2021年綿陽(yáng)南山中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題及答案

xy（xy（(a)（D綿陽(yáng)南山中學(xué)（驗(yàn)學(xué)校）自主招生考試數(shù)學(xué)試題本套試卷分試題和答題卷兩部份，試題卷共頁(yè)，題卷共，滿分分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必自己姓名、考試號(hào)毫米色墨水簽字筆或黑色墨鋼筆填寫(xiě)在答題卷與機(jī)讀卡相位置上，并認(rèn)真核對(duì)姓名與考；2．選取題每小題選出案后，用鉛筆將機(jī)讀上相應(yīng)題目答案標(biāo)號(hào)涂黑，需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再涂其他答案標(biāo)號(hào)，答在試題卷無(wú)效；3．非選取題（主觀題5毫米黑色墨水簽字筆或黑墨水鋼筆直接答在答題卷上每題相應(yīng)位置上，答在試卷上無(wú)效．作圖一律用鉛或．毫黑色簽字筆；4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試題卷、答題卷與機(jī)讀卡一并交．第卷（選取題，共分一．選取題（本題共2個(gè)題，每小題3分共分，在每小題出四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目規(guī)定1．下列計(jì)算對(duì)的是（）（A

（B(x)

23222

a(2．方程組

解是（）（A）－

（B）3

（C）－1或

（D）－5或3

3．如右圖所示，圖①達(dá)正六棱柱形狀高大建筑物，②中陰影某些表達(dá)該建筑物俯視、QMN表小在面上活動(dòng)區(qū)域（各區(qū)域均不含邊明想同步看到該建筑物三個(gè)側(cè)面，她應(yīng)在（）（A）P區(qū)域（Q區(qū)域（CM區(qū)（D）N區(qū)4．小李騎車上學(xué)，開(kāi)時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞留了一段時(shí)間，后為了趕時(shí)間加速度行駛，與以上事吻合得最佳圖像是（）距學(xué)的離

距學(xué)的離

距學(xué)的離

距學(xué)的離

（）

時(shí)間

（）

時(shí)間

（）

時(shí)間

（）

時(shí)間5．南山中學(xué)高一年級(jí)四名學(xué)生A、B、D加了校團(tuán)委舉辦“南山中學(xué)百佳、百杰學(xué)生”選舉，已知候選D票比B得票多，候選人A、B得之和超CD得票之和，候選人A得票之和與、D得之和相等，則這四人得票數(shù)由高低順序排,她們依次為（）（A）、D、、B

（）、、A

（C）D、A、BC

（D）、DB、C6．南山中學(xué)數(shù)學(xué)建模組同窗們?cè)谘芯俊ⅰ?0這個(gè)數(shù)倒數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：她們就將具備這性質(zhì)有序三個(gè)數(shù)稱之為調(diào)和數(shù)若x2（x、均正整數(shù)）是一組調(diào)和數(shù)，則xy值）（A）有一組（B）有兩組（C）有三組

11121512NMQ

，（）有無(wú)數(shù)組

①

第3

②7．如下圖所示，在eq\o\ac(△,Rt)中，，BC=4D斜邊AB上動(dòng)點(diǎn)，⊥BCDF，垂足分別為E、，當(dāng)線段EF最小，cos值等于（）（A）

3（B）C）554

（D）

74

B

D

F

EEA7題圖

A

第8圖

B8．如上圖所示，在正形中點(diǎn)E、分別邊、CD，且使得△為等三角形，則△與形ABCF面之比為（）（A）

（）

32

（）

23

（D）

9．已知函數(shù)yx，yx和y

在同始終角坐標(biāo)內(nèi)圖象如下圖所示，給出下列論：①如果a

2

，那么

；②如果a2a

，那么

；③如果a

2

，么a

；④如果a

2

a

時(shí)，那么

．則其中對(duì)的結(jié)論號(hào)為（）（A）①④（B）②③（）①③（D）①②

y

入口y=

xx第題圖

第題圖

610上右圖為一種污水凈化內(nèi)部，污水從上方入口進(jìn)入后流經(jīng)形如等邊三角形凈化材枓表面

流向如圖中箭頭示一次水流流經(jīng)三形兩腰機(jī)會(huì)相似過(guò)層凈化后流入底部六個(gè)出口中一種．下列判：①六個(gè)出口出水相似；②出口出水量與5號(hào)口出水量相；③，，號(hào)出水口出水量之比為15∶10；④若凈化材枓損速度與流經(jīng)其表面水?dāng)?shù)量成正換最慢一種三角形材枓使用時(shí)間約為更換最快一種三角材枓使用時(shí)間16．其中，對(duì)的判斷數(shù)是（）（A）1個(gè)（）個(gè)（C）3（D4個(gè)11圖示eq\o\ac(△,Rt)A=2B∠內(nèi)角平分線=2CD等）（A）

