2023年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過專題55正態(tài)分布理

專題55正態(tài)分布利用實(shí)際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.一、正態(tài)曲線1．正態(tài)曲線的定義函數(shù)，其中實(shí)數(shù)μ和σ(σ>0)為參數(shù)，稱的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線(μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差)．2．正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，關(guān)于直線對稱；③曲線在處到達(dá)峰值；④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當(dāng)一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；⑥當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高〞，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖〞，表示總體的分布越分散．二、正態(tài)分布1．正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X滿足(即x=a，x=b，正態(tài)曲線及x軸圍成的曲邊梯形的面積)，那么稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作．2．正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)①；②；③.【注】假設(shè)，那么.考向一正態(tài)分布關(guān)于正態(tài)分布在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率的求法：(1)熟記，，的值．(2)正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，從而在關(guān)于對稱的區(qū)間上的概率相同．(3).(4)假設(shè)X服從正態(tài)分布，即，要充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1.典例1隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，且P(ξ>2)=0.023，那么A．0.954B．0.977C．0.488D．0.477【答案】A1．設(shè)兩個正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖象如下圖，那么A． B．C． D．考向二正態(tài)分布的應(yīng)用正態(tài)分布及其應(yīng)用在近幾年新課標(biāo)高考中時常出現(xiàn)，主要考查正態(tài)曲線的性質(zhì)(特別是對稱性)，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度較??；有時也會與概率統(tǒng)計(jì)結(jié)合，在解答題中考查．典例2假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量．記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為，那么的值為(參考數(shù)據(jù)：假設(shè)，那么；；.)A．0.9544 B．0.6826C．0.9974 D．0.9772【答案】D【解析】由于隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，故有μ=800，σ=50，那么.由正態(tài)分布的對稱性，可得.2．某鋼管生產(chǎn)車間生產(chǎn)一批鋼管，質(zhì)檢員從中抽出假設(shè)干根對其直徑〔單位：〕進(jìn)行測量，得出這批鋼管的直徑服從正態(tài)分布.〔1〕如果鋼管的直徑滿足為合格品，求該批鋼管為合格品的概率〔精確到0.01〕；〔2〕根據(jù)〔1〕的結(jié)論，現(xiàn)要從40根該種鋼管中任意挑選3根，求次品數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.〔參考數(shù)據(jù)：假設(shè)，那么；；.〕1．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，那么A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.22．隨機(jī)變量，且，那么A． B．C． D．3．在某次聯(lián)考數(shù)學(xué)測試中，學(xué)生成績服從正態(tài)分布，假設(shè)在內(nèi)的概率為0.8，那么任意選取一名學(xué)生，該生成績不高于80分的概率為A．0.05 B．0.1C．0.15 D．0.24．三個正態(tài)分布密度函數(shù)〔，〕的圖象如下圖，那么A．B．C．D．5．某年高考中，某省10萬考生在總分值為150分的數(shù)學(xué)考試中，成績分布近似服從正態(tài)分布，那么分?jǐn)?shù)位于區(qū)間的考生人數(shù)近似為〔假設(shè)，那么；；.〕A．1140 B．1075C．2280 D．21506．隨機(jī)變量～，其正態(tài)分布密度曲線如下圖，假設(shè)向正方形中隨機(jī)投擲10000個點(diǎn)，那么落入陰影局部的點(diǎn)的個數(shù)的估計(jì)值為附：假設(shè)隨機(jī)變量～，那么，，.A．6038 B．6587C．7028 D．75397．假設(shè)隨機(jī)變量～，那么有如下結(jié)論：，，.一班有名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)考試的成績服從正態(tài)分布，平均分，方差為，理論上說在分到分之間的人數(shù)約為A． B．C． D．8．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，假設(shè)，那么函數(shù)沒有極值點(diǎn)的概率是A． B．C． D．9．在某項(xiàng)測試中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布，假設(shè)，那么__________．10．假設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，那么，.設(shè)，且，那么__________.11．在某校舉行的一次數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績X近似服從正態(tài)分布N〔70，100〕．成績在90分以上〔含90分〕的學(xué)生有16名．〔1〕試問此次參賽的學(xué)生總數(shù)約為多少人?〔2〕假設(shè)該校方案獎勵競賽成績在80分以上〔含80分〕的學(xué)生，試問此次競賽獲獎勵的學(xué)生約為多少人?附：.12．從某市的高一學(xué)生中隨機(jī)抽取400名同學(xué)的體重進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下圖頻率分布直方圖.〔1〕估計(jì)從該市高一學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，體重超過的概率；〔2〕假設(shè)該市高一學(xué)生的體重服從正態(tài)分布.〔ⅰ〕利用〔1〕的結(jié)論估計(jì)該高一某個學(xué)生體重介于之間的概率；〔ⅱ〕從該市高一學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記體重介于之間的人數(shù)為，利用〔ⅰ〕的結(jié)論，求的分布列及.13．某食品店為了了解氣溫對銷售量的影響，隨機(jī)記錄了該店11月份中5天的日銷售量〔單位：千克〕與該地當(dāng)日最低氣溫〔單位：〕的數(shù)據(jù)，如下表：x258911y1210887〔1〕求出與的回歸方程；〔2〕判斷與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；假設(shè)該地11月份某天的最低氣溫為，請用所求回歸方程預(yù)測該店當(dāng)日的銷售量；〔3〕設(shè)該地11月份的日最低氣溫～，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，求.