2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章不等式、推理與證明第1節(jié)不等式的性質(zhì)與一元二次不等式學(xué)案理北師大版

第一節(jié)不等式的性質(zhì)與一元二次不等式[考綱](教師用書(shū)獨(dú)具)1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式(組)的實(shí)際背景.2.會(huì)從實(shí)際問(wèn)題的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通過(guò)函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.4.會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖．(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第92頁(yè))[根底知識(shí)填充]1．兩個(gè)實(shí)數(shù)比擬大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＞0?a＞b,a－b＝0?a＝b(a，b∈R)；,a－b＜0?a＜b))(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＞1?a＞b,\f(a,b)＝1?a＝b(a∈R，b＞0).,\f(a,b)＜1?a＜b))2．不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱(chēng)性：a>b?b<a；(2)傳遞性：a>b，b>c?a>c；(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c；a>b，c>d?a＋c>b＋d；(4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；a>b>0，c>d>0?ac>bd；(5)乘方法那么：a>b>0?an>bn(n≥2，n∈N)；(6)開(kāi)方法那么：a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n≥2，n∈N)；(7)倒數(shù)性質(zhì)：設(shè)ab>0，那么a<b?eq\f(1,a)>eq\f(1,b).3．“三個(gè)二次〞的關(guān)系判別式Δ＝b2－4Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??4.常用結(jié)論(口訣：大于取兩邊，小于取中間)(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法不等式解集a＜ba＝ba＞b(x－a)·(x－b)＞0{x|x＜a或x＞b}{x|x≠a}{x|x＜b或x＞a}(x－a)·(x－b)＜0{x|a＜x＜b}?{x|b＜x＜a}[知識(shí)拓展]1.倒數(shù)性質(zhì)，假設(shè)ab>0，那么a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).2．假設(shè)a＞b＞0，m＞0，那么eq\f(b,a)＜eq\f(b＋m,a＋m).3．(1)eq\f(f(x),g(x))＞0(＜0)?f(x)·g(x)＞0(＜0)．(2)eq\f(f(x),g(x))≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.以上兩式的核心要義是將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式．4．不等式ax2＋bx＋c>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))不等式ax2＋bx＋c<0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))[根本能力自測(cè)]1．(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√〞，錯(cuò)誤的打“×〞)(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三種關(guān)系中的一種．()(2)a>b?ac2>bc2.()(3)a>b>0，c>d>0?eq\f(a,d)>eq\f(b,c).()(4)假設(shè)不等式ax2＋bx＋c<0的解集為(x1，x2)，那么必有a>0.()(5)假設(shè)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么不等式ax2＋bx＋c>0的解集為R.()(6)假設(shè)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像開(kāi)口向下，那么不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√(5)×(6)√2．a(chǎn)，b是實(shí)數(shù)，那么“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件C[eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b＞0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＞0，,ab＞0，))又當(dāng)ab＞0時(shí)，a與b同號(hào)，結(jié)合a＋b＞0知a＞0且b＞0，故“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的充要條件．]3．假設(shè)a，b∈R，且a>b，那么以下不等式恒成立的是()A．a(chǎn)2>b2 B．eq\f(a,b)>1C．2a>2b D．lg(a－bC[取a＝－1，b＝－2，排除A，B，D.應(yīng)選C.]4．不等式－x2－3x＋4>0的解集為_(kāi)_______．(用區(qū)間表示)(－4,1)[由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4<x<1，所以不等式－x2－3x＋4>0的解集為(－4,1)．]5．(教材改編)假設(shè)不等式ax2＋bx＋2＞0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，那么a＋b＝________.－14[由題意知x1＝－eq\f(1,2)，x2＝eq\f(1,3)是方程ax2＋bx＋2＝0的兩個(gè)根，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－\f(1,2)＋\f(1,3)，,\f(2,a)＝－\f(1,2)×\f(1,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2))(經(jīng)檢驗(yàn)知滿足題意)．