3

（B）

（C）

6

（）

D第1題圖

O12

C12如上圖所示，點(diǎn)、D在以為直徑半圓上，D是AC中點(diǎn)，與BD交于點(diǎn)．，CD=25，BC等（）（A）6

（）8

（C

（）第卷（非取，共分）二．填空題（本題共個(gè)題，每小題，共24分將答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)橫上）13按下圖程序進(jìn)行操作，定：程序運(yùn)營(yíng)入種到成果與否>10為次操作若操

1342進(jìn)行三次才停止則x取值范疇1342輸入

×

-2

＞10

是

停止否第13題14圖示線l及m分平行=S則__________四邊QRS

S四邊A

=100,四邊EFGH

，l

l

l

l

4P

S

mm

m

C

m第14圖

第5題圖15如上圖所示，在正方形皮上剪下一種扇形和一種半徑為1cm圓，之正好圍成一種圓錐，則圓錐高_(dá)_______________16小明每天下午5點(diǎn)放回家時(shí)，爸爸總是從家開(kāi)車準(zhǔn)時(shí)到達(dá)學(xué)校接她回家．有一天學(xué)校提前時(shí)放學(xué)小明自己行回家途中遇到開(kāi)接她爸爸果平早了分鐘到家小明步______________分鐘遇來(lái)接她爸爸．17已知關(guān)于一二方程

x

2

2

m

對(duì)任意實(shí)數(shù)a均實(shí)數(shù)根實(shí)數(shù)m取范是．．如右所示，矩形

ABCD對(duì)角線、BD交于點(diǎn)，已知60

，邊上有一，滿足

．線段OC上一

L點(diǎn)M與MB交點(diǎn)，聯(lián)結(jié)C、SM．給出如下結(jié)：

D

CM①////等價(jià)；②若

CMACMO

，則點(diǎn)L在長(zhǎng)線上；

A

O第1題圖

B

12121212③若

SMCL

，則=DL；④若

SS

SCM

，則方程

2

kx

無(wú)等根．其中，對(duì)的結(jié)論____________（填所有對(duì)結(jié)論序號(hào)三．解答題（本題共7小題，共90分．解應(yīng)寫(xiě)出文字闡明．證明過(guò)程或算環(huán)）19題2小題，每小題分，共16）解答下列各題：（）計(jì)算：()

(2014；（）計(jì)算：

201420132201420144028+12016

．20題滿分分）做服裝生意唐老板營(yíng)甲、乙兩個(gè)店鋪．每個(gè)店在同一段時(shí)間內(nèi)都能售出A兩款式服裝共計(jì)30件并每售出一件A款和B款服裝，甲店鋪獲利潤(rùn)分別為和元，店鋪獲利潤(rùn)分別為27元元某日，唐老板進(jìn)款式裝35件款式服裝25如何分派給個(gè)店鋪各件服裝得在保證乙店鋪獲利潤(rùn)不不大于元前提下，唐老板獲取利潤(rùn)最大？最大總利潤(rùn)是多少21滿分分種透明口袋里裝有分別標(biāo)有中百年經(jīng)典南山六個(gè)小球，除中不同之外，小球沒(méi)有任何區(qū)別每次摸球前先攪拌均勻再摸球．（Ⅰ）若從中任一種球，求球上中文剛好南概率；（Ⅱ）從中任取球，不放回，再?gòu)闹腥稳∫磺蛘?qǐng)用樹(shù)狀圖辦法，求取出兩個(gè)球中文恰能構(gòu)成“典型或南山概率；（Ⅲ）從中任取球，記下中文后再放回袋中，后再?gòu)闹腥稳∫磺?，記取出兩個(gè)上中文恰能構(gòu)成典”或南概為P，出P，P大小，并證明你結(jié)．

22小滿分12分如右圖所示，已知點(diǎn)（，0在軸，通過(guò)A兩直線與反比例函數(shù)

(k

在第四象限圖像有一種公共點(diǎn)．又一次函數(shù)

k

圖像與軸、y軸分別交于點(diǎn)、D兩．當(dāng)四邊形面積小時(shí)，求值面最小值．23小滿分分）如右圖所示，在平直角坐標(biāo)系xOy中多邊形OABCDE頂分別為（0

l

A

y

C（0，6（4（4，（，4（，

B0知線l通點(diǎn)，別與邊OADE相，

O

1

O

2

M且將多邊形提面積相等兩些．（Ⅰ）若點(diǎn)

M

113

)

，求直線l函數(shù)表達(dá)式；

第24題圖（Ⅱ）與否存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)M有數(shù)條直線l將邊OABCDE提成積相等兩某些？若存在，求出M坐標(biāo)；否則，闡明由．24題分12分如圖所示，

