2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第7節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列學(xué)案理北師大版

第七節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列[考綱](教師用書獨(dú)具)1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性.2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用．(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第183頁)[根底知識(shí)填充]1．隨機(jī)變量的有關(guān)概念(1)將隨機(jī)現(xiàn)象中試驗(yàn)(或觀測(cè))的每一個(gè)可能的結(jié)果都對(duì)應(yīng)于一個(gè)數(shù)，這種對(duì)應(yīng)稱為一個(gè)隨機(jī)變量．(2)離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的取值能夠一一列舉出來，這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)(1)概念：假設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn此表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列．有時(shí)也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)分布列的性質(zhì)①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②eq\o(∑,\s\up13(n),\s\do10(i＝1))pi＝1.3．超幾何分布一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(M≤N)件次品．從中任取n(n∈N)件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))(其中k為非負(fù)整數(shù))．如果一個(gè)隨機(jī)變量的分布列由上式確定，那么稱X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布.[根本能力自測(cè)]1．(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√〞，錯(cuò)誤的打“×〞)(1)離散型隨機(jī)變量的分布列中，各個(gè)概率之和可以小于1.()(2)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)如果隨機(jī)變量X的分布列由下表給出，那么它服從兩點(diǎn)分布．()X25P0.30.7(4)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．袋中有3個(gè)白球，5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，可以作為隨機(jī)變量的是()A．至少取到1個(gè)白球 B．至多取到1個(gè)白球C．取到白球的個(gè)數(shù) D．取到的球的個(gè)數(shù)C[選項(xiàng)A、B是隨機(jī)事件，選項(xiàng)D是確定的值，為2，并不隨機(jī)；選項(xiàng)C是隨機(jī)變量，可能取值為0,1,2.]3．(教材改編)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，那么p4的值是()X1234Peq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,8)p4A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,8)D[由分布列的性質(zhì)，得eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋p4＝1，所以p4＝eq\f(1,8).]4．設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________.10[由于隨機(jī)變量X等可能取1,2,3，…，n，∴取到每個(gè)數(shù)的概率均為eq\f(1,n)，∴P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,n)＝0.3，∴n＝10.]5．在含有3件次品的10件產(chǎn)品中任取4件，那么取到次品數(shù)X的分布列為________．P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)·C\o\al(4－k,7),C\o\al(4,10))，k＝0,1,2,3[由題意知，X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，所以分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)·C\o\al(4－k,7),C\o\al(4,10))，k＝0,1,2,3.](對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第184頁)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．[解]由分布列的性質(zhì)知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3.首先列表為X012342X＋113579|X－1|10123從而由上表得兩個(gè)分布列為(1)2X＋1的分布列2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列|X－1|0123P0.10.30.30.3[規(guī)律方法]離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用1利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性.2隨機(jī)變量X所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率.3假設(shè)X是隨機(jī)變量，那么η＝2X＋1、η＝|X－1|仍然是隨機(jī)變量，求它的分布列可先求出相應(yīng)隨機(jī)變量的值，再根據(jù)互斥事件概率加法求對(duì)應(yīng)的事件概率，進(jìn)而寫出分布列.[跟蹤訓(xùn)練]隨機(jī)變量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，那么P(|X|＝1)＝________.eq\f(2,3)[由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))所以2b＋b＝1，那么b＝eq\f(1,3)，因此a＋c＝eq\f(2,3).所以P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3).]離散型隨機(jī)變量分布列的求法(2023·山東高考節(jié)選)在心理學(xué)研究中，常采用比照試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過比照這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列．[解](1)記接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件為M，那么P(M)＝eq\f(C\o\al(4,8),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,18).