∴a＋b＝－14.](對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第93頁(yè))比擬大小與不等式的性質(zhì)(1)實(shí)數(shù)a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，那么a，b，A．c≥b＞a B．a(chǎn)＞c≥bC．c＞b＞a D．a(chǎn)＞c＞b(2)(2023·山東高考)假設(shè)a>b>0，且ab＝1，那么以下不等式成立的是()A．a(chǎn)＋eq\f(1,b)<eq\f(b,2a)<log2(a＋b)B.eq\f(b,2a)<log2(a＋b)<a＋eq\f(1,b)C．a(chǎn)＋eq\f(1,b)<log2(a＋b)<eq\f(b,2a)D．log2(a＋b)<a＋eq\f(1,b)<eq\f(b,2a)(1)A(2)B[(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝∴b－a＝a2－a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)＞0，∴b＞a，∴c≥b＞a.(2)法一：∵a>b>0，ab＝1，∴l(xiāng)og2(a＋b)>log2(2eq\r(ab))＝1.∵eq\f(b,2a)＝eq\f(\f(1,a),2a)＝a－1·2－a，令f(a)＝a－1·2－a，又∵b＝eq\f(1,a)，a>b>0，∴a>eq\f(1,a)，解得a>1.∴f′(a)＝－a－2·2－a－a－1·2－a·ln2＝－a－2·2－a(1＋aln2)<0，∴f(a)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．∴f(a)<f(1)，即eq\f(b,2a)<eq\f(1,2).∵a＋eq\f(1,b)＝a＋a＝2a>a＋b>log2(a＋b)，∴eq\f(b,2a)<log2(a＋b)<a＋eq\f(1,b).應(yīng)選B.法二：∵a>b>0，ab＝1，∴取a＝2，b＝eq\f(1,2)，此時(shí)a＋eq\f(1,b)＝4，eq\f(b,2a)＝eq\f(1,8)，log2(a＋b)＝log2eq\f(5,2)，∴eq\f(b,2a)<log2(a＋b)<a＋eq\f(1,b).應(yīng)選B.][規(guī)律方法]1.比擬兩個(gè)數(shù)(式)大小的兩種方法2．與充要條件相結(jié)合問(wèn)題．用不等式的性質(zhì)分別判斷p?q和q?p是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用．3．與命題真假判斷相結(jié)合問(wèn)題．解決此類(lèi)問(wèn)題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法．[跟蹤訓(xùn)練](1)(2023·東北三省四市模擬(二))設(shè)a，b均為實(shí)數(shù)，那么“a＞|b|〞是“a3＞b3”A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2)m∈R，a＞b＞1，f(x)＝eq\f(m2x,x－1)，那么f(a)與f(b)的大小關(guān)系是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140188】A．f(a)＞f(b) B．f(a)＜f(b)C．f(a)≤f(b) D．不確定(1)A(2)C[(1)a＞|b|能推出a＞b，進(jìn)而得a3＞b3；當(dāng)a3＞b3時(shí)，有a＞b，但假設(shè)b＜a＜0，那么a＞|b|不成立，所以“a＞|b|〞是“a3＞b3”(2)∵f(a)＝eq\f(m2a,a－1)，f(b)＝eq\f(m2b,b－1)，∴f(a)－f(b)＝eq\f(m2a,a－1)－eq\f(m2b,b－1)＝m2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,a－1)－\f(b,b－1)))＝m2·eq\f(a(b－1)－b(a－1),(a－1)(b－1))＝m2·eq\f(b－a,(a－1)(b－1))，當(dāng)m＝0時(shí)，f(a)＝f(b)；當(dāng)m≠0時(shí)，m2＞0，又a＞b＞1，∴f(a)＜f(b)．綜上，f(a)≤f(b)．]一元二次不等式的解法解以下不等式：(1)3＋2x－x2≥0；(2)x2－(a＋1)x＋a<0.[解](1)原不等式化為x2－2x－3≤0，即(x－3)(x＋1)≤0，故所求不等式的解集為{x|－1≤x≤3}．(2)原不等式可化為(x－a)(x－1)<0，當(dāng)a>1時(shí)，原不等式的解集為(1，a)；當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式的解集為?；當(dāng)a<1時(shí)，原不等式的解集為(a,1)．將(2)中不等式改為ax2－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集．[解]假設(shè)a＝0，原不等式等價(jià)于－x＋1<0，解得x>1.假設(shè)a<0，原不等式等價(jià)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，解得x<eq\f(1,a)或x>1.假設(shè)a>0，原不等式等價(jià)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0.①當(dāng)a＝1時(shí)，eq\f(1,a)＝1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0無(wú)解；②當(dāng)a>1時(shí)，eq\f(1,a)<1，解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0得eq\f(1,a)<x<1；③當(dāng)0<a<1時(shí)，eq\f(1,a)>1，解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)<0得1<x<eq\f(1,a).綜上所述：當(dāng)a<0時(shí)，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)或x>1))))；當(dāng)a＝0時(shí)，解集為{x|x>1}；當(dāng)0<a<1時(shí)，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<\f(1,a)))))；當(dāng)a＝1時(shí)，解集為?