與

外切于點(diǎn)，

y直線l別與

、O外于A、，分別與軸y軸交2

D于點(diǎn)

M(23,0)

、

C

．

A

x（Ⅰ）求半徑長(zhǎng)；（Ⅱ在線l上一點(diǎn)使

P

與

MOB

相似并

B題出點(diǎn)P坐標(biāo)

A

B

23題圖

Ex

25題滿分14分）如下圖所示過(guò)上一點(diǎn)M1）作直線與二次數(shù)

y

14

x

2

圖像交于A兩，過(guò)A、B兩分別作y軸垂線，垂足為、，線l過(guò)點(diǎn)M關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)N，且與軸直過(guò)點(diǎn)A作l線，垂足為E．（Ⅰ）當(dāng)A點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)證明AM=；（Ⅱ）當(dāng)直線AB變時(shí)（點(diǎn)A與O不重

OCAC

值；（Ⅲ）當(dāng)直線AB變（A與不重疊判直線l與AB為徑圓位置關(guān)系并證明你結(jié)論．DM

C

N第題圖

l綿陽(yáng)南山中學(xué)（驗(yàn)學(xué)校）自主招生考試數(shù)學(xué)參照答及評(píng)分原則一．選?。ū敬箢}共12個(gè)題，每小題3分，36分每小題給出四個(gè)選項(xiàng)中，只有種符合題目規(guī)定）1．C．顯然

題號(hào)答案)26

1234578101112CDDADC對(duì)的，故選取C．

x或x2．．xxx

，故選取．3顯PN域只能給看到一面M區(qū)域只能看到兩面區(qū)可看到三面故選取B．4．C．開(kāi)始時(shí)勻速駛，此時(shí)相應(yīng)圖像為直線，函數(shù)圖像遞減．途中因交通堵塞停留一段時(shí)間，此時(shí)到學(xué)校離為常數(shù)，最后加迅速度行駛應(yīng)曲線為上凸曲線，故選?。?D．用a、b、、d依表達(dá)、、C、D票，由條件可得

，于是(b),bab)a

是

>

選D．6由已知得

212yxyx2

當(dāng)時(shí)，

23

（舍去y時(shí)，

x2

當(dāng)時(shí)，x，因x、y值有組，故選取B．7．．由EF，是CD與AB垂時(shí)，最．此時(shí)

EFD，是cosBAC

35

，故選取A．8D令

x

，則

EF2,CF(0x

．由

EF

2

CF

2

2

得：

)23

．于是

AEF梯形BCF

3422

2

)

，故選取D9．A．由圖知，當(dāng)

時(shí)，成，當(dāng)a，2a

，當(dāng)

a時(shí)，

a

2

1a

，當(dāng)

a

，故選取．10．若進(jìn)水量為1則從左到右六個(gè)水口出水量依次為：

110101,,3232323232

，于是②③對(duì)的．水流最大與最小三角形分別是最上三角形與第五排最左（或最右）角形，流經(jīng)最上面三角形水為而流第五排最（或最右角形水量為

116

于是④的故選?。?/p>

211圖邊線CB上作點(diǎn)得CA=結(jié)DECADCED2因

此

CEDCADAD

．

過(guò)E作EG⊥交BDG，

30

得EG=1，

DF第1題圖

于是

GD

CA3

．在ACF中得

33,AF．2

A

F

在CDF中得DF，故選取D．12．圖延長(zhǎng)CD交點(diǎn)．由條件可得是等腰△BCF角平

B

E第1題圖

C分線，可得

CDADDE25

．由

∽

CAF

得CD5,CE5,CF25

．BC

AB

BFAF)

，BC

,

，故選取C．二．填空題（本題共個(gè)題，每小題，共24分將答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)橫上）題號(hào)

1316

18答案

43

60

50

34

①②③13第一次運(yùn)營(yíng)成果為

3

，第二次運(yùn)營(yíng)成為

3(3x2)

，第三次運(yùn)營(yíng)成為3(9x26

．由條件得

10,x227x26

．14由圖可知：

S四邊ABCD

=S四邊FGH

2(四邊QRS

四邊QRS

60

．15．圓錐底面周長(zhǎng)于扇形弧長(zhǎng)，可得扇形半徑等于，于是圓錐高為4

15cm

．

16由已知得，爸爸從接到位置A處車到達(dá)學(xué)校B，則來(lái)回段車時(shí)為20分，程AB段車用時(shí)10分，于是小明步行了50分鐘．17由條件得

a

2

am

對(duì)任意實(shí)數(shù)a恒成，即

(2

m3)4m

34

．18設(shè)OS與AD交點(diǎn)L

知為角分線．由

DAC

及OAOD，

DAO

為正三角形，有AD=．又由AS平分

DAC

，知≌ASDASL≌ASC．ACL角形，且為其中心．設(shè)BM與延線交于

L

．注意到

SM//BD

CMCSCMBC1MOSDADAOAMMLALDLACL

．故

//點(diǎn)L

AD的延長(zhǎng)線上為正的中心

OM1SM//且SLCL3

，因而①②③對(duì)．注意到

SSCCMSCSCMSCDOCB

，則方程

2kx

有等根1．綜上，對(duì)的結(jié)論①②③．三．解答題（本題共7小題，共90分．解應(yīng)寫(xiě)出文字闡明．證明過(guò)程或算環(huán)）19原=3