附：①回歸方程中，，.②，，假設(shè)～，那么，.1．(2023年高考湖北卷)設(shè)，，這兩個正態(tài)分布密度曲線如下圖．以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是A． B．C．對任意正數(shù)， D．對任意正數(shù)，2．〔2023年高考山東卷〕某批零件的長度誤差〔單位：毫米〕服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間〔3，6〕內(nèi)的概率為〔附：假設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，那么，.〕A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%3．(2023年高考湖南卷)在如下圖的正方形中隨機(jī)投擲個點(diǎn)，那么落入陰影局部(曲線C為正態(tài)分布的密度曲線)的點(diǎn)的個數(shù)的估計(jì)值為A．2386 B．2718C．3413 D．4772附：假設(shè)X~N(μ，σ2)，那么.4．(2023年高考新課標(biāo)Ⅰ卷)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸〔單位：cm〕．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布．〔1〕假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望；〔2〕一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．〔ⅰ〕試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；〔ⅱ〕下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95經(jīng)計(jì)算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，．用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和〔精確到0.01〕．附：假設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，那么，，．5．(2023年高考新課標(biāo)Ⅰ卷)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如以下圖頻率分布直方圖：〔1〕求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值和樣本方差〔同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表〕；〔2〕由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.〔i〕利用該正態(tài)分布，求；〔ii〕某用戶從該企業(yè)購置了100件這種產(chǎn)品，記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù).利用〔i〕的結(jié)果，求.附：，假設(shè)，那么，.變式拓展變式拓展1．【答案】A【解析】由正態(tài)分布N(μ，σ2)的性質(zhì)知，x=μ為正態(tài)分布密度函數(shù)圖象的對稱軸，故μ1<μ2；又σ越小，圖象越高瘦，故σ1<σ2.【名師點(diǎn)評】熟練掌握正態(tài)密度曲線的性質(zhì)是解決正態(tài)分布問題的關(guān)鍵．2．【答案】〔1〕；〔2〕見解析.1，2，，，.∴次品數(shù)的分布列為∴.考點(diǎn)沖關(guān)考點(diǎn)沖關(guān)1．【答案】C【解析】由，得P(X≥4)=0.2，由題意知正態(tài)曲線的對稱軸為直線x=2，，∴，∴.2．【答案】B3．【答案】B【解析】，選B.4．【答案】D【解析】正態(tài)分布密度曲線關(guān)于直線對稱，且在處取得峰值，由圖得，，故，應(yīng)選D.5．【答案】C【解析】由題意可得，所以的人數(shù)為：，的人數(shù)為：，所以位于的人數(shù)為2280.應(yīng)選C.6．【答案】B【解析】由題意得，落入陰影局部的概率為，那么落入陰影局部的點(diǎn)的個數(shù)的估計(jì)值為，應(yīng)選B.7．【答案】C應(yīng)選C.8．【答案】C【解析】由無相異實(shí)根得，因此函數(shù)沒有極值點(diǎn)的概率是，選C.9．【答案】【解析】∵隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，∴曲線關(guān)于對稱，∵，∴，故答案為0.6.10．【答案】【解析】，，即，故答案為.11．【答案】〔1〕696；〔2〕110.【解析】由題知參賽學(xué)生的成績?yōu)閄，因?yàn)?，所以，那么，〔人〕．因此，此次參賽學(xué)生的總數(shù)約為696人．〔2〕由，〔人〕．因此，此次競賽獲獎勵的學(xué)生約為110人．【思路分析】〔1〕由題意首先確定正態(tài)分布中的值，然后結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)求解參賽人數(shù)即可；〔2〕利用〔1〕的結(jié)論結(jié)合正態(tài)分布圖象的對稱性即可確定需要獎勵的學(xué)生人數(shù)．12．【答案】〔1〕；〔2〕〔ⅰ〕；〔ⅱ〕見解析.〔ⅱ〕因?yàn)樵撌懈咭粚W(xué)生總體很大，所以從該市高一學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，可以視為獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，其中體重介于之間的人數(shù)，，.所以的分布列為所以.【思路分析】〔1〕根據(jù)頻率分布直方圖中小長方形面積等于對應(yīng)區(qū)間概率得體重超過的頻率為.〔2〕〔ⅰ〕；〔ⅱ〕因?yàn)?，所?13．【答案】〔1〕；〔2〕9.56〔或〕千克；〔3〕.∴所求的回歸方程是.〔2〕由知與之間是負(fù)相關(guān)，將代入回歸方程可預(yù)測該店當(dāng)日的銷售量(千克).〔或者：千克〕〔3〕由〔1〕知，又由，得，從而．【名師點(diǎn)睛】〔1〕回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時，求出的線性回歸方程才有實(shí)際意義，否那么，求出的線性回歸方程毫無意義．根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)，僅是一個預(yù)報(bào)值，而不是真實(shí)發(fā)生的值．〔2〕關(guān)于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法：①熟記的值．②充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.直通高考直通高考1．【答案】C2．【答案】B【解析】用表示零件的長度，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)得：，應(yīng)選B.3．【答案】C【解析】由題意可得，，設(shè)落入陰影局部的點(diǎn)的個數(shù)為n，那么P=，那么n=3413，選C.4．【答案】〔1〕，；〔2〕〔i〕見解析；〔ii〕需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，的估計(jì)值為10.02，的估計(jì)值為.【解析】〔1〕抽取的一個零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，故.因此.的數(shù)學(xué)期望為.〔2〕〔i〕如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.〔ii〕由，得的估計(jì)值為，的估計(jì)值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因此的估計(jì)值為10.02.，