；當(dāng)a>1時(shí)，解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<x<1)))).[規(guī)律方法]1.解一元二次不等式的一般方法和步驟1化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式.2判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式，根據(jù)判別式判斷方程有沒(méi)有實(shí)根無(wú)實(shí)根時(shí)，不等式解集為R或?.3求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根.4寫(xiě)：利用“大于取兩邊，小于取中間〞寫(xiě)出不等式的解集.2.解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟：1二次項(xiàng)中假設(shè)含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式.2判斷方程的根的個(gè)數(shù)，討論判別式Δ與0的關(guān)系.3確定無(wú)根時(shí)可直接寫(xiě)出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式.[跟蹤訓(xùn)練](1)不等式eq\f(2x＋1,x－5)≥－1的解集為_(kāi)_______．(2)不等式ax2－bx－1>0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))－\f(1,2)<x<－\f(1,3)))，那么不等式x2－bx－a≥0的解集是()A．{x|2<x<3}B．{x|x≤2或x≥3}C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))\f(1,3)<x<\f(1,2)))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)))或x>\f(1,2)))(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(4,3)或x＞5))))(2)B[(1)將原不等式移項(xiàng)通分得eq\f(3x－4,x－5)≥0，等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((3x－4)(x－5)≥0，,x－5≠0，))解得x≤eq\f(4,3)或x＞5.∴原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(4,3)或x＞5)))).(2)∵不等式ax2－bx－1>0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,))－\f(1,2)<x<－\f(1,3)))，∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－eq\f(1,2)和x2＝－eq\f(1,3)，且a<0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,3)＝\f(b,a)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝－\f(1,a)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝5.))那么不等式x2－bx－a≥0即為x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.]一元二次不等式恒成立問(wèn)題◎角度1形如f(x)≥0(x∈R)求參數(shù)的范圍不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對(duì)一切x∈R恒成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140189】(－2,2][當(dāng)a－2＝0，即a＝2時(shí)，不等式即為－4<0，對(duì)一切x∈R恒成立，當(dāng)a≠2時(shí)，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<2，,－2<a<2，))∴－2<a<2.綜上，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－2,2]．]◎角度2形如f(x)≥0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈[a，b]))求參數(shù)的范圍設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.假設(shè)對(duì)于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍．[解]要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．有以下兩種方法：法一：令g(x)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)m－6，x∈[1,3]．當(dāng)m>0時(shí)，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)，所以g(x)max＝g(3)?7m所以m<eq\f(6,7)，所以0<m<eq\f(6,7)；當(dāng)m＝0時(shí)，－6<0恒成立；當(dāng)m<0時(shí)，g(x)在[1,3]上是減函數(shù)，所以g(x)max＝g(1)?m－6<0，所以m<6，所以m<0.綜上所述：m的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m<\f(6,7))))).法二：因?yàn)閤2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0，又因?yàn)閙(x2－x＋1)－6<0，所以m<eq\f(6,x2－x＋1).因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值為eq\f(6,7)，所以只需m<eq\f(6,7)即可．所以m的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m<\f(6,7))))).◎角度3形如f(x)≥0(參數(shù)m∈[a，b])求x的范圍對(duì)任意的k∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，那么x的取值范圍是__________．{x|x<1或x>3}[對(duì)任意的k∈[－1,1]，x2＋(k