111…………………222（）令，原式

aa2a+1a

(a(a1)(2)a2014(aa

．………

120分派給甲店鋪款式服裝件（x取整數(shù)，且5x1則分派給甲B款服裝30－件………分分派給乙店鋪款式服裝35－件分派給乙B款式服[－30－x）]=5件…………分甲店鋪利潤(rùn)為y，有

30x

，………乙店鋪利潤(rùn)為y，有

27(35

，……分于是總利潤(rùn)

(1200x甲

．由條件得

，得x

59

．…………10分對(duì)于

隨著增而減小要使y最大則必最?。?/p>

59

，故取，即分派給甲店鋪、兩款式服裝21件件，分派給乙店鋪AB兩種款式服裝件與16件時(shí)保乙店鋪獲利潤(rùn)不不大于950元保了在此前提下，唐老板獲取總利最大，最大利潤(rùn)是

元．…分21）取一球，共有不同成果，因此球上中文剛好南概率（Ⅱ）由題知樹(shù)圖如下：

16

……………分百年典百

年百南百

經(jīng)百山百

………5分共有30種同法，能滿足規(guī)定有種，此P1

42．…………30（Ⅲ）P．……………8分各種狀況列表如：百

年

經(jīng)

典

南

山

百年經(jīng)典南山

百百百年百經(jīng)百典百南百山

百年年年年經(jīng)年典年南年山

經(jīng)百經(jīng)年經(jīng)經(jīng)典型經(jīng)南經(jīng)出

典百南百山典年南年山典型南經(jīng)山典典南典山典南南南南典出南出山41一共有36成果，滿足規(guī)定成果有4種于是，因此．…………12分236922通過(guò)點(diǎn)A（4，0）直線函數(shù)表達(dá)令為

m(x4)(

，…由

y

kx

可得：

2

mx

．………………3

y(x4)由于直線與反比函數(shù)圖像只有一種公共點(diǎn)，于是

mk

．…………………5分易得

C(2,0),D),B(0,k)

，可得

k

．……于是

四邊形BCD

11BD()k(2)22

3(

3(k

．……………………分于是當(dāng)

k，

四邊BCD

有最小值最值等于…………………12分23）圖，延長(zhǎng)交x軸于，聯(lián)OB、交P，聯(lián)結(jié)DF、于Q．易知P，（，2）是兩個(gè)矩形中，過(guò)直線矩形OABF面平分，過(guò)直將矩形面積平分，于是直P(pán)Q將邊形OABCDE面積平分．…………分

y

A

B

G

P

Q

DH

M

C

O

F第題解答1

23題解答圖

FE第解答圖3

直線PQ函表達(dá)式為

1113

．…………………4分顯然

M(0,

11)在3

上，且M不GH中點(diǎn)，

故直線l數(shù)表達(dá)式為

y

111x33

．…………………5分另解如圖，令過(guò)

1111M)直線表達(dá)式為ykx3

，與交點(diǎn)H則H坐為

11)3

，………………1分則

S

梯形

()

22

．……………3分而

多邊OABCDE

32

………4由題意得

122

13

，于是直線l表達(dá)式為

y

1x3

．………………（Ⅱ）如圖，由（Ⅰ）直由線l函表達(dá)式為

1y3

，可得

115G),(6,)33

…………………6分令M為GH中，坐為證明如下：

8(3,)3

，此即為滿足條點(diǎn)M………分8另取一條過(guò)點(diǎn)M)直線別與、交3

G、H

．注意到線段

H

中點(diǎn)也為

8M(3,)3

，則

MHH

四邊GH邊AGDCB

，故

H

也是滿足條件直．……10分由

H

任意性，知滿足件直線有無(wú)數(shù)條．故存在滿足條件M其坐標(biāo)為

8(3,)3

．……………分24）圖，易知

tan

,303

．…令

與O半分是R與r，則2MOr2r,得r，O半R2

．……

211211l

A

y

B

l

y

C()

O

x

H

1

O

M第2解答

第4題解答2（Ⅱ）

602

,OO30MB22

，于是得MOB是腰三角形，且

．若存在滿足條件P，則

PMPO30

．……………7分如圖，當(dāng)

MO

時(shí)，由

MO

知，點(diǎn)P