(2)由題意知X可取的值為0,1,2,3,4，那么P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(5,6),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(2,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(10,21)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(3,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(4,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42).因此X的分布列為X01234Peq\f(1,42)eq\f(5,21)eq\f(10,21)eq\f(5,21)eq\f(1,42)[規(guī)律方法]求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟：1找出隨機(jī)變量X的所有可能取值xii＝1，2，3，…，n；2求出各個(gè)取值的概率PX＝xi＝pi；3列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確.易錯(cuò)警示：1.求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所有取值對(duì)應(yīng)的概率，在求解時(shí)，要注意計(jì)數(shù)原理、古典概型等知識(shí)的應(yīng)用.2.離散型隨機(jī)變量ξ要找全找對(duì)，并理解ξ取每一個(gè)值的含義.3.在求離散型隨機(jī)變量ξ對(duì)應(yīng)概率時(shí)，先求簡單易求的復(fù)雜的最后用間接法.[跟蹤訓(xùn)練](2023·青島質(zhì)檢節(jié)選)某科技博覽會(huì)展出的智能機(jī)器人有A，B，C，D四種型號(hào)，每種型號(hào)至少有4臺(tái)．要求每位購置者只能購置1臺(tái)某種型號(hào)的機(jī)器人，且購置其中任意一種型號(hào)的機(jī)器人是等可能的．現(xiàn)在有4個(gè)人要購置機(jī)器人．(1)在會(huì)場(chǎng)展覽臺(tái)上，展出方已放好了A，B，C，D四種型號(hào)的機(jī)器人各一臺(tái)，現(xiàn)把他們排成一排表演節(jié)目，求A型與B型相鄰且C型與D型不相鄰的概率；(2)設(shè)這4個(gè)人購置的機(jī)器人的型號(hào)種數(shù)為ξ，求ξ的分布列．[解](1)4臺(tái)機(jī)器人排成一排的情況有Aeq\o\al(4,4)種，A型與B型相鄰且C型與D型不相鄰的情況有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)，故所求的概率為P＝eq\f(A\o\al(2,2)A\o\al(2,2),A\o\al(4,4))＝eq\f(1,6).(2)由題意知ξ的所有可能取值為1,2,3,4，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4),44)＝eq\f(1,64)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)＋\f(1,2)C\o\al(2,4)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3),44)＝eq\f(21,64)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,4)A\o\al(2,3),44)＝eq\f(9,16)，P(ξ＝4)＝eq\f(A\o\al(4,4),44)＝eq\f(3,32)，所以ξ的分布列為ξ1234Peq\f(1,64)eq\f(21,64)eq\f(9,16)eq\f(3,32)超幾何分布為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的開展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)發(fā)動(dòng)組隊(duì)參加．現(xiàn)有來自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)發(fā)動(dòng)3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)發(fā)動(dòng)5名，其中種子選手3名．從這8名運(yùn)發(fā)動(dòng)中隨機(jī)選擇4人參加比賽.(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會(huì)〞，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140367】[解](1)由，有P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(6,35).所以，事件A發(fā)生的概率為eq\f(6,35).(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,5)C\o\al(4－k,3),C\o\al(4,8))(k＝1,2,3,4)．那么P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(3,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(1,14)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(3,7)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(3,7)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,5)C\o\al(0,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(1,14).所以隨機(jī)變量X的分布列為X1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)[規(guī)律方法]1.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，超幾何分布的特征：1考察對(duì)象分兩類；2各類對(duì)象中個(gè)體的個(gè)數(shù)；3從中抽取假設(shè)干個(gè)個(gè)體，考察抽取到的某類個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布.2.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型.[跟蹤訓(xùn)練](2023·天津十二區(qū)縣聯(lián)考節(jié)選(一))某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測(cè)，每件一等品都能通過檢測(cè)，每件二等品通過檢測(cè)的概率為eq\f(1,2).現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中6件是一等品，4件是二等品．(1)隨機(jī)選取3件產(chǎn)品，設(shè)至少有一件通過檢測(cè)為事件A，求事件A的概率；(2)隨機(jī)選取3件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為X，求X的分布列.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140368】[解](1)P(A)＝1－eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(239,240)，所以隨機(jī)選取3件產(chǎn)品，至少有一件通過檢測(cè)的概率為eq\f(239,240).(2)由題可知X可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(0,6),C\o