì)給品學(xué)兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生考入年級(jí)前200名，獲一等獎(jiǎng)學(xué)金500元；考入年級(jí)201—500名，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金300元；考入年級(jí)501名以后的特困生將不獲得獎(jiǎng)學(xué)金。甲、乙兩名學(xué)生獲一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為，不獲得獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為.⑴在學(xué)生甲獲得獎(jiǎng)學(xué)金條件下，求他獲得一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率；⑵甲、乙兩名學(xué)生獲得哪個(gè)等第的獎(jiǎng)學(xué)金是相互獨(dú)立的，求甲、乙兩名學(xué)生所獲得獎(jiǎng)學(xué)金總金額X的分布列及數(shù)學(xué)期望。附：，?！敬鸢浮俊并瘛?86元；〔Ⅱ〕〔1〕；〔2〕分布列見(jiàn)解析，期望為600.試題解析：，，…當(dāng)時(shí)，即某天售出8箱水的預(yù)計(jì)收益是186元。即的分布列為：〔元〕4．橢圓：〔〕的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，直線：與橢圓交于，兩點(diǎn).〔1〕求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2〕點(diǎn)，假設(shè)是一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】〔1〕；〔2〕1【解析】試題分析：〔1〕由題意，，又，求得橢圓方程；〔2〕聯(lián)立方程組，得到韋達(dá)定理，，所以所以，解得.〔2〕設(shè)，，聯(lián)立方程消元得，，∴，，又是一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)，∴，即，∴，.∵，∴.當(dāng)時(shí)，，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，滿足題意.5．函數(shù)〔〕.〔1〕判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；〔2〕當(dāng)時(shí)，假設(shè)在〔〕上存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2).解析：〔1〕令，，得.記，，那么，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，.又，故當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn).當(dāng)或時(shí)，在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).〔2〕在區(qū)間〔〕上存在一點(diǎn)，使得成立等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上的最小值小于零..點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，在可能的情況下把參數(shù)別離出來(lái)，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，這樣就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問(wèn)題的解決。但要注意別離參數(shù)法不是萬(wàn)能的，如果別離參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性質(zhì)很難研究，就不要使用別離參數(shù)法。6．選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．曲線的極坐標(biāo)方程為，且曲線的左焦點(diǎn)在直線上．(1)假設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值；(2)求曲線的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)2(2)16試題解析：(1)曲線的直角坐標(biāo)系方程為:∴∴直線的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕將代入得：設(shè)兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，那么∴(2)設(shè)為內(nèi)接矩形在第一象限的頂點(diǎn)，，那么矩形的周長(zhǎng)∴當(dāng)即時(shí)